Funkcje
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
- określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
- oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
- odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
- odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
- interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
- wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
- szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
- interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
- wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
- wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
- wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
- na podstawie wykresu funkcji y=f(x) szkicuje wykresy funkcji y=f(x-a), y=f(x)+b, y=f(-x), y=-f(x);
- posługuje się funkcją f(x)=\frac{a}{x}, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;
- posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
Zadania z funkcji kwadratowej dla klasy 2A:
| Zadanie 1. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21044) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem y=f(x):
Dziedziną tej funkcji jest zbiór:
Odpowiedzi:
| A. \{-6,5\} | B. (-6,5) |
| C. [-6,5] | D. [-3,5] |
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
Największa wartość tej funkcji w przedziale [-6,1]
jest równa:
Odpowiedzi:
| A. 4 | B. 2 |
| C. 0 | D. 1 |
Podpunkt 1.3 (1 pkt)
Funkcja f jest malejąca w zbiorze:
Odpowiedzi:
| A. [-3,1] | B. [-6,-3] |
| C. (1,2] | D. [2,5] |
| Zadanie 2. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21052) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Dana jest funkcja y=f(x), której wykres pokazano na rysunku:
Dziedziną funkcji f jest zbiór:
Odpowiedzi:
| A. (-3,3) | B. [-3,-1]\cup[1,3] |
| C. (-5,-1)\cup(1,5) | D. (-5,5) |
| E. (-3,-1)\cup(1,3) | F. [-5,-1]\cup[1,5] |
Podpunkt 2.2 (1 pkt)
Zbiorem wartości funkcji f jest zbiór:
Odpowiedzi:
| A. [-5,-1]\cup[1,5] | B. [-3,-1]\cup[1,3] |
| C. (-5,5) | D. (-3,3) |
| E. (-3,-1)\cup(1,3) | F. (-5,-1)\cup(1,5) |
Podpunkt 2.3 (1 pkt)
Zbiór A jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
f(x)\lessdot -1.
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru A.
Odpowiedzi:
| min | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 3. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21090) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) narysowano wykres
funkcji y=f(x) (zobacz rysunek).
Funkcja f jest rosnąca w przedziale:
Odpowiedzi:
| A. [-1,4] | B. [5,6] |
| C. [1,6] | D. [4,7] |
Podpunkt 3.2 (1 pkt)
Zapisz w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których
funkcja f przyjmuje wartości większe od 1.
Uceń, które z podanych liczb należą do tego zbioru:
Odpowiedzi:
| T/N : 2 | T/N : 6 |
| T/N : 4 |
Podpunkt 3.3 (1 pkt)
Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f
następująco: g(x)=f(-x), dla każdego
x\in[-7,-5]\cup[-4,4]\cup[5,7]. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono,
w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), wykres funkcji
y=g(x).
Wykres funkcji y=g(x) przedstawiono na rysunku:
Odpowiedzi:
| A. B | B. C |
| C. A | D. D |
| Zadanie 4. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21057) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
Oceń, które podanych funkcji mają zbiór wartości będący przedziałem
(-\infty, 1]:
Odpowiedzi:
| T/N : f(x)=-(x-2)^2+1 | T/N : f(x)=2x^2-3x+1 |
| T/N : f(x)=2x^2+1 | T/N : f(x)=-(x-3)^2 |
| Zadanie 5. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21073) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=ax^2+bx+c ma dokładnie jedno miejsce
zerowe równe -3. Ponadto f(0)=18.
Wyznacz współczynnik a.
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Wyznacz współczynniki b i c.
Odpowiedzi:
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| c | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 6. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21091) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono wykres
funkcji f określonej dla każdego x\in[-5,4). Na tym
wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych:
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x)-5.
Odpowiedzi:
| min_{\in ZW_g} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max_{\in ZW_g} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 6.2 (1 pkt)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Odpowiedzi:
| T/N : funkcja f ma trzy miejsca zerowe | T/N : funkcja określona wzorem y=f(x)+4 przyjmuje tylko wartości nieujemne |
Podpunkt 6.3 (1 pkt)
Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale [-4, -1] jest równa:
Odpowiedzi:
| A. -3 | B. -1 |
| C. -4 | D. -2 |
| E. -5 | F. 2 |
| Zadanie 7. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21093) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem
f(x)=-(x-2)^2-4.
Wykresem funkcji f jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne:
Odpowiedzi:
| x_w | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| y_w | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 7.2 (0.4 pkt)
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział postaci:
Odpowiedzi:
| A. (-\infty,a) | B. (-\infty,a] |
| C. (a,+\infty) | D. [a,+\infty) |
Podpunkt 7.3 (0.6 pkt)
Podaj liczbę, która jest końcem tego przedziału:
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 8. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21094) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 8.1 (0.2 pkt)
Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f
określonej wzorem f(x)=ax^2+bx+c ma współrzędne
(0, -8). Jeden z punktów przecięcia paraboli
z osią Ox układu współrzędnych ma współrzędne
(2, 0).
Zbiór wszystkich wartości funkcji f jest przedziałem postaci:
Odpowiedzi:
| A. (-\infty, d] | B. [d,+\infty) |
Podpunkt 8.2 (0.8 pkt)
Podaj liczbę d.
Odpowiedź:
d=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.3 (0.4 pkt)
Zapisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej
f(x)=a(x-p)^2+q.
Podaj współczynnik a.
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.4 (0.6 pkt)
Podaj liczby p i q.
Odpowiedzi:
| p | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| q | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 9. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21108) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Na rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji
f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f
z prostą o równaniu y=2 ma obie współrzędne całkowite.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)\leqslant 2 jest przedział [a,b].
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)\leqslant 2 jest przedział [a,b].
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 9.2 (0.5 pkt)
Wykres funkcji f przesunięto o 4
jednostek w lewo
otrzymując w ten sposób wykres funkcji g.
Funkcje f i g są opisane zależnością:
Odpowiedzi:
| A. g(x)=f(x)-4 | B. g(x)=f(x+4) |
| C. g(x)=f(x)+4 | D. g(x)=f(x-4) |
Podpunkt 9.3 (0.5 pkt)
Funkcje f i g mają:
Odpowiedzi:
| A. taką samą dziedzinę | B. takie same miejsca zerowe |
| C. ten sam zbiór wartości |
| Zadanie 10. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21109) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej f, ma z osiami
kartezjańskiego układu współrzędnych (x, y) dokładnie dwa punkty
wspólne: M=(0,-32) oraz
N=(-4,0).
Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej f(x)=ax^2+bx+c.
Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej f(x)=ax^2+bx+c.
Podaj liczby a, b i c.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| c | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 11. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21110) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem
f(x)=-(x+1)^2+4.
Fragment wykresu funkcji y=f(x) przedstawiono na rysunku:
Odpowiedzi:
| A. C | B. D |
| C. A | D. B |
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Oceń prawdziwość poniższych zdań.
Odpowiedzi:
| T/N : wykres funkcji f przecina oś Oy kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y) w punkcie o współrzędnych (0,3) | T/N : miejscami zerowymi funkcji f są liczby -3 i -1 |
| Zadanie 12. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21122) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
Funkcja liniowa f przyjmuje wartość -1 dla argumentu
0, a ponadto f(9)-f(7)=8.
Wyznacz wzór funkcji f(a)=ax+b.
Podaj wartości współczynników a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 13. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21126) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej jest liczba 6.
Do wykresu funkcji f należy punkt (0,-192).
Prosta o równaniu x=-1 jest osią symetrii paraboli
będącej wykresem funkcji f.
Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba:
Odpowiedzi:
| A. -10 | B. -8 |
| C. -7 | D. -\frac{15}{2} |
| E. -6 | F. -12 |
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Wartość funkcji f dla argumentu -2
jest równa:
Odpowiedzi:
| A. -189 | B. -192 |
| C. -196 | D. -194 |
| E. -193 | F. -195 |
| Zadanie 14. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21177) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Pusta puszka na farbę o pojemności 10 litrów ma
masę 3,5 kg. Jeden litr farby ma masę
1,05 kg.
Niech x oznacza liczbę litrów farby w tej puszcze, a f(x) oznacza wyrażoną w kilogramach masę puszki wraz z farbą, gdzie x\in[0,10].
Niech x oznacza liczbę litrów farby w tej puszcze, a f(x) oznacza wyrażoną w kilogramach masę puszki wraz z farbą, gdzie x\in[0,10].
Oceń prawdziwość poniższych zdań:
Odpowiedzi:
| T/N : funkcja f jest malejąca | T/N : funkcja f nie jest monotoniczna |
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
Największa wartość funkcji f jest równa:
Odpowiedź:
f_{MAX}(x)=
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 14.3 (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=ax+b.
Podaj wartości współczynników a i b.
Odpowiedzi:
| a | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| b | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 15. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21178) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 15.1 (0.2 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)
przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej
f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz
punkty przecięcia paraboli z osią Ox układu
współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Wykres funkcji f przesunięto o wektor \vec{u}=[2,-3] i otrzymano wykres funkcji g.
Zbiorem wartości funkcji g jest przedział postaci:
Odpowiedzi:
| A. (-\infty,a) | B. (a, +\infty) |
| C. [a, +\infty) | D. (-\infty,a] |
Podpunkt 15.2 (0.8 pkt)
Wówczas liczba a jest równa:
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 15.3 (1 pkt)
Osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu
x=m.
Podaj liczbę m:
Odpowiedź:
m=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 15.4 (1 pkt)
Funkcja g jest określona wzorem g(x)=\frac{1}{2}(x-p)^2+q.
Podaj liczby p i q.
Odpowiedzi:
| p | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| q | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 16. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21200) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykres funkcji
kwadratowej f przechodzi przez punkt
(-1,15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o
równaniu x=-2. Jednym z miejsc zerowych funkcji
f jest liczba x_1=2.
Wyznacz drugie miejsce zerowe funkcji f.
Odpowiedź:
x_2=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 16.2 (1 pkt)
Wyznacz współrzedne wierzchołka wykresu funkcji f.
Odpowiedzi:
| x_w | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| y_w | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 16.3 (1 pkt)
Zapisz wzór funkcji f w postaci f(x)=a(x-p)^2+q.
Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 17. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21212) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem
f(x)=-\frac{1}{2}x^2+bx+c, gdzie b oraz
c są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji
f jest liczba -5.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) prosta o równaniu
x=-4 jest osią symetrii wykresu funkcji f.
Wzór funkcji f można zapisać w postaci f(x)=-\frac{1}{2}(x-a)(x-b). Podaj mniejszą i większą z liczb a i b
Odpowiedzi:
| min(a,b) | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max(a,b) | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 17.2 (1 pkt)
Oceń prawdziwość poniższych zdań:
Odpowiedzi:
| T/N : b \lessdot 0 i c \lessdot 0 | T/N : b > 0 i c > 0 |
Podpunkt 17.3 (1 pkt)
Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej
x wzorem g(x)=f(x+1).
Osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu x=m. Podaj liczbę m.
Odpowiedź:
m=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 18. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21221) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 18.1 (3 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
f(x)=-16x^2-24x+7.
W kartezjańskim układzie współrzędnym (x,y) wykresem
funkcji f jest parabola o wierzchołku w punkcie C.
Ta parabola przecina oś Ox w punktach A
i B.
Oblicz pole powierzchni trójkąta ABC.
Odpowiedź:
| P_{\triangle ABC}= | |
| Zadanie 19. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21226) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem:
f(x)=-3\left(x+\frac{1}{8}\right)^2-4.
Funkcja f przyjmuje wartość największą w przedziale [-1,1] dla argumentu x_1.
Podaj liczbę x_1.
Odpowiedź:
| x_1= | |
Podpunkt 19.2 (1 pkt)
Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą w przedziale
[-1,1] dla argumentu x_2.
Podaj liczbę x_2.
Odpowiedź:
| x_2= | |
| Zadanie 20. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21229) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Funkcja liniowa f jest określona wzorem
f(x)=ax+b, gdzie a i
b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim
układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment
wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu
tej funkcji z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres
funkcji f jest nachylony do osi układu
Ox pod kątem o mierze \alpha
(zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych zdań.
Odpowiedzi:
| T/N : wykres funkcji g(x)=f(x+3) zawiera punkt O(0,0) | T/N : a+b=-1 |
Podpunkt 20.2 (1 pkt)
Tangens kąta \alpha jest równy:
Odpowiedzi:
| A. \frac{2}{5} | B. -\frac{2}{3} |
| C. -\frac{3}{2} | D. 2 |
| E. 3 | F. -2 |
| G. -3 | H. \frac{3}{2} |