Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu,
wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp.,
również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł
jednocześnie;
odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności,
przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe)
od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale
domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję
przyjmowane;
interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej,
kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych,
fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
na podstawie wykresu funkcji y=f(x) szkicuje wykresy funkcji
y=f(x-a), y=f(x)+b,
y=f(-x), y=-f(x);
posługuje się funkcją f(x)=\frac{a}{x}, w tym jej wykresem, do opisu i
interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w
zastosowaniach praktycznych;
posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji
zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y)przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej
f(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia
paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zbiorem wartości funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-5) jest przedział:
Odpowiedzi:
A.[3, +\infty)
B.(-\infty, -2]
C.[-7, +\infty)
D.[-2, +\infty)
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
Zapisz w postaci przedziału zbiór rozwiązań nierówności g(x)\lessdot 0.
Podaj lewy i prawy koniec tego przedziału.
Odpowiedzi:
x_l
=
(wpisz liczbę całkowitą)
x_p
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 1.3 (1 pkt)
Oceń, które z podanych wzorów poprawnie opisują funkcję f pokazaną na rysunku.
Odpowiedzi:
T/N : f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2
T/N : f(x)=\frac{1}{2}(x+2)(x+6)
T/N : f(x)=2(x+2)(x+6)
Podpunkt 1.4 (1 pkt)
Funkcja kwadratowa h jest określona za pomocą funkcji f
następująco: h(x)=f(x)-1. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono,
w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragment wykresu funkcji
y=h(x).
Fragment wykresu funkcji y=h(x) przedstawiono na rysunku:
Wykres funkcji kwadratowej f określonej wzorem
f(x)=ax^2+bx+c ma z prostą o równaniu
y=1 dokładnie jeden punkt wspólny.
Punkty A=(-2,0) i B=(0,0)
należą do wykresu funkcji f.
Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącego wykresem funkcji f.
Parabola w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y),
która jest wykresem funkcji kwadratowej y=f(x)
przechodzi przez punkt (5,0) i ma wierzchołek
w punkcie (9,3).
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)\geqslant 0
jest przedział [x_1,x_2]. Wówczas:
Odpowiedzi:
x_1
=
(wpisz liczbę całkowitą)
x_2
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 3.2 (1 pkt)
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem
f(x)=-(x-p)^2+q.
Podaj liczby p i q.
Odpowiedzi:
p
=
(wpisz liczbę całkowitą)
q
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 3.3 (1 pkt)
Dla funkcji f prawdziwa jest równość
f(0)=f(m).
Podaj brakującą liczbę m różną od 0:
Odpowiedź:
m=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 3.4 (2 pkt)
Funkcje kwadratowe g i h są określone
za pomocą funkcji f następująco:
g(x)=f(x+1) oraz h(x)=f(-x).
Oceń poprawność poniższych zdań:
Odpowiedzi:
T/N : wykres funkcji h jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy
T/N : wykres funkcji g jest przesunięty w stosunku do wykresu funkcji f o 1 jednostek w lewo
Funkcja f jest określona następująco:
f(x)=\begin{cases}3,\qquad\quad\text{ dla }x\in(-4,-2]\\-x+1,\ \text{ dla }x\in(-2,2]\\x-3,\quad\text{ dla }x\in(2,4]\end{cases}.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych
(x,y) na rysunku poniżej.
Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-1)+4.
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do dziedziny funkcji g.
Odpowiedzi:
min,\in\mathbb{Z}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
max,\in\mathbb{Z}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g.
Odpowiedzi:
min
=
(wpisz liczbę całkowitą)
max
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 5.3 (1 pkt)
Funkcja g jest funkcją malejącą w maksymalnym przedziale [a, b].
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę całkowitą)
b
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 5.4 (1 pkt)
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja g przyjmuje wartość
największą jest przedział o końcach a i b, przy czym
a < b,
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem
funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem
jest punkt W=(4,0). Do tej paraboli należy punkt
o współrzędnych (0,-16).
Funkcja f jest malejąca w przedziale:
Odpowiedzi:
A.[-16, +\infty)
B.(-\infty, 4]
C.(-\infty, -16]
D.[4, +\infty)
Podpunkt 6.2 (2 pkt)
Oceń, które z podanych wzorów poprawnie opisują funkcję f:
Odpowiedzi:
T/N : f(x)=-x^2+4
T/N : f(x)=-2(x+4)^2
T/N : f(x)=-x^2-8x+16
T/N : f(x)=-(x+4)^2
Podpunkt 6.3 (1 pkt)
Funkcja kwadratowa g określona jest wzorem g(x)=f(x)+1.
Oceń, które z podanych zdań sa prawdziwe:
Odpowiedzi:
T/N : osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu y=4
Funkcja f jest określona następująco:
f(x)=\begin{cases}\begin{array}{lll} x+5, & \text{ dla } & x\in[-4,-2]\\ 3, & \text{ dla } & x\in(-2,2]\\ -3x+9, & \text{ dla } & x\in(2,4)\end{array}\end{cases}.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych
(x,y) na rysunku poniżej.
Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-1)+4.
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do dziedziny funkcji g.
Odpowiedzi:
min,\in\mathbb{Z}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
max,\in\mathbb{Z}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g.
Odpowiedzi:
min,\in\mathbb{Z}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
max,\in\mathbb{Z}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 7.3 (1 pkt)
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja g
przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział [a,b].
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę całkowitą)
b
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 7.4 (1 pkt)
Pewien przedział [a,b] jest zbiorem wszystkich rozwiązań
równania g(x)=m.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem
funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem
jest punkt W=(2,-1). Do tej paraboli należy punkt
o współrzędnych (0,-5).
Funkcja ta określona jest wzorem f(x)=a(x-p)^2+q.
Podaj liczby a, p i q.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę całkowitą)
p
=
(wpisz liczbę całkowitą)
q
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu:
Odpowiedzi:
A.y=-2
B.y=1
C.x=-1
D.x=2
Podpunkt 8.3 (1 pkt)
Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej
x wzorem g(x)=f(x)-1.
Liczby x_1 oraz x_2 są różnymi
miejscami zerowymi funkcji g.
Funkcja f jest określona następująco:
f(x)=\begin{cases}\begin{array}{lll} -x-2, & \text{ dla } & x\in(-5,-2]\\ 0, & \text{ dla } & x\in(-2,1]\\ x, & \text{ dla } & x\in(1,3]\end{array}\end{cases}.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych
(x,y) na rysunku poniżej.
Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-2).
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do dziedziny funkcji g.
Odpowiedzi:
x_{min},\in\mathbb{Z}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
x_{max},\in\mathbb{Z}
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g.
Odpowiedzi:
min,\in ZW_g
=
(wpisz liczbę całkowitą)
max,\in ZW_g
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 9.3 (1 pkt)
Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji g jest przedział
[a,b].
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę całkowitą)
b
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 9.4 (1 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) < f(-3) jest przedział
(a,b].