Równania i nierówności
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
- przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;
- interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
- rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
- rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
- rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
- rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x)=0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
- rozwiązuje równania wymierne postaci \frac{V(x)}{W(x)}=0, gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.
| Zadanie 1. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11761) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 1.1 (0.2 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
-2(x+7)\leqslant\frac{-2-x}{3}
jest przedział postaci:
Odpowiedzi:
| A. (-\infty, a] | B. (a,+\infty) |
| C. [-\infty, a) | D. [a,+\infty) |
Podpunkt 1.2 (0.8 pkt)
Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 2. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11762) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 2.1 (0.4 pkt)
Jednym z rozwiązań równania
\sqrt{6}\cdot (x^2-2)(x-7)=0
jest liczba:
Odpowiedzi:
| A. \sqrt{2} | B. -7 |
| C. 4 | D. -4 |
| E. 2 | F. -2 |
Podpunkt 2.2 (0.6 pkt)
Podaj największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
x_{max}=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 3. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11763) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Równanie
\frac{(x+7)(x+1)^2}{(x-1)(x+7)^2}=0:
Odpowiedzi:
| A. ma dwa rozwiązania równe -7 oraz 1 | B. ma dokładnie jedno rozwiązanie równe -1 |
| C. nie ma rozwiązania | D. ma dokładnie jedno rozwiązanie równe 7 |
| Zadanie 4. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11784) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Równanie
\frac{(x^2+2x)(x-4)}{x^2-16}=0
w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:
Odpowiedzi:
| A. cztery rozwiązania | B. jedno rozwiązanie |
| C. dwa rozwiązania | D. trzy rozwiązania |
| Zadanie 5. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11809) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Równanie \frac{(x^2+2x)(x^2+1)}{x^2-1}=0 w zbiorze
liczb rzeczywistych ma dokładnie:
Odpowiedzi:
| A. jedno rozwiązanie | B. cztery rozwiązanie |
| C. dwa rozwiązania | D. trzy rozwiązanie |
| Zadanie 6. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11855) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 6.1 (0.2 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \frac{4}{3}-\frac{x}{7}>\frac{x}{3},
jest przedział postaci:
Odpowiedzi:
| A. (-\infty,a] | B. (-\infty,a) |
| C. (a,+\infty) | D. [a,+\infty) |
Podpunkt 6.2 (0.8 pkt)
Podaj liczbę a:
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 7. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11856) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Suma wszystkich rozwiązań równania 8x(x^2-4)(x-5)=0 jest równa:
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 8. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11885) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Równanie (x^2-49)(x^2+2)=0 ma dokładnie
Odpowiedzi:
| A. dwa rozwiązania | B. trzy rozwiązania |
| C. cztery rozwiązania | D. jedno rozwiązanie |
| Zadanie 9. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11909) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Jednym z rozwiązań równania 8(x-6)-x^2(x-6)=0
jest liczba:
Odpowiedzi:
| A. 5 | B. 9 |
| C. 0 | D. 6 |
| E. 10 | F. 11 |
| Zadanie 10. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11912) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 10.1 (0.2 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \frac{6x-3}{2}>-4x
jest przedział postaci:
Odpowiedzi:
| A. \left(-\infty,a] | B. \left(a,+\infty\right) |
| C. \left[a,+\infty\right) | D. \left(-\infty,a) |
Podpunkt 10.2 (0.8 pkt)
Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 11. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11913) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Suma wszystkich rozwiązań równania
(4x+4)(4x-1)(x-2)=0 jest równa:
Odpowiedź:
| suma= | |
| Zadanie 12. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11934) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Punkt A=(1,2) należy do wykresu funkcji
f, określonej wzorem
f(x)=(m^2+6m+6)x^3-m^2-5m-5
dla każdej liczby rzeczywistej x.
Wtedy liczba m jest równa:
Odpowiedź:
m=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 13. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11941) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Równanie \frac{(x^2+2x)(x-4)(x-2)}{x^2-4}=0
ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:
Odpowiedzi:
| A. dwa rozwiązania: x=4, x=0 | B. trzy rozwiązania: x=4, x=-2, x=2 |
| C. dwa rozwiązania: x=4, x=-2 | D. dwa rozwiązania: x=4, x=2 |
| Zadanie 14. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11962) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Dana jest nierówność kwadratowa (-2x+4)(x-k)\lessdot 0
z niewiadomą x i parametrem k\in\mathbb{R}.
Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział (-6,2).
Liczba k jest równa:
Odpowiedź:
k=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 15. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11966) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Wyznacz najmniejsze i największe rozwiązanie równania
\frac{(4-x)(-5x-4)}{(2x+1)(4-5x)}=0.
Odpowiedzi:
| x_{min} | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| x_{max} | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 16. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11967) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Dana jest nierówność
1-\frac{x}{2}\geqslant \frac{x}{3}+7.
Najmniejszą liczbą całkowitą, która nie spełnia tej nierówności jest:
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 17. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11984) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 17.1 (0.2 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
4-\frac{3}{2}x\lessdot \frac{2}{3}-x jest
przedział postaci:
Odpowiedzi:
| A. (a, +\infty) | B. \langle a, +\infty) |
| C. (-\infty, a\rangle | D. (-\infty, a) |
Podpunkt 17.2 (0.8 pkt)
Liczba a jest równa:
Odpowiedź:
| Wpisz odpowiedź: | |
| Zadanie 18. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11985) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Równanie \frac{x-9}{(x-4)(9-x)}=0
ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:
Odpowiedzi:
| A. jedno rozwiązanie | B. dwa rozwiązania |
| C. zero rozwiązań | D. trzy rozwiązania |
| Zadanie 19. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12006) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności
\frac{3x-50}{12}\lessdot \frac{1}{3} jest równa:
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 20. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12029) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania 2(x-8)(x^2+4)=0 jest równy:
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 21. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12030) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 21.1 (0.2 pkt)
Zbiorem rozwiązań nierówności
\frac{\frac{29}{2}-5x}{2}\lessdot 3\left(\frac{5}{4}-\frac{1}{2}x\right)+7x-\frac{7}{2} jest
przedział postaci:
Odpowiedzi:
| A. (-\infty, a] | B. [a,+\infty) |
| C. (a, +\infty) | D. (-\infty, a) |
Podpunkt 21.2 (0.8 pkt)
Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 22. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12057) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 22.1 (0.2 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
\frac{12-x}{2}-12x\geqslant 1 jest przedział postaci:
Odpowiedzi:
| A. (a,+\infty) | B. (-\infty,a) |
| C. (-\infty,a] | D. [a,+\infty) |
Podpunkt 22.2 (0.8 pkt)
Podaj liczbe a.
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 23. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12085) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych
x, spełniających alternatywę nierówności
0\lessdot 7-3x lub
7-3x\geqslant 5x-3:
Odpowiedzi:
| A. D | B. B |
| C. A | D. C |
| Zadanie 24. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12086) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
Wyznacz rozwiązanie równania x\sqrt{3}+2=2x-6:
Odpowiedź:
| x= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 25. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12087) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie równania \frac{x^2-1}{x^2-x}=0.
Odpowiedzi:
| x_{min} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| x_{max} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 26. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12111) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
Liczba 3 jest rozwiązaniem równania:
Odpowiedzi:
| A. \frac{x+3}{x^2-9}=0 | B. x^2(x-3)+2x(x-3)=0 |
| C. \frac{x+3}{x}=1 | D. \frac{x}{x+3}=0 |
| Zadanie 27. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12112) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 27.1 (0.2 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 5-\frac{2-6x}{4}\geqslant -4x+1
jest zbiór postaci:
Odpowiedzi:
| A. (-\infty, a) | B. (-\infty, a]\cup[b, +\infty) |
| C. (-\infty, a] | D. [a, +\infty) |
Podpunkt 27.2 (0.8 pkt)
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
| x_{min}= | |
| Zadanie 28. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12185) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania
3(x-8)(x^2-25)=0 jest równy:
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 29. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12186) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
Rozwiązanie nierówności
\frac{52-5x}{2}\lessdot 3\left(5-\frac{1}{2}x\right)+7x-56
zapisz w postaci przedziału.
Podaj najmniejszy koniec liczbowy tego przedziału.
Odpowiedź:
| min= | |
| Zadanie 30. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12187) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
Podaj najmniejsze rozwiązanie równania
\frac{x^2-x}{x^2-6x}=0:
Odpowiedź:
x_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 31. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12188) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
Podaj sumę i iloczyn wszystkich rozwiązań równania
x(x-4)(x+6)=0:
Odpowiedzi:
| suma | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| iloczyn | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 32. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12189) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 32.1 (1 pkt)
Liczba rozwiązań równania x(x-8)=(x-8)^2
jest równa:
Odpowiedzi:
| A. 1 | B. 2 |
| C. 3 | D. 0 |
| Zadanie 33. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12190) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 33.1 (1 pkt)
Rozwiązaniem równania \frac{x+1}{x+2}=3 jest
liczba:
Odpowiedź:
| x= | |
| Zadanie 34. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12191) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 34.1 (1 pkt)
Linę o długości 60 metrów rozcięto na trzy części, których
długości pozostają w stosunku 3:4:5. Z tego wynika, że
najdłuższa z tych części ma długość:
Odpowiedź:
| d\ [m]= | |
| Zadanie 35. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12198) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 35.1 (1 pkt)
Równania (x^2+14x+48)(x^2-16)=0
nie spełnia liczba:
Odpowiedzi:
| A. 1 | B. 4 |
| C. -4 | D. -8 |
| Zadanie 36. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12199) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 36.1 (1 pkt)
Nierówność (x+1)(x+4)^2(x-7)(x-1)>0
spełnia liczba:
Odpowiedzi:
| A. 2 | B. 11 |
| C. -2 | D. -4 |
| Zadanie 37. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12345) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 37.1 (0.2 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
\frac{3(-8-x)}{4}\leqslant 3 jest
przedział postaci:
Odpowiedzi:
| A. (-\infty, a) | B. (a, +\infty) |
| C. (-\infty, a] | D. [a, +\infty) |
Podpunkt 37.2 (0.8 pkt)
Liczba a jest równa:
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 38. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12346) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 38.1 (0.5 pkt)
Równanie \frac{x(x+6)(-4-x)}{2x+8}=0
w zbiorze liczb rzeczywistych ma k rozwiązań.
Podaj liczbę k:
Odpowiedź:
k=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 38.2 (0.5 pkt)
Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie tego równania:
Odpowiedzi:
| min | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 39. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12386) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 39.1 (0.2 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności -15-2(1-19x\geqslant 2x-17
jest przedział postaci:
Odpowiedzi:
| T/N : [a, +\infty) | T/N : (-\infty, a] |
Podpunkt 39.2 (0.8 pkt)
Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 40. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12387) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 40.1 (1 pkt)
Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie równania 2x(x+6)(x^2-36)=0:
Odpowiedzi:
| min | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 41. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12406) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 41.1 (1 pkt)
Dana jest nierówność -5-\frac{-4-2x}{2}\geqslant 3x.
Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest:
Odpowiedź:
x_{max,\in\mathbb{Z}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 42. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12407) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 42.1 (1 pkt)
Dane jest równanie 4(x+6)^2(x^2+36)=0.
Podaj liczbę rozwiązań tego równania:
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)