Trygonometria

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony

Uczeń:

wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od $0^{\circ}$ do $180^{\circ}$ , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ i $60^{\circ}$ ;
znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;
znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej;
korzysta z wzorów $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ , $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ;
stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta $P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\alpha$ ;
oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).

Zadanie 1. (4 pkt) (Numer zadania: pr-20285)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 1.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $\cos 7x+\sin x=0$ w zbiorze $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ .

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 1.2 (2 pkt)

Ile rozwiązań ma to równanie?

Odpowiedź:

$ile=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 2. (5 pkt) (Numer zadania: pr-30890)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 2.1 (2.5 pkt)

Rozwiąż równanie $\sin4x-\sin2x=2\cos^2x-\frac{3}{2}$ w zbiorze $[0,2\pi]$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 2.2 (2.5 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $b\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $b$ .

Odpowiedź:

$b=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 3. (4 pkt) (Numer zadania: pr-30897)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 3.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $\sin{5x}+\sqrt{3}\sin{3x}+\sin{x}=0$ w przedziale $(0,2\pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 3.2 (2 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 4. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31005)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 4.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $\sin6x+\sin7x+\sin8x=0$ w zbiorze $\left(-0, \pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 4.2 (2 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 5. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31011)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 5.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $\cos{7x}+\sqrt{3}\sin{7x}+\sqrt{2}=0$ w przedziale $(0,\pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 5.2 (2 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 6. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31017)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 6.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $6\sin{x}+2\sqrt{3}\cos{x}+3\sqrt{2}\tan{x}+\sqrt{6}=0$ w przedziale $(0,2\pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 6.2 (2 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 7. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31028)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 7.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $\sin{18x}=2\sin{6x}$ w przedziale $(0,2\pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 7.2 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $\sin{18x}=2\sin{6x}$ w przedziale $(0,2\pi)$ .

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 8. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31032)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 8.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $\sin\left(x+\frac{1}{5}\pi\right)\cdot\cos\left(x+\frac{1}{5}\pi\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}$ w przedziale $(0,2\pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 8.2 (2 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 9. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31048)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 9.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $2\cos^2{x}+\sqrt{3}\cos{x}=\sin{2x}+\sqrt{3}\sin{x}$ w przedziale $(0,2\pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 9.2 (2 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 10. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31069)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 10.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $4\sin^3{x}-\sin{2x}=2\sin^2{x}\cdot (2\cos{x}-1)$ w przedziale $(0,2\pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 10.2 (2 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 11. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31075)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 11.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $4\sin10x\cos4x=2\sin14x+\sqrt{3}$ w przedziale $(0,2\pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot\pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 11.2 (2 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot\pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 12. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31076)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 12.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $\cos4x\left[\sin\left(5x-\frac{\pi}{3}\right)+\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)\right]=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin5x$ w przedziale $(0,2\pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 12.2 (2 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 13. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31077)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 13.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $\sin{10x}-\cos{5x}=2\sin{5x}-1$ w przedziale $(0,2\pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 13.2 (2 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 14. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31078)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 14.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $3\sin\left(4x-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{3}$ w przedziale $(0,2\pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 14.2 (2 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 15. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31079)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 15.1 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $\cos{8x}=3\cos{4x}-2$ w przedziale $x\in(0,2\pi)$ .

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot\pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 15.2 (2 pkt)

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci $a\cdot\pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 16. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31080)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 16.1 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność $(6\sin 2x-7)(2\sin 2x+\sqrt{3})>0$ w przedziale $\mathbb{D}=(0,\pi)$ .

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Najmniejszy z końców tych przedziałów, który należy do zbioru $\mathbb{D}$ zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 16.2 (2 pkt)

Największy z końców tych przedziałów, który należy do zbioru $\mathbb{D}$ zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 17. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31081)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 17.1 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność $\frac{2\cos{2x+1}}{4\cos^2{2x}}\lessdot 0$ w przedziale $\mathbb{D}=(0,\pi)$ .

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Najmniejszy z końców tych przedziałów, który należy do zbioru $\mathbb{D}$ zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 17.2 (2 pkt)

Największy z końców tych przedziałów, który należy do zbioru $\mathbb{D}$ zapisz w postaci $a\cdot \pi$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm