Układy równań
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
- rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
- stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;
- rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci \begin{cases}ax+by=e\\x^2+y^2+cx+dy=f\end{cases} lub \begin{cases}ax+by=e\\y=ax^2+bx+c\end{cases};
| Zadanie 1. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11764) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Punkt A=(-3,10) należy do obu prostych k
i l. Prosta k przecina oś Oy
w punkcie o rzędnej 4, zaś prosta l
przecina oś Oy w punkcie o rzędnej -5.
Wskaż układ równań, którego interpretację geometryczną opisano powyżej:
Odpowiedzi:
| A. \begin{cases}y=-2x-4\\y=-5x-5\end{cases} | B. \begin{cases}y=-2x+4\\y=-5x+5\end{cases} |
| C. \begin{cases}y=2x+4\\y=-5x+5\end{cases} | D. \begin{cases}y=-2x+4\\y=5x+5\end{cases} |
| E. \begin{cases}y=-2x+4\\y=-5x-5\end{cases} | F. \begin{cases}y=-2x-4\\y=5x-5\end{cases} |
| G. \begin{cases}y=-2x+4\\y=5x-5\end{cases} | H. \begin{cases}y=-2x-4\\y=-5x+5\end{cases} |
| Zadanie 2. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11808) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), punkt
(-7,4) jest punktem przecięcia prostych o równaniach:
Odpowiedzi:
| A. x+y=-3 i x-2y=9 | B. x-y=-11 i -2x+y=18 |
| C. 3x+2y=-13 i 2x+y=10 | D. 2x+3y=-2 i -x+y=-17 |
| Zadanie 3. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11834) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Dany jest układ równań
\begin{cases}
x-3y-5=0\\
2x+y+4=0
\end{cases}.
Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb:
Odpowiedzi:
| A. x=1 \wedge y=-3 | B. x=-2 \wedge y=0 |
| C. x=-2 \wedge y=-3 | D. x=0 \wedge y=-1 |
| E. x=0 \wedge y=-3 | F. x=-1 \wedge y=-2 |
| Zadanie 4. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11854) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Rozwiązaniem układu równań
\begin{cases}
6x-4y=18\\
4x-3y=13
\end{cases}
jest para liczb: x=x_0, y=y_0.
Wtedy:
Odpowiedzi:
| A. x_0>0\ \wedge\ y>0 | B. x_0>0\ \wedge\ y\lessdot 0 |
| C. x_0\lessdot \ \wedge\ y\lessdot 0 | D. x_0\lessdot 0\ \wedge\ y> 0 |
| Zadanie 5. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11942) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę 7600 zł. Bankomat wydał kwotę
w banknotach o nominałach 20 zł, 50 zł oraz 100 zł. Banknotów 100-złotowych było 7 razy więcej
niż 50-złotowych, a banknotów 20-złotowych było o 5 mniej niż 50-złotowych.
Niech x oznacza liczbę banknotów 50-złotowych, a y – liczbę banknotów
20-złotowych, które otrzymał ten klient.
Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb x i y to:
Odpowiedzi:
| A. \begin{cases}50x+100x\cdot 7x+20y=7600\\y=x-5\end{cases} | B. \begin{cases}50x+50x\cdot 7+20y=7600\\y=x+5\end{cases} |
| C. \begin{cases}50x+100\cdot 7x+20y=7600\\x=y-5\end{cases} | D. \begin{cases}50x+100\cdot 7x+20y=7600\\y=x-5\end{cases} |
| E. \begin{cases}50x+50x\cdot 7x+20y=7600\\y=x-5\end{cases} | F. \begin{cases}50x+50x\cdot 7+20y=7600\\y=x-5\end{cases} |
| Zadanie 6. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11958) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Właściciel sklepu kupił w hurtowni 20 par identycznych
spodni po x zł za parę i 70
identycznych marynarek po y zł za sztukę. Za zakupy w
hurtowni zapłacił 8200 zł. Po doliczeniu marży
40\% na każdą parę spodni i 60\%
na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe.
Cenę pary spodni x oraz cenę marynarki y, jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań:
Odpowiedzi:
| A. \begin{cases}70x+20y=8200\\1,40x=1,60y\end{cases} | B. \begin{cases}x+y=8200\\0,40x=0,60y\end{cases} |
| C. \begin{cases}20x+70y=8200\\1,40x=1,60y\end{cases} | D. \begin{cases}70x+20y=8200\\1,60x=1,40y\end{cases} |
| E. \begin{cases}x+y=8200\\1,40x=1,60y\end{cases} | F. \begin{cases}20x+70y=8200\\0,40x=0,60y\end{cases} |
| Zadanie 7. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11964) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Dany jest układ równań
\begin{cases}y=-x-1\\y=x-1\end{cases}.
Na którym z rysunków przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań?
Odpowiedzi:
A. 
|
B. 
|
C. 
|
D. 
|
| Zadanie 8. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11987) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie
1700 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło
5\% drzew w pierwszym sadzie i
20\% drzew w drugim sadzie.
Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały
w drugim sadzie, stanowiła 70\% liczby drzew, które
pozostały w pierwszym sadzie.
Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.
Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby y drzew posadzonych w drugim sadzie, jest:
Odpowiedzi:
| A. \begin{cases}x+y=1700\\0.30x=70\cdot0.20y\end{cases} | B. \begin{cases}x=1700-y\\0.70x=\frac{10}{7}\cdot0.80y\end{cases} |
| C. \begin{cases}y=1700-x\\0.95x=\frac{10}{7}\cdot0.80y\end{cases} | D. \begin{cases}x+y=1700\\0.80x=\frac{10}{7}\cdot0.95y\end{cases} |
| Zadanie 9. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11988) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y),
przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego
z poniższych układów równań A–D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:
Odpowiedzi:
| A. \begin{cases}y=-\frac{1}{3}x+8\\y=3x+6\end{cases} | B. \begin{cases}y=-\frac{1}{3}x+8\\y=-\frac{1}{3}x-6\end{cases} |
| C. \begin{cases}y=\frac{1}{3}x+8\\y=\frac{1}{3}x-6\end{cases} | D. \begin{cases}y=-\frac{1}{3}x+8\\y=-\frac{1}{3}x+6\end{cases} |
| Zadanie 10. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12008) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Układ równań
\begin{cases}
-2x+4y=2\\
4x-8y=-8
\end{cases}
:
Odpowiedzi:
| A. ma nieskończenie wiele rozwiązań | B. ma dokładnie dwa rozwiązania |
| C. nie ma rozwiązań | D. ma dokładnie jedno rozwiązanie |
| Zadanie 11. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12028) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Para liczb x=1, y=-3 spełnia układ równań
\begin{cases}x-y=(a+8)^2\\(9+a)x-3y=-4(a+8)\end{cases}.
Wtedy a jest równe:
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 12. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12059) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację układu równań
\begin{cases}y=x+1\\y=ax+b\end{cases}:
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 13. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12347) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y),
przedstawiono interpretację geometryczną układu równań
\begin{cases}y=-x+2\\y=ax+b\end{cases}:
Podaj liczby a i b:
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 14. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12369) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Para liczb x=8 i y=3 jest rozwiązaniem
układu równań \begin{cases}ax+3y=17\\x+by=2\end{cases},
gdzie a oraz b są liczbami rzeczywistymi.
Podaj wartość wyrażenia a\cdot b:
Odpowiedź:
a\cdot b=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 15. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12446) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Rozwiązaniem układu równań
\begin{cases}
x-2y=-10\\
-3x-7y=-22
\end{cases}
jest para liczb \left(x_0, y_0\right).
Podaj wartości wyrażeń:
Odpowiedzi:
| x_0+y_0 | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| x_0\cdot y_0 | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |