Funkcje
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
- określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
- oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
- odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
- odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
- interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
- wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
- szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
- interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
- wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
- wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
- wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
- na podstawie wykresu funkcji y=f(x) szkicuje wykresy funkcji y=f(x-a), y=f(x)+b, y=f(-x), y=-f(x);
- posługuje się funkcją f(x)=\frac{a}{x}, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;
- posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
| Zadanie 1. (4 pkt) (Numer zadania: pp-30406) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y)przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej
f(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia
paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zbiorem wartości funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-4) jest przedział:
Odpowiedzi:
| A. [-6, +\infty) | B. (-\infty, -2] |
| C. [-2, +\infty) | D. [2, +\infty) |
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
Zapisz w postaci przedziału zbiór rozwiązań nierówności g(x)\lessdot 0.
Podaj lewy i prawy koniec tego przedziału.
Odpowiedzi:
| x_l | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| x_p | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 1.3 (1 pkt)
Oceń, które z podanych wzorów poprawnie opisują funkcję f pokazaną na rysunku.
Odpowiedzi:
| T/N : f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2 | T/N : f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6) |
| T/N : f(x)=2(x+2)(x+6) |
Podpunkt 1.4 (1 pkt)
Funkcja kwadratowa h jest określona za pomocą funkcji f
następująco: h(x)=f(x)-1. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono,
w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragment wykresu funkcji
y=h(x).
Fragment wykresu funkcji y=h(x) przedstawiono na rysunku:
Odpowiedzi:
| A. A | B. C |
| C. B | D. D |
| Zadanie 2. (5 pkt) (Numer zadania: pp-30407) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 2.1 (2 pkt)
Wykres funkcji kwadratowej f określonej wzorem
f(x)=ax^2+bx+c ma z prostą o równaniu
y=3 dokładnie jeden punkt wspólny.
Punkty A=(-2,0) i B=(-6,0)
należą do wykresu funkcji f.
Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącego wykresem funkcji f.
Odpowiedzi:
| x_w | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| y_w | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 2.2 (3 pkt)
Wyznacz współczynniki a, b i c.
Odpowiedzi:
| a | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| b | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| c | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 3. (5 pkt) (Numer zadania: pp-30412) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Parabola w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y),
która jest wykresem funkcji kwadratowej y=f(x)
przechodzi przez punkt (2,0) i ma wierzchołek
w punkcie (6,2).
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)\geqslant 0 jest przedział [x_1,x_2]. Wówczas:
Odpowiedzi:
| x_1 | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| x_2 | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 3.2 (1 pkt)
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem
f(x)=-(x-p)^2+q.
Podaj liczby p i q.
Odpowiedzi:
| p | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| q | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 3.3 (1 pkt)
Dla funkcji f prawdziwa jest równość
f(0)=f(m).
Podaj brakującą liczbę m różną od 0:
Odpowiedź:
m=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 3.4 (2 pkt)
Funkcje kwadratowe g i h są określone
za pomocą funkcji f następująco:
g(x)=f(x+1) oraz h(x)=f(-x).
Oceń poprawność poniższych zdań:
Odpowiedzi:
| T/N : wykres funkcji h jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy | T/N : wykres funkcji g jest przesunięty w stosunku do wykresu funkcji f o 1 jednostek w lewo |
| Zadanie 4. (4 pkt) (Numer zadania: pp-30425) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
Funkcja kwadratowa f określona wzorem
f(x)=ax^2+bx+c ma dwa miejsca zerowe
x_1=1 i x_2=-5.
Wykres funkcji f przechodzi przez punkt
A=(-1,-2).
Oblicz współczynnik a.
Odpowiedź:
| a= | |
Podpunkt 4.2 (2 pkt)
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f.
Odpowiedź:
| f_{MIN}(x)= | |
| Zadanie 5. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31102) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona następująco:
f(x)=\begin{cases}3,\qquad\quad\text{ dla }x\in(-4,-2]\\-x+1,\ \text{ dla }x\in(-2,2]\\x-3,\quad\text{ dla }x\in(2,4]\end{cases}.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych
(x,y) na rysunku poniżej.
Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-1)+1.
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do dziedziny funkcji g.
Odpowiedzi:
| min,\in\mathbb{Z} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max,\in\mathbb{Z} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g.
Odpowiedzi:
| min | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 5.3 (1 pkt)
Funkcja g jest funkcją malejącą w maksymalnym przedziale [a, b].
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 5.4 (1 pkt)
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja g przyjmuje wartość
największą jest przedział o końcach a i b, przy czym
a < b,
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 6. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31103) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem
funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem
jest punkt W=(-2,0). Do tej paraboli należy punkt
o współrzędnych (0,4).
Funkcja f jest malejąca w przedziale:
Odpowiedzi:
| A. [-2, +\infty) | B. (-\infty, -2] |
| C. [4, +\infty) | D. (-\infty, 4] |
Podpunkt 6.2 (2 pkt)
Oceń, które z podanych wzorów poprawnie opisują funkcję f:
Odpowiedzi:
| T/N : f(x)=x^2-4x-4 | T/N : f(x)=(x-2)^2 |
| T/N : f(x)=x^2+4x+4 | T/N : f(x)=x^2+2 |
Podpunkt 6.3 (1 pkt)
Funkcja kwadratowa g określona jest wzorem g(x)=f(x)-1.
Oceń, które z podanych zdań sa prawdziwe:
Odpowiedzi:
| T/N : funkcja g ma dwa miejsca zerowe | T/N : osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu x=-2 |
| Zadanie 7. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31106) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona następująco:
f(x)=\begin{cases}\begin{array}{lll} x+5, & \text{ dla } & x\in[-4,-2]\\ 3, & \text{ dla } & x\in(-2,2]\\ -3x+9, & \text{ dla } & x\in(2,4)\end{array}\end{cases}.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych
(x,y) na rysunku poniżej.
Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-1)+1.
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do dziedziny funkcji g.
Odpowiedzi:
| min,\in\mathbb{Z} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max,\in\mathbb{Z} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g.
Odpowiedzi:
| min,\in\mathbb{Z} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max,\in\mathbb{Z} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 7.3 (1 pkt)
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja g
przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział [a,b].
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 7.4 (1 pkt)
Pewien przedział [a,b] jest zbiorem wszystkich rozwiązań
równania g(x)=m.
Podaj liczbę m.
Odpowiedź:
m=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 8. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31107) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 8.1 (2 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem
funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem
jest punkt W=(-3,-1). Do tej paraboli należy punkt
o współrzędnych (0,-19).
Funkcja ta określona jest wzorem f(x)=a(x-p)^2+q. Podaj liczby a, p i q.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| p | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| q | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu:
Odpowiedzi:
| A. x=-3 | B. x=-1 |
| C. y=3 | D. y=1 |
Podpunkt 8.3 (1 pkt)
Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej
x wzorem g(x)=f(x)-1.
Liczby x_1 oraz x_2 są różnymi
miejscami zerowymi funkcji g.
Suma x_1+x_2 jest równa:
Odpowiedź:
| x_1+x_2= | |
| Zadanie 9. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31109) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona następująco:
f(x)=\begin{cases}\begin{array}{lll} -x-2, & \text{ dla } & x\in(-5,-2]\\ 0, & \text{ dla } & x\in(-2,1]\\ x, & \text{ dla } & x\in(1,3]\end{array}\end{cases}.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych
(x,y) na rysunku poniżej.
Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-1).
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do dziedziny funkcji g.
Odpowiedzi:
| x_{min},\in\mathbb{Z} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| x_{max},\in\mathbb{Z} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g.
Odpowiedzi:
| min,\in ZW_g | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max,\in ZW_g | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 9.3 (1 pkt)
Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji g jest przedział
[a,b].
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 9.4 (1 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) < f(-3) jest przedział
(a,b].
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 10. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31111) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona następująco:
f(x)=\begin{cases}\begin{array}{ll} -2x-10, & \text{ dla } x\in(-5,-3]\\ x-1, & \text{ dla } x\in(-3,4]\end{array}\end{cases}.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych
(x,y) na rysunku poniżej.
Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-1).
Miejscem zerowym funkcji g jest liczba:
Odpowiedź:
x_{0}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Wartość wyrażenia w=g(-2)+3\cdot g(3) jest liczba:
Odpowiedź:
w=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 10.3 (1 pkt)
Zbiorem wartości funkcji g jest przedział [a,b].
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 10.4 (1 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności g(x) < -2 jest przedział (a,b).
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 11. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31113) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Funkcja f określona jest następująco:
f(x)=\begin{cases}\begin{array}{lll}
x+5 & \text{ dla } & x\in[-3,-1) \\
x+3 & \text{ dla } & x\in[-1,2) \\
-2x+8 & \text{ dla } & x\in(2,4]
\end{array}\end{cases}.
Oceń prawdziwość poniższych zdań:
Odpowiedzi:
| T/N : funkcja f jest malejąca w przedziale [2,4] | T/N : dziedzina funkcji f zawiera 8 liczb całkowitych |
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Największa wartość funkcji f jest równa m,
zaś równanie f(x)=\sqrt{5}+1 ma n
rozwiązań.
Podaj liczby m i n.
Odpowiedzi:
| m | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| n | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 11.3 (1 pkt)
Dziedziną funkcji f jest przedział
[a,b].
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 11.4 (1 pkt)
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
[a,b].
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 12. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31115) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona następująco:
f(x)=\begin{cases}\begin{array}{ll} x+2, & \text{ dla } x\in[-4,2]\\ -x+5, & \text{ dla } x\in(2,)\end{array}\end{cases}.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych
(x,y) na rysunku poniżej.
Funkcja g określona jest wzorem g(x)=f(x-2).
Podaj liczbę, która jest miejscem zerowym funkcji g.
Odpowiedź:
x_{0}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Podaj największą wartość funkcji g w przedziale
[-2, 2].
Odpowiedź:
g_{max}(x)=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 12.3 (1 pkt)
Dziedziną funkcji g jest przedział [a,b].
Podaj środek tego przedziału.
Odpowiedź:
| x_{0}= | |
Podpunkt 12.4 (1 pkt)
Zbiorem argumentów, dla których funkcja g przyjmuje
wartości większe od 1 jest przedział
[a,b].
Podaj końce tego przedziału.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 13. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31116) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 13.1 (2 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji
kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w punkcie
W=(1, 2). Funkcja kwadratowa g
jest określona za pomocą funkcji f wzorem
g(x)=f(x+1). Jednym z miejsc zerowych funkcji
g jest liczba -10.
Podaj miejsca zerowe funkcji f.
Odpowiedzi:
| x_{min} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| x_{max} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 13.2 (2 pkt)
Funkcję f można opisać wzorem ogólnym
f(x)=ax^2+bx+c.
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| b | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |