Trygonometria
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0^{\circ}
do 180^{\circ} , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów
30^{\circ} , 45^{\circ} i 60^{\circ} ;
znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;
znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej;
korzysta z wzorów \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 , \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} ;
stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\alpha ;
oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).
Zadanie 1. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11955)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Wierzchołek kąta znajduje się w punkcie
O=(0,0) , a do jego ramion należą
punkty
A=(-3,6) oraz
B=(2,0) .
Tangens kąta AOB jest równy:
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 2. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11769)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Dla każdego kąta ostrego
\alpha wyrażenie
9\sin^4\alpha+9\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha
jest równe:
Odpowiedzi:
A. 9\sin^2\alpha(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)
B. 9\sin^6\alpha\cdot\cos^2\alpha
C. 9\sin^2\alpha
D. 18\sin^4\alpha+1
E. 18\sin^2\alpha(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)
F. 18\sin^4\alpha+1
Zadanie 3. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11791)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Dla każdego kąta ostrego
\alpha wyrażenie
2\cos\alpha-2\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha jest równe:
Odpowiedzi:
A. 2+2\sin^2\alpha
B. 2\sin^2\alpha
C. 2\cos^3\alpha
D. -2\cos^2\alpha
E. 4\cos^2\alpha
F. -2\cos\alpha
Zadanie 4. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11817)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry
\cos\alpha=\frac{\sqrt{21}}{11} .
Sinus kąta \alpha jest równy:
Odpowiedź:
Zadanie 5. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11840)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry oraz
\sin\alpha=\frac{3\sqrt{13}}{13} .
Tangens kąta \alpha jest równy:
Odpowiedź:
Zadanie 6. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11863)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Liczba
\cos 33^{\circ}\cdot\sin 57^{\circ}+\sin 33^{\circ}\cdot\cos 57^{\circ}
jest równa:
Odpowiedź:
Zadanie 7. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11905)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry i
\sin\alpha=\frac{2}{3} .
Wtedy \cos^2(90^{\circ}-\alpha) jest równy:
Odpowiedź:
Zadanie 8. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11921)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Przyprostokątna
AC trójkąta prostokątnego
ABC
ma długość
7 , a przeciwprostokątna
AB
ma długość
\sqrt{74} .
Wtedy tangens kąta ostrego CAB tego trójkąta jest równy:
Odpowiedź:
Zadanie 9. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11922)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Nie istnieje kąt ostry
\alpha taki, że:
Odpowiedzi:
A. \sin\alpha=\frac{9}{15} i \cos\alpha=\frac{12}{15}
B. \sin\alpha=\frac{3}{5} i \cos\alpha=\frac{4}{5}
C. \sin\alpha=\frac{5}{13} i \cos\alpha=\frac{12}{13}
D. \sin\alpha=\frac{8}{17} i \cos\alpha=\frac{16}{17}
Zadanie 10. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11951)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Wartość wyrażenia
\left(3-\sin{59}^{\circ}\right)\cdot\left(3+\sin{59}^{\circ}\right)-\cos^2{59}^{\circ}
jest równa:
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 11. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11970)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry oraz
\frac{1}{\sin^2\alpha}+\frac{1}{\cos^2\alpha}=\frac{64}{7} .
Wartość wyrażenia \sin\alpha\cdot\cos\alpha równa:
Odpowiedź:
Zadanie 12. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11993)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Liczba
\sin^359^{\circ}+\cos^259^{\circ}\cdot\cos31^{\circ} jest równa
a\cdot\sin59^{\circ}+b\cdot\sin59^{\circ}\cdot\cos59^{\circ} .
Podaj liczby a i b .
Odpowiedzi:
Zadanie 13. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12015)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Liczba
4\cos^2 59^{\circ}+4 jest równa
a+b\sin^2 59^{\circ} .
Podaj liczby a i b .
Odpowiedzi:
Zadanie 14. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12042)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry oraz
\sin\alpha=\frac{4}{5} .
Wtedy \cos\alpha jest równy:
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 15. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12043)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Dane są punkty
M=(8,0) ,
N=(8,14)
O=(0,0) .
Tangens kąta ostrego MON jest równy:
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 16. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12067)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Dla każdego kąta ostrego
\alpha iloczyn
\frac{1-\sin^2\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\alpha}{1-\cos^2\alpha}
jest równy:
Odpowiedzi:
A. \sin\alpha\cdot\cos\alpha
B. \cos^2\alpha
C. \sin^2\alpha
D. \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
E. \frac{1}{\sin\alpha}
F. \cos\alpha
Zadanie 17. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12092)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
Kąt o mierze
\alpha jest ostry i
\tan\alpha=3\sqrt{5} .
Wtedy \cos\alpha jest równy:
Odpowiedź:
Zadanie 18. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12115)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Prosta
k:y=ax+b przechodzi przez punkt
A=(6,1) i jest nachylona do osi
Ox pod kątem
45^{\circ} .
Podaj współczynniki a i b .
Odpowiedzi:
Zadanie 19. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12122)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry i
\sin\alpha=\frac{3}{5} .
Wynika stąd, że \cos\alpha jest równy:
Odpowiedź:
Zadanie 20. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12248)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry i
\sin\alpha=\frac{4\sqrt{6}}{11} .
Oblicz \cos\alpha .
Odpowiedź:
Zadanie 21. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12249)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny
ABC , w którym przyprostokątna
BC ma długość
74 cm, a przyprostokątna
AC ma długość
109 cm.
Oblicz zaokrągloną do pełnych stopni miarę stopniową kąta ABC
tego trójkąta.
Odpowiedź:
|\sphericalangle ABC|\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 22. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12250)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry i spełniona jest równość
\sin{\alpha}=\frac{4\sqrt{2}}{9} .
Wówczas \tan\alpha jest równy:
Odpowiedź:
Zadanie 23. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12251)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
Cosinus kąta ostrego
\alpha jest równy
\frac{8}{17} .
Wówczas sinus tego kąta jest równy:
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 24. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12252)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha\in(0^{\circ},180^{\circ}) oraz wiadomo, że
\sin\alpha \cdot \cos\alpha=\frac{1}{8} .
Wówczas wartość wyrażenia w=(\cos\alpha-\sin\alpha)^2+2 jest równa:
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 25. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12253)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
Wartość wyrażenia
w=5\sin^2{1^{\circ}}+\sin^2{89^{\circ}}+4\cos^2{1^{\circ}} jest równa:
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 26. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12254)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
Kat
\alpha jest ostry i
\cos\alpha=\frac{4}{5} .
Wówczas wyrażenie \sin\alpha\cdot\tan\alpha jest równe:
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 27. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12255)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 27.1 (1 pkt)
Kat
\alpha\in(0^{\circ},180^{\circ}) oraz wiadomo, że
\sin\alpha\cdot \cos\alpha=\frac{1}{8} .
Wartość wyrażenia w=(\sin\alpha-\cos\alpha)^2+2 jest równa:
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 28. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12256)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
Kat
\alpha\in(0^{\circ},90^{\circ}) i spełniona jest równość
\sin{\alpha}=\frac{4\sqrt{6}}{15} .
Oblicz \cos\alpha .
Odpowiedź:
Zadanie 29. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12257)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
Kat
\alpha jest ostry i
\tan\alpha=\frac{80}{39} .
Oblicz w=\cos\alpha .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 30. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12258)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
Wiadomo, że
x=\cos{79^{\circ}} oraz
\sin{11^{\circ}}=a\cdot x+b .
Podaj liczby a i b .
Odpowiedzi:
Zadanie 31. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12259)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry i
\sin\alpha=\frac{80}{89} .
Oblicz wartość wyrażenia w=\cos\alpha-\sin\alpha .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 32. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12260)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 32.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry i
\tan\alpha=\frac{1}{7} .
Oblicz wartość wyrażenia w=\cos\alpha .
Odpowiedź:
Zadanie 33. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12261)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 33.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry i
\sin\alpha=\frac{1}{7} .
Oblicz \cos\alpha .
Odpowiedź:
Zadanie 34. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12353)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 34.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry oraz
\sin\alpha=\frac{5}{13} .
Tangens kąta \alpha jest równy:
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 35. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12375)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 35.1 (1 pkt)
Kąt o mierze
\alpha jest rozwarty oraz
\sin\alpha=\frac{2\sqrt{30}}{13} .
Cosinus kąta o mierze \alpha jest równy:
Odpowiedź:
Zadanie 36. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12390)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 36.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry i spełnia warunek
\sqrt{7}\tan\alpha=5\sin\alpha .
Cosinus kąta \alpha jest równy:
Odpowiedź:
Zadanie 37. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12411)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 37.1 (1 pkt)
Liczba
\frac{\sin^360^{\circ}+\sin60^{\circ}\cdot\cos^260^{\circ}}{\cos60^{\circ}} jest równa:
Odpowiedź:
Zadanie 38. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12433)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 38.1 (1 pkt)
Kąt
\alpha jest ostry oraz
\sin\alpha=\frac{35}{37} .
Wyznacz tangens kąta \alpha .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 39. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12434)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 39.1 (1 pkt)
Oblicz wartość wyrażenia
\sin{60}^{\circ}\cdot\sin{60}^{\circ}+\cos{60}^{\circ}\cdot\cos{60}^{\circ} .
Odpowiedź:
Zadanie 40. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12451)
[ ⇒ Rozwiąż ]
Podpunkt 40.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny
ABC , w którym bok
BC jest przeciwprostokątną oraz
|AC|=8 .
Tangens kąta
BCA jest równy
\frac{8}{9} .
Oblicz długość odcinka AB .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm