Trygonometria

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy

Uczeń:

wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od $0^{\circ}$ do $180^{\circ}$ , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ i $60^{\circ}$ ;
znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;
znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej;
korzysta z wzorów $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ , $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ;
stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta $P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\alpha$ ;
oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).

Zadanie 1. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11955)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 1.1 (1 pkt)

Wierzchołek kąta znajduje się w punkcie $O=(0,0)$ , a do jego ramion należą punkty $A=(-1,2)$ oraz $B=(2,0)$ .

Tangens kąta $AOB$ jest równy:

Odpowiedź:

$\tan\sphericalangle{AOB}=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 2. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11769)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 2.1 (1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $3\sin^4\alpha+3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha$ jest równe:

Odpowiedzi:

A. $6\sin^2\alpha(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)$	B. $3\sin^2\alpha$
C. $3\sin^6\alpha\cdot\cos^2\alpha$	D. $6\sin^4\alpha+1$
E. $3\sin^2\alpha+1$	F. $3\sin^2\alpha(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)$

Zadanie 3. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11791)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 3.1 (1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $6\cos\alpha-6\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha$ jest równe:

Odpowiedzi:

A. $-6\cos\alpha$	B. $12\cos^2\alpha$
C. $6\cos^3\alpha$	D. $12+12\sin^2\alpha$
E. $6\sin^2\alpha$	F. $-6\cos^2\alpha$

Zadanie 4. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11817)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 4.1 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry $\cos\alpha=\frac{12}{13}$ .

Sinus kąta $\alpha$ jest równy:

Odpowiedź:

$\sin\alpha=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 5. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11840)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 5.1 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin\alpha=\frac{9\sqrt{145}}{145}$ .

Tangens kąta $\alpha$ jest równy:

Odpowiedź:

$\tan\alpha=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 6. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11863)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 6.1 (1 pkt)

Liczba $\cos 19^{\circ}\cdot\sin 71^{\circ}+\sin 19^{\circ}\cdot\cos 71^{\circ}$ jest równa:

Odpowiedź:

Wpisz odpowiedź:	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 7. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11905)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 7.1 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{5}{6}$ .

Wtedy $\cos^2(90^{\circ}-\alpha)$ jest równy:

Odpowiedź:

$\cos^2(90^{\circ}-\alpha)=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 8. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11921)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 8.1 (1 pkt)

Przyprostokątna $AC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ ma długość $3$ , a przeciwprostokątna $AB$ ma długość $\sqrt{58}$ .

Wtedy tangens kąta ostrego $CAB$ tego trójkąta jest równy:

Odpowiedź:

$\tan\sphericalangle CAB=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 9. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11922)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 9.1 (1 pkt)

Nie istnieje kąt ostry $\alpha$ taki, że:

Odpowiedzi:

A. $\sin\alpha=\frac{5}{13}$ i $\cos\alpha=\frac{12}{13}$	B. $\sin\alpha=\frac{3}{5}$ i $\cos\alpha=\frac{4}{5}$
C. $\sin\alpha=\frac{8}{17}$ i $\cos\alpha=\frac{15}{17}$	D. $\sin\alpha=\frac{9}{15}$ i $\cos\alpha=\frac{13}{15}$

Zadanie 10. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11951)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 10.1 (1 pkt)

Wartość wyrażenia $\left(4-\sin{31}^{\circ}\right)\cdot\left(4+\sin{31}^{\circ}\right)-\cos^2{31}^{\circ}$ jest równa:

Odpowiedź:

Wpisz odpowiedź: (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 11. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11970)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 11.1 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\frac{1}{\sin^2\alpha}+\frac{1}{\cos^2\alpha}=\frac{9}{2}$ .

Wartość wyrażenia $\sin\alpha\cdot\cos\alpha$ równa:

Odpowiedź:

$\sin\alpha\cdot\cos\alpha=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 12. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11993)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 12.1 (1 pkt)

Liczba $\sin^332^{\circ}+\cos^232^{\circ}\cdot\cos58^{\circ}$ jest równa $a\cdot\sin32^{\circ}+b\cdot\sin32^{\circ}\cdot\cos32^{\circ}$ .

Podaj liczby $a$ i $b$ .

Odpowiedzi:

$a$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)
$b$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 13. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12015)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 13.1 (1 pkt)

Liczba $6\cos^2 38^{\circ}+4$ jest równa $a+b\sin^2 38^{\circ}$ .

Podaj liczby $a$ i $b$ .

Odpowiedzi:

$a$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)
$b$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 14. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12042)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 14.1 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin\alpha=\frac{21}{29}$ .

Wtedy $\cos\alpha$ jest równy:

Odpowiedź:

$\cos\alpha=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 15. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12043)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 15.1 (1 pkt)

Dane są punkty $M=(9,0)$ , $N=(9,5)$ $O=(0,0)$ .

Tangens kąta ostrego $MON$ jest równy:

Odpowiedź:

$\tan\sphericalangle MON=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 16. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12067)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 16.1 (1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ iloczyn $\frac{1-\sin^2\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\alpha}{1-\cos^2\alpha}$ jest równy:

Odpowiedzi:

A. $\sin\alpha\cdot\cos\alpha$	B. $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
C. $\frac{1}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha}$	D. $\cos^2\alpha$
E. $\cos\alpha$	F. $\frac{1}{\sin\alpha}$

Zadanie 17. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12092)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 17.1 (1 pkt)

Kąt o mierze $\alpha$ jest ostry i $\tan\alpha=4\sqrt{3}$ .

Wtedy $\cos\alpha$ jest równy:

Odpowiedź:

$\cos\alpha=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 18. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12115)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 18.1 (1 pkt)

Prosta $k:y=ax+b$ przechodzi przez punkt $A=(-3,6)$ i jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem $45^{\circ}$ .

Podaj współczynniki $a$ i $b$ .

Odpowiedzi:

$a$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)
$b$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 19. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12122)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 19.1 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{3}{5}$ .

Wynika stąd, że $\cos\alpha$ jest równy:

Odpowiedź:

$\cos\alpha=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 20. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12248)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 20.1 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{3\sqrt{3}}{7}$ .

Oblicz $\cos\alpha$ .

Odpowiedź:

$\cos\alpha=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 21. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12249)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 21.1 (1 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ , w którym przyprostokątna $BC$ ma długość $97$ cm, a przyprostokątna $AC$ ma długość $39$ cm.

Oblicz zaokrągloną do pełnych stopni miarę stopniową kąta $ABC$ tego trójkąta.

Odpowiedź:

$|\sphericalangle ABC|\ [^{\circ}]=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 22. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12250)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 22.1 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełniona jest równość $\sin{\alpha}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$ .

Wówczas $\tan\alpha$ jest równy:

Odpowiedź:

$\tan\alpha=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 23. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12251)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 23.1 (1 pkt)

Cosinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\frac{21}{29}$ .

Wówczas sinus tego kąta jest równy:

Odpowiedź:

$\sin\alpha=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 24. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12252)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 24.1 (1 pkt)

Kąt $\alpha\in(0^{\circ},180^{\circ})$ oraz wiadomo, że $\sin\alpha \cdot \cos\alpha=\frac{3}{8}$ .

Wówczas wartość wyrażenia $w=(\cos\alpha-\sin\alpha)^2+2$ jest równa:

Odpowiedź:

$w=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 25. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12253)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 25.1 (1 pkt)

Wartość wyrażenia $w=6\sin^2{29^{\circ}}+\sin^2{61^{\circ}}+5\cos^2{29^{\circ}}$ jest równa:

Odpowiedź:

$w=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 26. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12254)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 26.1 (1 pkt)

Kat $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=\frac{4}{5}$ .

Wówczas wyrażenie $\sin\alpha\cdot\tan\alpha$ jest równe:

Odpowiedź:

$\sin\alpha\cdot\tan\alpha=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 27. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12255)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 27.1 (1 pkt)

Kat $\alpha\in(0^{\circ},180^{\circ})$ oraz wiadomo, że $\sin\alpha\cdot \cos\alpha=\frac{3}{8}$ .

Wartość wyrażenia $w=(\sin\alpha-\cos\alpha)^2+2$ jest równa:

Odpowiedź:

$w=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 28. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12256)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 28.1 (1 pkt)

Kat $\alpha\in(0^{\circ},90^{\circ})$ i spełniona jest równość $\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Oblicz $\cos\alpha$ .

Odpowiedź:

$\cos\alpha=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 29. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12257)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 29.1 (1 pkt)

Kat $\alpha$ jest ostry i $\tan\alpha=\frac{112}{15}$ .

Oblicz $w=\cos\alpha$ .

Odpowiedź:

$w=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 30. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12258)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 30.1 (1 pkt)

Wiadomo, że $x=\cos{33^{\circ}}$ oraz $\sin{57^{\circ}}=a\cdot x+b$ .

Podaj liczby $a$ i $b$ .

Odpowiedzi:

$a$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)
$b$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 31. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12259)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 31.1 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{112}{113}$ .

Oblicz wartość wyrażenia $w=\cos\alpha-\sin\alpha$ .

Odpowiedź:

$w=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 32. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12260)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 32.1 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\tan\alpha=\frac{1}{4}$ .

Oblicz wartość wyrażenia $w=\cos\alpha$ .

Odpowiedź:

$w=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 33. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12261)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 33.1 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{1}{4}$ .

Oblicz $\cos\alpha$ .

Odpowiedź:

$\cos\alpha=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm