Równania i nierówności

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy

Uczeń:

przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;
interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x)=0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
rozwiązuje równania wymierne postaci \frac{V(x)}{W(x)}=0, gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.

Zadanie 1. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21042)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 1.1 (1.5 pkt)

Rozwiąż równanie 3x^3+10x^2-27x-90=0.

Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.

Odpowiedź:

x_{min}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 1.2 (1.5 pkt)

Podaj największe rozwiązanie tego równania.

Odpowiedź:

x_{max}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 2. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21050)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 2.1 (1 pkt)

Rozwiąż nierówność x(8x-4)\lessdot 8x.

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

Odpowiedź:

x_{min}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 2.2 (1 pkt)

Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

Odpowiedź:

x_{max}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 3. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21051)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 3.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie x^3+6x^2-3x-18=0.

Podaj rozwiązanie tego równania, które jest liczba całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\in\mathbb{Z}}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 3.2 (1 pkt)

Podaj rozwiązanie ujemne, które nie jest liczba całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\lessdot 0,\notin\mathbb{Z}}= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 3.3 (1 pkt)

Podaj rozwiązanie dodatnie, które nie jest liczba całkowitą.

Odpowiedź:

x_{> 0,\notin\mathbb{Z}}= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 4. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21056)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 4.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie 7x^3-3x^2-7x+3=0.

Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie całkowite tego równania.

Odpowiedzi:

min_{\in\mathbb{Z}}	=	(wpisz liczbę całkowitą)
max_{\in\mathbb{Z}}	=	(wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 4.2 (1 pkt)

Podaj rozwiązanie tego równania, które nie jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:

x=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 5. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21062)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 5.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie 8x^3-6x^2=48x-36.

Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania, które jest liczbą niewymierną.

Odpowiedź:

x_{min,\notin\mathbb{W}}= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 5.2 (1 pkt)

Podaj największe rozwiązanie tego równania, które jest liczbą niewymierną.

Odpowiedź:

x_{max,\notin\mathbb{W}}= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 5.3 (1 pkt)

Podaj rozwiązanie wymierne tego równania.

Odpowiedź:

x_{\in\mathbb{W}}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 6. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21068)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 6.1 (1 pkt)

Rozwiąż nierówność 2x^2+7x+6 > 3.

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów. Podaj ten z końców liczbowych tych przedziałów, który jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\in\mathbb{Z}}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 6.2 (1 pkt)

Podaj ten z końców liczbowych tych przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\notin\mathbb{Z}}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 7. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21072)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 7.1 (1 pkt)

Rozwiąż nierówność -6x^2-5\geqslant -11x.

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów. Podaj ten z końców liczbowych tych przedziałów, który jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\in\mathbb{Z}}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 7.2 (1 pkt)

Podaj ten z końców liczbowych tych przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\notin\mathbb{Z}}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 8. (1.5 pkt) (Numer zadania: pp-21078)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 8.1 (0.5 pkt)

Rozwiąż nierówność 6x^2+14x\geqslant 12.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Ile jest tych przedziałów?

Odpowiedź:

ile= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 8.2 (0.5 pkt)

Podaj ten z końców liczbowych tych przedziałów, który jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\in\mathbb{Z}}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 8.3 (0.5 pkt)

Podaj ten z końców liczbowych tych przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\notin\mathbb{Z}}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 9. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21080)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 9.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie \frac{4}{x+10}=x+7

Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.

Odpowiedź:

x_{min}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 9.2 (1 pkt)

Podaj największe rozwiązanie wymierne tego równania.

Odpowiedź:

x_{max}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 10. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21083)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 10.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie 3x^3-6x^2-12x+24=0.

Podaj najmniejsze rozwiązanie rozwiązanie tego równania.

Odpowiedź:

x_{min}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 10.2 (2 pkt)

Podaj pozostałe dwa rozwiązania tego równania w kolejności rosnącej.

Odpowiedzi:

min	=	(wpisz liczbę całkowitą)
max	=	(wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 11. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21101)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 11.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie x^3-4x^2-11x+44=0.

Podaj rozwiązanie całkowite tego równania.

Odpowiedź:

x_{\in\mathbb{Z}}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 11.2 (1 pkt)

Podaj ujemne nie całkowite rozwiązanie tego równania.

Odpowiedź:

Wpisz odpowiedź: \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 11.3 (1 pkt)

Podaj dodatnie niecałkowite rozwiązanie tego równania.

Odpowiedź:

Wpisz odpowiedź: \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 12. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21107)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 12.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie 16x^3+64x^2-4x-16=0.

Podaj rozwiązanie tego równania, które jest liczba całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\in\mathbb{Z}}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 12.2 (1 pkt)

Podaj ujemne rozwiązanie niecałkowite tego równania.

Odpowiedź:

x_{\lessdot 0, \notin\mathbb{Z}}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 12.3 (1 pkt)

Podaj dodatnie rozwiązanie niecałkowite tego równania.

Odpowiedź:

x_{> 0, \notin\mathbb{Z}}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 13. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21116)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 13.1 (0.4 pkt)

Rozwiąż nierówność: 3x(x+1) > x^2+x+144.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Ile jest tych przedziałów?

Odpowiedź:

ile= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 13.2 (0.8 pkt)

Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

Odpowiedź:

x_{min}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 13.3 (0.8 pkt)

Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

Odpowiedź:

x_{max}= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 14. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21117)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 14.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie \frac{-6x-1}{6x-1}=6x+1.

Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.

Odpowiedź:

x_{min}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 14.2 (1 pkt)

Podaj największe rozwiązanie tego równania.

Odpowiedź:

x_{min}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 15. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21121)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 15.1 (0.4 pkt)

Rozwiąż nierówność x^2+6x\leqslant 27.

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór postaci:

Odpowiedzi:

A. (-\infty, a)\cup(b,+\infty)	B. (-\infty, a]\cup[b,+\infty)
C. [a, b]	D. (a, b)

Podpunkt 15.2 (0.8 pkt)

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów?

Odpowiedź:

x_{min}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 15.3 (0.8 pkt)

Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów?

Odpowiedź:

x_{max}= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 16. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21123)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 16.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie \frac{3x-10}{3x-14}=8-x.

Podaj rozwiązanie niecałkowite tego równania.

Odpowiedź:

x_{\notin\mathbb{Z}}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 16.2 (1 pkt)

Podaj rozwiązanie całkowite tego równania.

Odpowiedź:

x_{\in\mathbb{Z}}= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 17. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21127)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 17.1 (0.4 pkt)

Rozwiąż nierówność 2(x+8)(x+4)\lessdot x^2+14x+40.

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór postaci:

Odpowiedzi:

A. (a, b)	B. (-\infty,a)\cup(b,+\infty)
C. (-\infty,a]\cup[b,+\infty)	D. [a, b]

Podpunkt 17.2 (0.8 pkt)

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

Odpowiedź:

x_{min}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 17.3 (0.8 pkt)

Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

Odpowiedź:

x_{max}= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 18. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21132)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 18.1 (1 pkt)

Rozwiąż nierówność: x^2+12\geqslant 8x.

Rozwiązanie tej nierówności zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

Odpowiedź:

x_{min}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 18.2 (1 pkt)

Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

Odpowiedź:

x_{max}= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 19. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21133)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 19.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie: \frac{x+14}{x-1}=2x+12.

Podaj rozwiązanie niecałkowite tego równania.

Odpowiedź:

x_{\notin \mathbb{Z}}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 19.2 (1 pkt)

Podaj rozwiązanie całkowite tego równania.

Odpowiedź:

x_{\in \mathbb{Z}}= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 20. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21140)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 20.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie: 3(x-6)(x-5)\lessdot x^2-11x+54.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

Odpowiedź:

x_{min}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 20.2 (1 pkt)

Wskaż liczbę, która spełnia tę nierówność:

Odpowiedzi:

A. 8

B. 10

Zadanie 21. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21141)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 21.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie: \frac{6x-37}{3x-20}=3x-16.

Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.

Odpowiedź:

x_{min}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 21.2 (1 pkt)

Podaj największe rozwiązanie tego równania.

Odpowiedź:

x_{max}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 22. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21142)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 22.1 (1 pkt)

Rozwiąż nierówność -4x^2+29x-7\leqslant 0.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten końców tych przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\in\mathbb{Q-Z}}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 22.2 (1 pkt)

Wskaż liczbę, która spełnią tę nierówność.

Odpowiedzi:

A. 7,123456789

B. 6,987654321

Zadanie 23. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21143)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 23.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie (x^3+1)(x^2-49)=0.

Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie tego równania.

Odpowiedzi:

x_{min}	=	(wpisz liczbę całkowitą)
x_{max}	=	(wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 23.2 (1 pkt)

Podaj sumę wszystkich rozwiązań tego równania.

Odpowiedź:

suma= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 24. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21144)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 24.1 (1 pkt)

Rozwiąż nierówność (2x+2)(3x+1)\geqslant 0.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

Odpowiedź:

x_{min}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 24.2 (1 pkt)

Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

Odpowiedź:

x_{max}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 25. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21145)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 25.1 (1 pkt)

Rozwiąż nierówność 2(x-7)(x-3) > x-7.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

Odpowiedź:

x_{min}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 25.2 (1 pkt)

Podaj sumę liczb całkowitych, które nie spełniają tej nierówności.

Odpowiedź:

suma= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 26. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21146)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 26.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie (x^2-4)(x^2+3x)=0.

Podaj sumę i iloczyn wszystkich rozwiązań tego równania.

Odpowiedzi:

suma	=	(wpisz liczbę całkowitą)
iloczyn	=	(wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 27. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21147)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 27.1 (1.5 pkt)

Rozwiąż nierówność 4x^2-9x+2\leqslant 0.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten z końców tych przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\in\mathbb{Q-Z}}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 27.2 (0.5 pkt)

Czy liczba \frac{9}{8} spełnia tę nierówność?

Odpowiedzi:

A. TAK

B. NIE

Zadanie 28. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21148)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 28.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie (x^2-3)(3x+2)=0.

Podaj sumę rozwiązań dodatnich tego równania.

Odpowiedź:

suma_{x>0}=	+ \cdot√


(wpisz cztery liczby całkowite)

Podpunkt 28.2 (1 pkt)

Podaj sumę rozwiązań ujemnych tego równania.

Odpowiedź:

suma_{x\lessdot 0}=	+ \cdot√


(wpisz cztery liczby całkowite)

Zadanie 29. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21149)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 29.1 (1 pkt)

Rozwiąż równanie (x^2-49)(x^3+1)=0.

Podaj sumę rozwiązań dodatnich tego równania.

Odpowiedź:

suma_{x>0}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 29.2 (1 pkt)

Podaj sumę rozwiązań ujemnych tego równania.

Odpowiedź:

suma_{x\lessdot 0}= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 30. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21150)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 30.1 (1 pkt)

Rozwiąż nierówność -2x^2+7x-6\leqslant 0.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten z końców liczbowych tych przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\in\mathbb{Q-Z}}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 30.2 (1 pkt)

Czy liczba \frac{7}{4} spełnia tę nierówność.

Odpowiedzi:

A. TAK

B. NIE

Zadanie 31. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21151)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 31.1 (1 pkt)

Rozwiąż nierówność x(-4x+3)\leqslant 3-4x.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten z końców liczbowych tych przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:

x_{\in\mathbb{Q-Z}}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 31.2 (1 pkt)

Czy liczba \frac{7}{8} spełnia tę nierówność?

Odpowiedzi:

A. TAK

B. NIE

Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm