Równania i nierówności
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;
interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego,
w szczególności równania dwukwadratowe;
rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x)=0 dla wielomianów
doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci
iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
rozwiązuje równania wymierne postaci \frac{V(x)}{W(x)}=0 , gdzie
wielomiany V(x) i W(x) są zapisane
w postaci iloczynowej.
Zadanie 1. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21042)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 1.1 (1.5 pkt)
Rozwiąż równanie
2x^3+7x^2-18x-63=0 .
Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 1.2 (1.5 pkt)
Podaj największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 2. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21050)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
x(5x-4)\lessdot 5x .
Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów. Podaj
najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 2.2 (1 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 3. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21051)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
x^3-x^2-3x+3=0 .
Podaj rozwiązanie tego równania, które jest liczba całkowitą.
Odpowiedź:
x_{\in\mathbb{Z}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 3.2 (1 pkt)
Podaj rozwiązanie ujemne, które nie jest liczba całkowitą.
Odpowiedź:
x_{\lessdot 0,\notin\mathbb{Z}}=
\cdot √
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 3.3 (1 pkt)
Podaj rozwiązanie dodatnie, które nie jest liczba całkowitą.
Odpowiedź:
x_{> 0,\notin\mathbb{Z}}=
\cdot √
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 4. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21056)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
Rozwiąż równanie
4x^3-3x^2-4x+3=0 .
Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie całkowite tego równania.
Odpowiedzi:
Podpunkt 4.2 (1 pkt)
Podaj rozwiązanie tego równania, które nie jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 5. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21062)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
8x^3-x^2=40x-5 .
Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania, które jest liczbą niewymierną.
Odpowiedź:
x_{min,\notin\mathbb{W}}=
\cdot √
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Podaj największe rozwiązanie tego równania, które jest liczbą niewymierną.
Odpowiedź:
x_{max,\notin\mathbb{W}}=
\cdot √
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 5.3 (1 pkt)
Podaj rozwiązanie wymierne tego równania.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 6. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21068)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
2x^2+9x+9 > 5 .
Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów. Podaj
ten z końców liczbowych tych przedziałów, który jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
x_{\in\mathbb{Z}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 6.2 (1 pkt)
Podaj ten z końców liczbowych tych przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 7. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21072)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
-4x^2-6\geqslant -11x .
Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów. Podaj
ten z końców liczbowych tych przedziałów, który jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
x_{\in\mathbb{Z}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Podaj ten z końców liczbowych tych przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 8. (1.5 pkt) (Numer zadania: pp-21078)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 8.1 (0.5 pkt)
Rozwiąż nierówność
5x^2+9x\geqslant 2 .
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Ile jest tych przedziałów?
Odpowiedź:
ile=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.2 (0.5 pkt)
Podaj ten z końców liczbowych tych przedziałów, który jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
x_{\in\mathbb{Z}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.3 (0.5 pkt)
Podaj ten z końców liczbowych tych przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 9. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21080)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
\frac{4}{x-5}=x-8
Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
x_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Podaj największe rozwiązanie wymierne tego równania.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 10. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21083)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
3x^3-6x^2-48x+96=0 .
Podaj najmniejsze rozwiązanie rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
x_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 10.2 (2 pkt)
Podaj pozostałe dwa rozwiązania tego równania w kolejności rosnącej.
Odpowiedzi:
Zadanie 11. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21101)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
x^3+2x^2-5x-10=0 .
Podaj rozwiązanie całkowite tego równania.
Odpowiedź:
x_{\in\mathbb{Z}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Podaj ujemne nie całkowite rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
\cdot √
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 11.3 (1 pkt)
Podaj dodatnie niecałkowite rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
\cdot √
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 12. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21107)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
8x^3+32x^2-2x-8=0 .
Podaj rozwiązanie tego równania, które jest liczba całkowitą.
Odpowiedź:
x_{\in\mathbb{Z}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Podaj ujemne rozwiązanie niecałkowite tego równania.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 12.3 (1 pkt)
Podaj dodatnie rozwiązanie niecałkowite tego równania.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 13. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21116)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 13.1 (0.4 pkt)
Rozwiąż nierówność:
3x(x+1) > x^2+x+60 .
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Ile jest tych przedziałów?
Odpowiedź:
ile=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 13.2 (0.8 pkt)
Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
x_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 13.3 (0.8 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
x_{max}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 14. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21117)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
\frac{-x-1}{6x-1}=6x+1 .
Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
Podaj największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 15. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21121)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 15.1 (0.4 pkt)
Rozwiąż nierówność
x^2+x\leqslant 20 .
Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór postaci:
Odpowiedzi:
A. (a, b)
B. [a, b]
C. (-\infty, a]\cup[b,+\infty)
D. (-\infty, a)\cup(b,+\infty)
Podpunkt 15.2 (0.8 pkt)
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych
przedziałów?
Odpowiedź:
x_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 15.3 (0.8 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów?
Odpowiedź:
x_{max}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 16. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21123)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
\frac{3x-1}{3x-5}=5-x .
Podaj rozwiązanie niecałkowite tego równania.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 16.2 (1 pkt)
Podaj rozwiązanie całkowite tego równania.
Odpowiedź:
x_{\in\mathbb{Z}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 17. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21127)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 17.1 (0.4 pkt)
Rozwiąż nierówność
2(x-1)(x-5)\lessdot x^2-4x-5 .
Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór postaci:
Odpowiedzi:
A. [a, b]
B. (-\infty,a)\cup(b,+\infty)
C. (-\infty,a]\cup[b,+\infty)
D. (a, b)
Podpunkt 17.2 (0.8 pkt)
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
x_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 17.3 (0.8 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
x_{max}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 18. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21132)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność:
x^2+5\geqslant -6x .
Rozwiązanie tej nierówności zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców
liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
x_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 18.2 (1 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
x_{max}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 19. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21133)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie:
\frac{x+7}{x-8}=2x-2 .
Podaj rozwiązanie niecałkowite tego równania.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 19.2 (1 pkt)
Podaj rozwiązanie całkowite tego równania.
Odpowiedź:
x_{\in \mathbb{Z}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 20. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21140)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie:
3(x-5)(x-4)> x^2-9x+44 .
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych
tych przedziałów.
Odpowiedź:
x_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 20.2 (1 pkt)
Wskaż liczbę, która spełnia tę nierówność:
Odpowiedzi:
Zadanie 21. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21141)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie:
\frac{6x-31}{3x-17}=3x-13 .
Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 21.2 (1 pkt)
Podaj największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 22. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21142)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
-4x^2+29x+24\leqslant 0 .
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten końców tych przedziałów, który
nie jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 22.2 (1 pkt)
Wskaż liczbę, która spełnią tę nierówność.
Odpowiedzi:
A. 8,123456789
B. 7,987654321
Zadanie 23. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21143)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
(x^3+125)(x^2-1)=0 .
Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedzi:
Podpunkt 23.2 (1 pkt)
Podaj sumę wszystkich rozwiązań tego równania.
Odpowiedź:
suma=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 24. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21144)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
(2x+1)(3x+4)\geqslant 0 .
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych
tych przedziałów.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 24.2 (1 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych
tych przedziałów.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 25. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21145)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
2(x-6)(x-2) > x-6 .
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych
tych przedziałów.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 25.2 (1 pkt)
Podaj sumę liczb całkowitych, które nie spełniają tej nierówności.
Odpowiedź:
suma=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 26. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21146)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 26.1 (2 pkt)
Rozwiąż równanie
(x^2-4)(x^2-5x)=0 .
Podaj sumę i iloczyn wszystkich rozwiązań tego równania.
Odpowiedzi:
Zadanie 27. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21147)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 27.1 (1.5 pkt)
Rozwiąż nierówność
-4x^2+9x+9\leqslant 0 .
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten z końców tych przedziałów, który
nie jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 27.2 (0.5 pkt)
Czy liczba
\frac{9}{8} spełnia tę nierówność?
Odpowiedzi:
Zadanie 28. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21148)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
(x^2-2)(-x+2)=0 .
Podaj sumę rozwiązań dodatnich tego równania.
Odpowiedź:
Podpunkt 28.2 (1 pkt)
Podaj sumę rozwiązań ujemnych tego równania.
Odpowiedź:
Zadanie 29. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21149)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
(x^2-9)(x^3-64)=0 .
Podaj sumę rozwiązań dodatnich tego równania.
Odpowiedź:
suma_{x>0}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 29.2 (1 pkt)
Podaj sumę rozwiązań ujemnych tego równania.
Odpowiedź:
suma_{x\lessdot 0}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 30. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21150)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
-2x^2-x+28\leqslant 0 .
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten z końców liczbowych tych
przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 30.2 (1 pkt)
Czy liczba
-\frac{1}{4} spełnia tę nierówność.
Odpowiedzi:
Zadanie 31. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21151)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
x(-4x-6)>-6-4x .
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten z końców liczbowych tych
przedziałów, który nie jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 31.2 (1 pkt)
Czy liczba
-\frac{1}{4} spełnia tę nierówność?
Odpowiedzi:
Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm