Ciągi liczbowe

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy

Uczeń:

oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach:
- \begin{cases}a_1=0,001\\a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2}a_n(1-a_n)\end{cases}
- \begin{cases}a_1=1\\a_2=1\\a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\end{cases}
w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Zadanie 1. (5 pkt) (Numer zadania: pp-30415)

Podpunkt 1.1 (2 pkt)

Rosnący ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa S_5=-80. Wyrazy a_{9}, a_{11}, a_{19} tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny.

Wyznacz trzeci wyraz a_3 tego ciągu.

Odpowiedź:

a_3= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 1.2 (1 pkt)

Wyznacz różnicę r tego ciągu.

Odpowiedź:

a_3= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 1.3 (2 pkt)

Zapisz wzór na ogólny wyraz tego ciągu w postaci a_n=an+b.

Podaj liczby a i b.

Odpowiedzi:

a	=	(wpisz liczbę całkowitą)
b	=	(wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 2. (5 pkt) (Numer zadania: pp-30418)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 2.1 (3 pkt)

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=16n+66 dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Trójwyrazowy ciąg (a_{2}, x^2+2, a_{6}), gdzie x jest liczbą rzeczywistą dodatnią, jest geometryczny i rosnący.

Oblicz x.

Odpowiedź:

x= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 2.2 (2 pkt)

Oblicz iloraz tego ciągu.

Odpowiedź:

q=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 3. (4 pkt) (Numer zadania: pp-30426)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 3.1 (2 pkt)

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego a_n, określonego dla n\in\mathbb{N_{+}}, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek -24a_1+2a_2+a_3=0. Oblicz iloraz q tego ciągu.

Podaj najmniejsze możliwe q.

Odpowiedź:

q_{min}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 3.2 (2 pkt)

Podaj największe możliwe q.

Odpowiedź:

q_{max}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 4. (4 pkt) (Numer zadania: pp-30427)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 4.1 (2 pkt)

W ciągu arytmetycznym (a_1,a_2,a_3,...,a_{40}) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 560, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 640.

Wyznacz różnicę tego ciągu.

Odpowiedź:

r= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 4.2 (2 pkt)

Podaj pierwszy wyraz tego ciągu.

Odpowiedź:

a_1= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 5. (4 pkt) (Numer zadania: pp-30428)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 5.1 (2 pkt)

Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\in\mathbb{N_{+}}. Różnicą tego ciągu jest liczba r=-4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu jest równa 2.

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu a_1.

Odpowiedź:

a_1= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 5.2 (2 pkt)

Wyznacz liczbę k, dla której a_{k}=-84.

Odpowiedź:

k= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 6. (4 pkt) (Numer zadania: pp-30429)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 6.1 (2 pkt)

W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla liczb naturalnych n\geqslant 1, wyraz a_{19} jest dwa razy większy od wyrazu go poprzedzającego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa S_{10}=-\frac{115}{4}.

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu a_1.

Odpowiedź:

a_1=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 6.2 (2 pkt)

Oblicz rónicę r tego ciągu.

Odpowiedź:

r=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 7. (4 pkt) (Numer zadania: pp-30430)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 7.1 (2 pkt)

Ciąg arytmetyczny (a_n) określony jest wzorem a_n=210-5n, dla n\geqslant 1.

Ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg?

Odpowiedź:

ile= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 7.2 (2 pkt)

Oblicz sumę dodatnich wyrazów tego ciągu.

Odpowiedź:

S_{> 0}= (wpisz liczbę całkowitą)

Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm