Ciągi liczbowe
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach:
\begin{cases}a_1=0,001\\a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2}a_n(1-a_n)\end{cases}
\begin{cases}a_1=1\\a_2=1\\a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\end{cases}
w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
stosuje wzór na n -ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
stosuje wzór na n -ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
Zadanie 1. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21045)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 1.1 (2 pkt)
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości
18900 zł
w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o
20 zł.
Oblicz kwotę pierwszej raty.
Odpowiedź:
R_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 2. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21053)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Masa
m leku
L zażytego przez chorego
zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą:
m(t)=m_0\cdot(0,6)^{0,25t} , gdzie:
m_0 – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili t=0
dawki leku,t – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu t=0
zażycia leku.
Chory przyjął jednorazowo lek L w dawce 125 mg.
Oblicz, ile mg leku L pozostanie w organizmie chorego po 8
godzinach od momentu przyjęcia dawki.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 2.2 (1 pkt)
Liczby
m\left(\frac{15}{2}\right) ,
m\left(\frac{23}{2}\right) i
m\left(\frac{31}{2}\right) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.
Wyznacz iloraz tego ciągu.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 3. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21058)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 3.1 (2 pkt)
Ciąg
\left(3x^2+11x+8,x^2+2x+1,-x^2-2x+19\right) jest arytmetyczny.
Oblicz x .
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 4. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21069)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
W ciągu arytmetycznym
\left(a_n\right) , określonym dla każdej liczby
naturalnej
n\geqslant 1 ,
a_1=2 i
a_4=-10 .
Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Odpowiedź:
S_{100}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 5. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21074)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 5.1 (2 pkt)
Trójwyrazowy ciąg
(x+1,3x+5,9x+25) jest geometryczny.
Oblicz x .
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 6. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21082)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Trójwyrazowy ciąg
(x+1,y-10,y-6) jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
6 .
Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.
Wyznacz x .
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 6.2 (1 pkt)
Odpowiedź:
y=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 7. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21087)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Dany jest ciąg
(a_n) określony wzorem
a_n=\frac{2^n}{10} dla każdej liczby naturalnej
n\geqslant 1 .
Wyraz numer
53 ciągu
(a_n) można zapisać w postaci
\frac{2^m}{k} , gdzie
m, k\in\mathbb{N} i
k jest liczbą pierwszą.
Podaj liczby m i k .
Odpowiedzi:
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń:
Odpowiedzi:
T/N : ciąg (a_n) jest geometryczny
T/N : suma pierwszych trzech wyrazów ciągu (a_n) jest równa \frac{19}{10}
Zadanie 8. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21084)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 8.1 (0.5 pkt)
Dany jest ciąg
(a_n) określony wzorem
a_n=-4n+3
dla każdej liczby naturalnej
n \geqslant 1 .
Ciąg (a_n) jest:
Odpowiedzi:
A. malejący
B. stały
C. niemonotoniczny
D. rosnący
Podpunkt 8.2 (0.5 pkt)
Odpowiedź powyższa jest poprawna, ponieważ:
Odpowiedzi:
A. a_{n+1}-a_n=3
B. a_{n+1}-a_n=-4
C. a_{n+1}-a_n=-3
D. a_{n+1}-a_n=5
Podpunkt 8.3 (1 pkt)
Najmniejszą wartością
n , dla której wyraz
a_n jest
mniejszy od
-57 , jest:
Odpowiedź:
n_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.4 (1 pkt)
Suma
n początkowych wyrazów ciągu
(a_n)
jest równa
-276 dla
n równego:
Odpowiedź:
n=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 9. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21095)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Dany jest ciąg geometryczny
(a_n) , określony dla
każdej liczby naturalnej
n\geqslant 1 .
W tym ciągu
a_1=-5 ,
a_2=20
a_3=-80 .
Wzór ogólny ciągu (a_n) ma postać:
Odpowiedzi:
T/N : a_n=-5\cdot 4^{n}
T/N : a_n=5\cdot \frac{(-4)^n}{4}
T/N : a_n=-5\cdot (-4)^{n-1}
T/N : a_n=5\cdot (-4)^{n}
T/N : a_n=-5\cdot (-4)^{n}
Zadanie 10. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21102)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
Ciąg arytmetyczny
(a_n) jest określony dla każdej liczby
naturalnej
n\geqslant 1 . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy
-11 , a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów
tego ciągu jest równa
-615 .
Oblicz różnicę tego ciągu.
Odpowiedź:
r=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 11. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21111)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Ciąg
(a_n) jest określony wzorem
a_n=3\cdot(-1)^{n+1}+2 dla każdej liczby
naturalnej
n\geqslant 1 .
Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
Odpowiedzi:
A. 27
B. 20
C. 29
D. 2
E. 33
F. 24
G. 37
H. 25
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Odpowiedzi:
T/N : ciąg (a_n) jest geometryczny
T/N : ciąg (a_n) nie jest monotoniczny
Zadanie 12. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21128)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny
(a_n) , określony dla wszystkich liczb
naturalnych
n\geqslant 1 . Suma dwudziestu początkowych wyrazów
tego ciągu jest równa
20\cdot a_{21}-210 .
Oblicz różnicę ciągu a_n .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 13. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21152)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Dany jest trzywyrazowy ciąg
(x+3,4x+6,x+12) .
Oblicz wszystkie wartości
x , dla których ten ciąg jest geometryczny.
Podaj tę wartość x , która jest całkowita.
Odpowiedź:
x_{\in\mathbb{Z}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Podaj tę wartość
x , która nie jest całkowita.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 14. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21153)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 14.1 (2 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny
(a_n) , określony dla
n\geqslant 1 , w którym spełniona jest równość
a_{24}+a_{30}+a_{33}+a_{39}=168 .
Oblicz sumę a_{31}+a_{32} .
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 15. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21154)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
W ciągu geometrycznym przez
S_n oznaczamy sumę
n początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych
n\in\mathbb{N_{+}} . Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego:
S_1=4 i
S_2=16 .
Oblicz iloraz i czwarty wyraz tego ciągu.
Odpowiedzi:
Zadanie 16. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21155)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 16.1 (2 pkt)
Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego
(a_n) , określonego dla
n\in\mathbb{N_{+}} , jest równy
30 , a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa
78 .
Oblicz pierwszy wyraz a_1 i różnicę r tego ciągu.
Odpowiedzi:
Zadanie 17. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21156)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego
(a_n) , określonego dla
n\in\mathbb{N_{+}} , jest równy
42 , a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa
240 .
Oblicz pierwszy wyraz a_1 i różnicę r tego ciągu.
Odpowiedzi:
Zadanie 18. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21157)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 18.1 (2 pkt)
Suma
20 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
(a_n) , określonego dla
n\in\mathbb{N_{+}} ,
jest równa
20 . Ponadto
a_{20}=20 .
Oblicz wyraz a_1 tego ciągu.
Odpowiedź:
a_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 19. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21158)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 19.1 (2 pkt)
W ciągu arytmetycznym
(a_n) , określonym dla
n\geqslant 1 ,
dane są: wyraz
a_1=10 i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu
S_3=36 .
Oblicz wyraz a_1 i różnicę r tego ciągu.
Odpowiedzi:
Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm