Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
Uczeń:
przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;
interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego,
w szczególności równania dwukwadratowe;
rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x)=0 dla wielomianów
doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci
iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
rozwiązuje równania wymierne postaci \frac{V(x)}{W(x)}=0, gdzie
wielomiany V(x) i W(x) są zapisane
w postaci iloczynowej.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
(m+1)x^2-(m+2)x-2m+1=0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania
rzeczywiste.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych
tych przedziałów.
Odpowiedzi:
min
=
(wpisz dwie liczby całkowite)
max
=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 3.2 (2 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem
f(m)=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}, gdzie
x_1 oraz x_2 są różnymi rozwiązaniami tego równania.
Zapisz wzór funkcji f w postaci ilorazu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych, tj.
f(m)=\frac{a_1m^2+b_1m+c_1}{a_2m^2+b_2m+c_2}.
Podaj wartość ułamka \frac{c_1}{c_2}.
Odpowiedź:
\frac{c_1}{c_2}=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 3.3 (1 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie to
ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 oraz x_2,
spełniające warunki: x_1\neq 0, x_2\neq 0 oraz
\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\lessdot 1.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten z końców tych przedziałów, który
jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
x_{\in\mathbb{Z}}=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 3.4 (1 pkt)
Podaj ten z końców tych przedziałów, który jest liczbą wymierną niecałkowitą.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
(2-m)x^2+(m+2)x-(m+2)^2=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.
Niech zbiór Z będzie zbiorem wszystkich wartości parametru
m spełniających powyższy warunek.
Podaj największą liczbę całkowitą a, która nie należy do zbioru
Z oraz najmniejszą liczbę całkowitą b,
która należy do zbioru Z.
Odpowiedzi:
a_{min}\notin Z
=
(wpisz liczbę całkowitą)
b_{max}\in Z
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem
f(m)=x_1^2+x_2^2-x_1x_2-7 dla wszystkich wartości
m, dla których równanie ma dwa różne rozwiązania.
Zapisz wzór funkcji f w postaci
f(m)=\frac{W(m)}{(m-2)^2}, gdzie W(m)
jest wielomianem stopnia trzeciego.
Podaj wyraz wolny wielomianu W(m).
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
x^2-(m)x+m-1=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste
x_1 oraz x_2, spełniające warunki:
x_1\neq 0, x_2\neq 0.
Podaj najmniejszą i największą wartość całkowitą m, dla których powyższy
warunkek nie jest spełniony.
Odpowiedzi:
m_{min, \in\mathbb{Z}}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
m_{max, \in\mathbb{Z}}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 7.2 (2 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem
f(m)=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}-\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} dla wszystkich wartości
m, dla których równanie ma dwa różne niezerowe rozwiązania.
Zapisz wzór funkcji f w postaci
f(m)=\frac{a\cdot m+b}{(m-1)^2}, gdzie a,b\in\mathbb{R}.
Podaj współczynniki a i b.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę całkowitą)
b
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 7.3 (2 pkt)
Rozwiąż równanie f(m)=2.
Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie tego równania.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
(x-4)[x^2+(m-4)x+m^2-3m-4]=0 ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste
x_1, x_2 oraz x_3.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten koniec przedziału, który jest liczbą całkowitą
oraz ten koniec, który jest liczbą wymierną niecałkowitą.
Odpowiedzi:
m_{\in\mathbb{Z}}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
m_{\in\mathbb{W}-\mathbb{Z}}
=
(dwie liczby całkowite)
Podpunkt 8.2 (2 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem
f(m)=x_1\cdot x_2\cdot x_3-x_1^2-x_2^2-x_3^2+16, gdzie x_1,
x^2 i x_3 są różnymi rozwiązaniami tego równania.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.
Podaj najmniejsze i największe miejsce zerowe tej funkcji (należące do dziedziny).
Odpowiedzi:
m_{min}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
m_{max}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.3 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność f(m) > -5m-30, gdzie m\in D_f.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców całkowitych tych przedziałów.
Odpowiedź:
m_{min,\in\mathbb{Z}}=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.4 (1 pkt)
Podaj ten z końców tych przedziałów, który jest liczbą niewymierną.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
x^2-(m-5)x+m^2-9m+20=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste
x_1 oraz x_2.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych
tych przedziałów.
Odpowiedzi:
min
=
(wpisz dwie liczby całkowite)
max
=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem
f(m)=x_1^3+x_2^3-5x_1^2\cdot x_2-5x_1\cdot x_2^2, gdzie x_1,
x_2 są różnymi rozwiązaniami tego równania.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.
Podaj najmniejsze i największe miejsce zerowe tej funkcji (należące do dziedziny).
Odpowiedzi:
m_{min}
=
(wpisz dwie liczby całkowite)
m_{max}
=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 10.3 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność f(m) \lessdot 0, gdzie m\in D_f.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców całkowitych tych przedziałów.
Odpowiedź:
m_{min,\in\mathbb{Z}}=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 10.4 (1 pkt)
Podaj ten z końców tych przedziałów, który jest liczbą wymierną niecałkowitą.
Dane jest równanie
(x-6)[(m-3)x^2-4(m+2)x+m]=0 z niewiadomą x i
parametrem m\in\mathbb{R}.
Podaj najmniejsze i największe m, dla których równanie to ma dokładnie dwa
różne rozwiązania.
Odpowiedzi:
m_{min}
=
(wpisz dwie liczby całkowite)
m_{max}
=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 11.2 (2 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma trzy
różne rozwiązania.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj w kolejności rosnącej dwa końce liczbowe tych
przedziałów, które są różne od siebie i są różne od liczb podanych w podpunkcie pierwszym.
Odpowiedzi:
m_{min}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
m_{max}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 11.3 (1 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma trzy
różne rozwiązania dodatnie.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich końców liczbowych tych przedziałów
(jeśli jakiś koniec przedziału się powtarza, należy go liczyć dwukrotnie).
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian kwadratowy
4x^2-(2m+4)x+m+1 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, spełniające
warunek x_1\neq 0 i x_2\neq 0.
Podaj najmniejsze i największe m, dla których powyższy warunek nie jest spełniony.
Odpowiedzi:
m_{min}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
m_{max}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem
f(m)=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}-x_1-x_2, gdzie x_1
i x_2 są różnymi pierwiastkami tego trójmianu.
Wyznacz wzór funkcji f. Podaj wartość tej funkcji dla argumentu
m=2.
Odpowiedź:
f(m)=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 13.3 (2 pkt)
Wyznacz zbiór wszystkich wartości m, które spełniają nierówność
f(m)\geqslant 0.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj liczbę tych przedziałów oraz najmniejszy i
największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Wyznacz wszystkie wartości całkowite parametru m, dla których równanie
(x-3)(x^2+(m-2)x-6m^2+14m-8)=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Podaj liczbę takich liczb całkowitych m, że równanie ma dokładnie jedno
rozwiązanie.
Odpowiedź:
ile=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 14.2 (2 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie to
ma dokładnie trzy rozwiązania.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Zbiór wszystkich końców tych przedziałów zawiera trzy
liczby wymierne.
Podaj dwie największe z nich w kolejności rosnącej.
Odpowiedzi:
min
=
(wpisz dwie liczby całkowite)
max
=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 14.3 (2 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie to
ma dokładnie dwa rozwiązania.
Podaj najmniejszą możliwą wartość parametru m, dla której spełniony jest
powyższy warunek.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
x^2-3(m+1)x+(2m+1)(m+2)=0 ma dwa różne rozwiązania.
Podaj największą wartość parametru m, dla której powyższy warunek nie jest
spełniony.
Odpowiedź:
m_{max}=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 15.2 (1 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem f(m)=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2},
gdzie x_1 i x_2 są różnymi rozwiązaniami tego równania.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, które nie należą do dziedziny
funkcji f.
Spośród wyznaczonych wartości parametru m podaj tę wartość, która należy do zbioru
\mathbb{Q}-\mathbb{Z}.
Odpowiedź:
m=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 15.3 (2 pkt)
Rozwiąż nierówność -\frac{9}{4}\lessdot f(m).
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
min=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 15.4 (2 pkt)
Rozwiąż nierówność f(m)\lessdot \frac{3}{2}.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj w kolejności rosnącej dwa końce liczbowe tych przedziałów,
które należą do zbioru \mathbb{Q}-\mathbb{Z}.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
x^2-(3m+5)x+2m^2+11m-6=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Podaj największą i największą wartość parametru m, dla których powyższy
warunek jest spełniony.
Odpowiedzi:
min
=
(wpisz liczbę całkowitą)
max
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 16.2 (1 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem
f(m)=2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2, gdzie x_1 i
x_2 są różnymi rozwiązaniami tego równania.
Zapisz wzór funkcji f w postaci f(m)=am^2+bm+c.
Podaj współczynniki a, b i c.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę całkowitą)
b
=
(wpisz liczbę całkowitą)
c
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 16.3 (2 pkt)
Rozwiąż równanie f(m)=2.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj w kolejności rosnącej dwa wymierne końce
tych przedziałów, które są liczbami wymiernymi niecałkowitymi.
Dla pewnych liczb rzeczywistych a > 1, b > 1
i N > 1 jest spełniona równość
\log_{a^3b}{N}=\frac{1}{8}\cdot \left(\log_{a}{N}+\log_{b}{N}\right).
Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia \log_{a}{b}.