Ciągi liczbowe
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach:
\begin{cases}a_1=0,001\\a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2}a_n(1-a_n)\end{cases}
\begin{cases}a_1=1\\a_2=1\\a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\end{cases}
w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
stosuje wzór na n -ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
stosuje wzór na n -ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
Zadanie 1. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21045)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 1.1 (2 pkt)
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości
14400 zł
w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o
40 zł.
Oblicz kwotę pierwszej raty.
Odpowiedź:
R_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 2. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21053)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Masa
m leku
L zażytego przez chorego
zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą:
m(t)=m_0\cdot(0,6)^{0,25t} , gdzie:
m_0 – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili t=0
dawki leku,t – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu t=0
zażycia leku.
Chory przyjął jednorazowo lek L w dawce 125 mg.
Oblicz, ile mg leku L pozostanie w organizmie chorego po 16
godzinach od momentu przyjęcia dawki.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 2.2 (1 pkt)
Liczby
m\left(\frac{11}{2}\right) ,
m\left(\frac{19}{2}\right) i
m\left(\frac{27}{2}\right) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.
Wyznacz iloraz tego ciągu.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 3. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21058)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 3.1 (2 pkt)
Ciąg
\left(3x^2-7x+2,x^2-4x+4,-x^2+4x+16\right) jest arytmetyczny.
Oblicz x .
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 4. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21069)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
W ciągu arytmetycznym
\left(a_n\right) , określonym dla każdej liczby
naturalnej
n\geqslant 1 ,
a_1=-2 i
a_4=1 .
Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Odpowiedź:
S_{100}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 5. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21074)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 5.1 (2 pkt)
Trójwyrazowy ciąg
(x-2,3x-4,9x-2) jest geometryczny.
Oblicz x .
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 6. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21082)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Trójwyrazowy ciąg
(x-2,y-3,y+1) jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
6 .
Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.
Wyznacz x .
Odpowiedź:
x=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 6.2 (1 pkt)
Odpowiedź:
y=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 7. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21087)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Dany jest ciąg
(a_n) określony wzorem
a_n=\frac{7^n}{35} dla każdej liczby naturalnej
n\geqslant 1 .
Wyraz numer
62 ciągu
(a_n) można zapisać w postaci
\frac{7^m}{k} , gdzie
m, k\in\mathbb{N} i
k jest liczbą pierwszą.
Podaj liczby m i k .
Odpowiedzi:
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń:
Odpowiedzi:
T/N : ciąg (a_n) jest monotoniczny
T/N : ciąg (a_n) jest rosnący
Zadanie 8. (3 pkt) (Numer zadania: pp-21084)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 8.1 (0.5 pkt)
Dany jest ciąg
(a_n) określony wzorem
a_n=-2n-4
dla każdej liczby naturalnej
n \geqslant 1 .
Ciąg (a_n) jest:
Odpowiedzi:
A. malejący
B. niemonotoniczny
C. rosnący
D. stały
Podpunkt 8.2 (0.5 pkt)
Odpowiedź powyższa jest poprawna, ponieważ:
Odpowiedzi:
A. a_{n+1}-a_n=4
B. a_{n+1}-a_n=-2
C. a_{n+1}-a_n=-1
D. a_{n+1}-a_n=-4
Podpunkt 8.3 (1 pkt)
Najmniejszą wartością
n , dla której wyraz
a_n jest
mniejszy od
-42 , jest:
Odpowiedź:
n_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.4 (1 pkt)
Suma
n początkowych wyrazów ciągu
(a_n)
jest równa
-300 dla
n równego:
Odpowiedź:
n=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 9. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21095)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Dany jest ciąg geometryczny
(a_n) , określony dla
każdej liczby naturalnej
n\geqslant 1 .
W tym ciągu
a_1=-5 ,
a_2=10
a_3=-20 .
Wzór ogólny ciągu (a_n) ma postać:
Odpowiedzi:
T/N : a_n=-5\cdot (-2)^{n-1}
T/N : a_n=5\cdot \frac{(-2)^n}{2}
T/N : a_n=-5\cdot 2^{n}
T/N : a_n=5\cdot (-2)^{n}
Zadanie 10. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21102)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
Ciąg arytmetyczny
(a_n) jest określony dla każdej liczby
naturalnej
n\geqslant 1 . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy
0 , a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów
tego ciągu jest równa
75 .
Oblicz różnicę tego ciągu.
Odpowiedź:
r=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 11. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21111)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Ciąg
(a_n) jest określony wzorem
a_n=3\cdot(-1)^{n+1}+5 dla każdej liczby
naturalnej
n\geqslant 1 .
Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
Odpowiedzi:
A. 58
B. 38
C. 35
D. 47
E. 45
F. 50
G. 48
H. 53
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Odpowiedzi:
T/N : ciąg (a_n) jest geometryczny
T/N : ciąg (a_n) jest malejący
Zadanie 12. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21128)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny
(a_n) , określony dla wszystkich liczb
naturalnych
n\geqslant 1 . Suma dwudziestu początkowych wyrazów
tego ciągu jest równa
20\cdot a_{21}-1995 .
Oblicz różnicę ciągu (a_n) .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 13. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21152)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Dany jest trzywyrazowy ciąg
(x,4x-6,x+9) .
Oblicz wszystkie wartości
x , dla których ten ciąg jest geometryczny.
Podaj tę wartość x , która jest całkowita.
Odpowiedź:
x_{\in\mathbb{Z}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Podaj tę wartość
x , która nie jest całkowita.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 14. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21153)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 14.1 (2 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny
(a_n) , określony dla
n\geqslant 1 , w którym spełniona jest równość
a_{20}+a_{25}+a_{30}+a_{35}=154 .
Oblicz sumę a_{27}+a_{28} .
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 15. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21154)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
W ciągu geometrycznym przez
S_n oznaczamy sumę
n początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych
n\in\mathbb{N_{+}} . Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego:
S_1=3 i
S_2=36 .
Oblicz iloraz i czwarty wyraz tego ciągu.
Odpowiedzi:
Zadanie 16. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21155)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 16.1 (2 pkt)
Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego
(a_n) , określonego dla
n\in\mathbb{N_{+}} , jest równy
29 , a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa
106 .
Oblicz pierwszy wyraz a_1 i różnicę r tego ciągu.
Odpowiedzi:
Zadanie 17. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21156)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego
(a_n) , określonego dla
n\in\mathbb{N_{+}} , jest równy
38 , a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa
192 .
Oblicz pierwszy wyraz a_1 i różnicę r tego ciągu.
Odpowiedzi:
Zadanie 18. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21157)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 18.1 (2 pkt)
Suma
70 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
(a_n) , określonego dla
n\in\mathbb{N_{+}} ,
jest równa
70 . Ponadto
a_{70}=70 .
Oblicz wyraz a_1 tego ciągu.
Odpowiedź:
a_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 19. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21158)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 19.1 (2 pkt)
W ciągu arytmetycznym
(a_n) , określonym dla
n\geqslant 1 ,
dane są: wyraz
a_1=8 i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu
S_3=39 .
Oblicz wyraz a_1 i różnicę r tego ciągu.
Odpowiedzi:
Zadanie 20. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21193)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Ciąg
(a_n) jest określony następująco
\begin{cases}a_1=3\\ a_{n+1}=3a_n+5\end{cases} dla każdej liczby
naturalnej
n\geqslant 1 .
Trzeci wyraz ciągu (a_n) jest równy:
Odpowiedź:
a_3=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 20.2 (1 pkt)
Oceń prawdziwość poniższych zdań:
Odpowiedzi:
T/N : ciąg (a_n) jest geometryczny
T/N : ciąg (a_n) jest arytmetyczny
Zadanie 21. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21194)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
Wyznacz wartości
m , dla których trzywyrazowy ciąg
(2m+7, m^2-4m+7,7-m) jest arytmetyczny.
Podaj najmniejsze i największe takie m .
Odpowiedzi:
Podpunkt 21.2 (1 pkt)
Podaj tę wartość
m , dla której ciąg arytmetyczny jest malejący.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 22. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21201)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
Ciąg
(a_n) jest określony wzorem
a_n=3n^2-3n , dla każdej liczby naturalnej
n\geqslant 1 .
Suma S_3 trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu
(a_n) jest równa:
Odpowiedź:
S_{3}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 22.2 (1 pkt)
Oceń prawdziwość poniższych zdań:
Odpowiedzi:
T/N : ciąg (a_n) jest rosnący
T/N : ciąg (a_n) jest arytmetyczny
Zadanie 23. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21202)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
W ciągu arytmetycznym
(a_n) , określonym dla każdej liczby naturalnej
n \geqslant 1 , dane są wyrazy:
a_1=-1 oraz
a_{25}=-15 .
Różnica ciągu (a_n) jest równa:
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 23.2 (1 pkt)
Suma
S_{25} dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu
(a_n) jest równa:
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm