Ciągi liczbowe
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
Uczeń:
- oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
- oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach:
- \begin{cases}a_1=0,001\\a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2}a_n(1-a_n)\end{cases}
- \begin{cases}a_1=1\\a_2=1\\a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\end{cases}
- w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
- sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
- stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
- stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
- wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
| Zadanie 1. (4 pkt) (Numer zadania: pr-30880) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 1.1 (2 pkt)
Określamy kwadraty K_1, K_2,
K_3,... następująco:
K_1 jest kwadratem o boku długości a,
K_2jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku
kwadratu K_1 i dzieli ten bok w stosunku 1:7
K_3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku
kwadratu K_2 i dzieli ten bok w stosunku 1:7
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 2:
K_n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku
kwadratu K_{n-1} i dzieli ten bok w stosunku 1:7
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej:
Wyznacz iloraz tego ciągu.
Odpowiedź:
| q= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 1.2 (2 pkt)
Przyjmując, że a=5, oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów.
Odpowiedź:
| S= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 2. (4 pkt) (Numer zadania: pr-30883) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 2.1 (2 pkt)
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
2(3x+2)-\frac{6(3x+2)}{3x+1}+\frac{18(3x+2)}{(3x+1)^2}-\frac{54(3x+2)}{(3x+1)^3}+....
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od -\frac{2}{3} i od -\frac{1}{3}), dla których suma tego szeregu istnieje.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedzi:
| min | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| max | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 2.2 (2 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x, dla których suma tego szeregu istnieje
i jest równa \frac{15}{2}.
Podaj największe takie x.
Odpowiedź:
| x_{max}= | |
| Zadanie 3. (5 pkt) (Numer zadania: pr-30886) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 3.1 (2 pkt)
Ciąg (a,b,c+2) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach
dodatnich. Ciąg (2a,2b,c+3) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym.
Ponadto spełniony jest warunek c-b=4.
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 3.2 (3 pkt)
Podaj liczbę c.
Odpowiedź:
c=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 4. (4 pkt) (Numer zadania: pr-30891) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
Trzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny i rosnący. Suma
wyrazów tego ciągu jest równa 301. Liczby
x, y oraz z
są - odpowiednio – wyrazami a_1, a_2
oraz a_{8} ciągu arytmetycznego
(a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej
n \geqslant 1.
Oblicz x, y oraz z.
Podaj iloraz q ciągu geometrycznego.
Odpowiedź:
| q= | |
Podpunkt 4.2 (2 pkt)
Podaj różnicę r ciągu arytmetycznego.
Odpowiedź:
| r= | |
| Zadanie 5. (4 pkt) (Numer zadania: pr-30895) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 5.1 (2 pkt)
Nieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej
liczby naturalnej n\geqslant 1. Suma wszystkich wyrazów ciągu
(a_n) o numerach nieparzystych jest równa
64, tj.
a_1+a_3+a_5+...=64.
Ponadto a_1+a_3=\frac{25}{12}\cdot a_2.
Wyznacz iloraz q tego ciągu.
Odpowiedź:
| q= | |
Podpunkt 5.2 (2 pkt)
Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.
Odpowiedź:
a_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 6. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31004) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej
n\geqslant 1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie.
Ponadto a_1=1175 i
a_{22}=\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}. Ciąg (b_n),
określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1, jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa sumie
k=11 początkowych kolejnych wyrazów ciągu (b_n).
Ponadto a_3=b_4.
Oblicz iloraz q ciągu (a_n).
Odpowiedź:
| q= | |
Podpunkt 6.2 (1 pkt)
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (a_n).
Odpowiedź:
| S= | |
Podpunkt 6.3 (2 pkt)
Wyznacz b_1.
Odpowiedź:
b_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 7. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31010) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 7.1 (2 pkt)
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej
liczby naturalnej n\geqslant 1, którego iloraz q
jest 182 razy mniejszy od pierwszego wyrazu ciągu i spełnia warunek
|q|\lessdot 1. Stosunek sumy S_{N} wszystkich
wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy S_{P} wszystkich
wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj.
\frac{S_{N}}{S_{P}}=S_{N}-S_{P}. Wyznacz iloraz q tego ciągu.
Podaj najmniejszą możliwą wartość q.
Odpowiedź:
| q_{min}= | |
Podpunkt 7.2 (2 pkt)
Podaj największą możliwą wartość q.
Odpowiedź:
| q_{max}= | |
| Zadanie 8. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31025) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 8.1 (4 pkt)
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej
liczby naturalnej n\geqslant 1. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu
(a_n) jest równa 7, a suma S
wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8. Wyznacz wszystkie wartości
n, dla których spełniona jest nierówność
\left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|\lessdot \frac{1}{1024}, gdzie
S_n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu
(a_n).
Podaj najmniejszą możliwą wartość n, która spełnia tę nierówność.
Odpowiedź:
n_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 9. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31036) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Czterowyrazowy ciąg (a,b,c,d) jest arytmetyczny i rosnący. Różnica pomiędzy pierwszym
a czwartym wyrazem tego ciągu jest równa 72.
Ponadto ciąg (a+96,b,c) jest geometryczny.
Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego.
Odpowiedź:
| r= | |
Podpunkt 9.2 (2 pkt)
Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
Odpowiedź:
| q= | |
| Zadanie 10. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31057) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Dany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) o równaniach
x^2+y^2=3^{27-n}, gdzie n\geqslant 1.
Niech P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem
o_{2k-1} i wewnętrznym okręgiem o_{2k}.
Wzór na pole powierzchni pierścienia P_k można zapisać w postaci
S_k=a\cdot \pi\cdot 3^{27-2k}.
Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
| a= | |
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Pola powierzchni wszystkich pierścieni tworzą ciąg geometryczny.
Wyznacz iloraz q tego ciągu.
Odpowiedź:
| q= | |
Podpunkt 10.3 (2 pkt)
Suma pól powierzchni wszystkich pierścieni jest równa \frac{3^m}{n}, gdzie
m,n\in\mathbb{Z_{+}} i n jest najmniejszą możliwą
liczbą całkowitą dodatnią.
Podaj liczby m i n.
Odpowiedzi:
| m | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| n | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 11. (5 pkt) (Numer zadania: pr-31063) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 11.1 (2 pkt)
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a_1, a_2, a_3), spełniona jest równość
a_1+a_2+a_3=\frac{105}{8}. Wyrazy a_1,
a_2, a_3 są – odpowiednio –szóstym
, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego.
Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
Odpowiedź:
| q= | |
Podpunkt 11.2 (3 pkt)
Oblicz a_1.
Odpowiedź:
| a_1= | |