Planimetria z CKE
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
- wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
- rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
- rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
- korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
- stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
- stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
- stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;
- korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
- wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
- wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
- stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
- przeprowadza dowody geometryczne.
| Zadanie 1. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11772) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
W rombie o boku długości 2\sqrt{5} kąt rozwarty ma miarę
150^{\circ}.
Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy:
Odpowiedź:
| d_1\cdot d_2= | |
| Zadanie 2. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11770) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Punkty A, B i C
należą do okręgu o środku w punkcie O, a kąt
\alpha ma miarę 58^{\circ}:
Miara stopniowa kąta \beta jest równa:
Odpowiedź:
\beta \ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 3. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11792) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku S.
Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A.
Prosta l przecina ten okrąg w punktach B i
C. Proste k i l
przecinają się w punkcie D, przy czym a=9
i b=12 (zobacz rysunek).
Odległość punktu A od prostej l jest równa:
Odpowiedź:
| d(A,l)= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 4. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11794) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
W trapezie ABCD o podstawach AB i
CD przekątne przecinają się w punkcie E
(zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń:
Odpowiedzi:
| T/N : P_{\triangle ACD}=P_{\triangle BCD} | T/N : \triangle ABE \sim \triangle DEC |
| Zadanie 5. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11793) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Na łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane
ADB i DBC, takie, że
\alpha=18^{\circ} i \beta=28^{\circ} (zobacz rysunek).
Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K.
Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K.
Miara stopniowa kąta DKC jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle DKC|\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 6. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11795) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 6.1 (0.5 pkt)
Pole trójkąta równobocznego T_1 jest równe
\frac{(1.5)^2\sqrt{3}}{4}.
Pole trójkąta równobocznego T_2 jest równe
\frac{(4.5)^2\sqrt{3}}{4}.
Trójkąt T_2 jest podobny do trójkąta T_1 w skali:
Odpowiedź:
| k= | |
Podpunkt 6.2 (0.5 pkt)
Oceń, które z podanych zdań poprawnie uzasadniają powyższą odpowiedź:
Odpowiedzi:
| T/N : ponieważ pole trójkąta T_2 jest 9 razy większe od pola trójkąta T_1 | T/N : ponieważ bok trójkąta T_2 jest o 3.0 dłuższy od boku trójkąta T_1 |
| Zadanie 7. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11796) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Pole równoległoboku ABCD jest równe 1848.
Bok AD tego równoległoboku ma długość 44, a kąt
ABC równoległoboku ma miarę 135^{\circ} (zobacz rysunek).
Długość boku AB jest równa:
Odpowiedź:
| |AB|= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 8. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11818) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Trapez T_1, o polu równym 81 i obwodzie
54, jest podobny do trapezu T_2.
Pole powierzchni trapezu T_2 jest równe 9.
Obwód trapezu T_2jest równy:
Odpowiedź:
| L_{T_2}= | |
| Zadanie 9. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11819) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Koło ma promień równy 3.
Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym 30^{\circ} jest równy
a+b\cdot \pi.
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| b | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 10. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11820) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
W okręgu \mathcal{O} kąt środkowy \beta
oraz kąt wpisany \alpha są oparte na tym samym łuku.
Kąt \beta ma miarę o 42^{\circ} większą od kąta
\alpha.
Miara stopniowa kąta \beta jest równa:
Odpowiedź:
\beta\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 11. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11821) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
W trójkącie ABC długość boku AC jest równa
5, a długość boku BC jest równa
4. Dwusieczna kąta ACB przecina bok
AB w punkcie D.
Stosunek |AD|:|DB| jest równy:
Odpowiedź:
| |AD|:|DB|= | |
| Zadanie 12. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11845) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Punkty A, B oraz C
leżą na okręgu o środku w punkcie O. Prosta k
jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą
AB kąt o mierze 38^{\circ}. Ponadto odcinek
AC jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).
Miara stopniowa kąta rozwartego BOC jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle BOC|=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 13. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11846) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość
12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze
30^{\circ} (zobacz rysunek).
Pole rombu ABCD jest równe:
Odpowiedź:
| P_{ABCD}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 14. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11866) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Punkty A, B, C
leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem
przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu
B. Miara kąta BSC jest równa
124^{\circ}, a miara kąta ADB=\gammajest równa
30^{\circ} (zobacz rysunek).
Wtedy kąt ABD ma miarę:
Odpowiedź:
|\sphericalangle ABD|=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 15. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11874) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Punkty A, B, P leżą
na okręgu o środku S i promieniu długości 6.
Czworokąt ASBP jest rombem, w którym kąt ostry PAS
ma miarę 60^{\circ} (zobacz rysunek).
Pole powierzchni zakreskowanej na rysunku figury jest równe a\cdot\pi. Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
| a= | |
| Zadanie 16. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11848) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 5\sqrt{3}. Pole powierzchni
tego trójkąta jest równe:
Odpowiedź:
| P_{\triangle}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 17. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11871) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
Boki równoległoboku mają długości 4 i 8,
a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę 120^{\circ}. Pole powierzchni
tego równoległoboku jest równe:
Odpowiedź:
| P_{\lozenge}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 18. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11892) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Na trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg o środku O.
Miara kąta ABC jest równa 66^{\circ}.
Miara stopniowa kąta ACO jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle ACO| \ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 19. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11893) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Trójkąt ABC jest prostokątny. Odcinek AD jest
wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A na przeciwprostokątną
BC.
Wtedy:
Odpowiedzi:
| A. \frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|BC|}{|BD|} | B. \frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AD|} |
| C. \frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|AC|}{|AB|} | D. \frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|} |
| Zadanie 20. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11894) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Pole rombu o obwodzie 32 i kącie rozwartym
120^{\circ} jest równe:
Odpowiedź:
| P_{\lozenge}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 21. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11896) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
Na boku BC kwadratu ABCD (na zewnątrz) zbudowano
trójkąt równoboczny BEC (zobacz rysunek).
Miara stopniowa kąta DCE=\alpha jest równa:
Odpowiedź:
\alpha\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 22. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11923) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
Wierzchołki A, B, C
czworokąta ABSC leżą na okręgu o środku S.
Kąt ABS ma miarę 54^{\circ} (zobacz rysunek),
a przekątna BC jest dwusieczną tego kąta.
Miara stopniowa kąta ASC jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle ASC|=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 23. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11924) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
Punkty A oraz B leżą na okręgu o środku
S. Kąt środkowy ASB ma miarę
124^{\circ}. Prosta l jest styczna do
tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB
okręgu kąt o mierze \alpha (zobacz rysunek).
Wtedy:
Odpowiedź:
\alpha\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 24. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11925) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
Pole prostokąta jest równe 294, a przekątne
tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym \alpha, takim, że
\sin\alpha=\frac{1}{12}.
Długość przekątnej tego prostokąta jest równa:
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 25. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11953) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
Punkty A, B oraz C
należą do okręgu o środku w punkcie O. Kąt
ABO ma miarę 40^{\circ}, a kąt
OBC ma miarę 17^{\circ} (zobacz rysunek).
Miara kąta ACO jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle ACO|=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 26. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11954) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
W trójkącie ABC bok AB ma długość
2,1, a bok BC ma długość
4,2. Dwusieczna kąta ABC
przecina bok AC w punkcie D takim,
że |AD|=2,6 (zobacz rysunek).
Odcinek CD ma długość:
Odpowiedź:
| |CD|= | |
| Zadanie 27. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11971) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 27.1 (1 pkt)
Punkty A, B, C
leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek).
Ponadto|\sphericalangle BOA}|=112^{\circ}.
Miara stopniowa kąta CAB jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle CAB|\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 28. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11972) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
Dany jest kwadrat ABCD o boku długości
6. Z wierzchołka A
zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).
Pole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe a\cdot \pi. Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
| a= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 29. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11973) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
Odcinki AC i BD przecinają się
w punkcie O. Ponadto |AD|=4,
|OD|=|BC|=3.
Kąty ODA i BCO są proste
(zobacz rysunek).
Długość odcinka OC jest równa:
Odpowiedź:
| |OC|= | |
| Zadanie 30. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11974) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
Dany jest trapez ABCD, w którym
AB\paralel CD oraz przekątne
AC i BD przecinają się w
punkcie O (zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest
równa 16. Obwód trójkąta ABO jest
równy 18, a obwód trójkąta CDO
jest równy 9.
Wysokość trójkąta ABO poprowadzona z punktu O jest równa:
Odpowiedź:
| h_{\triangle ABO}= | |
| Zadanie 31. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11994) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM|=a,
|LM|=b oraz a\neq b. Dwusieczna kąta
KML przecina bok KL w punkcie
N takim, że |KN|=c,
|NL|=d oraz |MN|=e (zobacz rysunek).
Dla danych a=5, b=\frac{65}{2} i c=4, liczba d jest równa:
Odpowiedź:
| d= | |
| Zadanie 32. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11995) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 32.1 (1 pkt)
Dany jest równoległobok o bokach długości 4 i
6 oraz o kącie między nimi o mierze
120^{\circ}.
Pole powierzchni tego równoległoboku jest równe:
Odpowiedź:
| P= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 33. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11996) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 33.1 (1 pkt)
W trójkącie ABC, wpisanym w okrąg o środku w punkcie S,
kąt ACB ma miarę 49^{\circ} (zobacz rysunek).
Miara stopniowa kąta ostrego BAS jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle BAS| \ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 34. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12016) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 34.1 (1 pkt)
Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości:
|AB|=5 oraz |CD|=4.
Wysokość AD tego trapezu ma długość \sqrt{3} (zobacz rysunek).
.
Miara stopniowa kąta ostrego ABC jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle ABC|=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 35. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12017) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 35.1 (1 pkt)
Punkty A, B oraz C
leżą na okręgu o środku w punkcie S. Długość łuku AB,
na którym jest oparty kąt wpisany ACB, jest równa
\frac{1}{4} długości okręgu (zobacz rysunek).
Miara stopniowa kąta ostrego ACB jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle ACB| \ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 36. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12036) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 36.1 (1 pkt)
Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku O.
Miara kąta CAO jest równa 60^{\circ}
(zobacz rysunek).
Wtedy miara stopniowa kąta ABC jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle ABC|\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 37. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12039) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 37.1 (1 pkt)
W romb o boku 2\sqrt{5} i kącie
60^{\circ} wpisano okrąg.
Promień tego okręgu jest równy:
Odpowiedź:
| r= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 38. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12040) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 38.1 (1 pkt)
Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego ABC
poprowadzono prostą DE równoległą do podstawy
AB (zobacz rysunek).
Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta
CDE jest równy a:b.
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 39. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12041) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 39.1 (1 pkt)
Końcami odcinka PR są punkty
P=(1,4) i R=(3,-2).
Odległość punktu T=(-4,-1) od środka S odcinka PR jest równa:
Odpowiedź:
|ST|=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 40. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12046) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 40.1 (1 pkt)
W trapezie równoramiennym ABCD podstawy AB
i CD mają długości równe odpowiednio a
i b (przy czym a > b). Miara
kąta ostrego trapezu jest równa 45^{\circ}.
Wtedy wysokość tego trapezu jest równa m\cdot(a-b).
Podaj liczbę m.
Odpowiedź:
| h= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 41. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12068) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 41.1 (1 pkt)
Prosta k jest styczna w punkcie A
do okręgu o środku O. Punkt B leży na
tym okręgu i miara kąta AOB jest równa
64^{}\circ{. Przez punkty O i
B poprowadzono prostą, która przecina prostą
k w punkcie C (zobacz rysunek).
Miara kąta BAC jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle BAC|=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 42. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12069) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 42.1 (1 pkt)
Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC
ma długość 8 oraz \tan\alpha=\frac{5}{4}
(zobacz rysunek).
Pole tego trójkąta jest równe:
Odpowiedź:
| P_{\triangle ABC}= | |
| Zadanie 43. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12070) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 43.1 (1 pkt)
Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe \frac{\sqrt{3}}{100}.
Obwód tego trójkąta jest równy:
Odpowiedź:
| L= | |
| Zadanie 44. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12071) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 44.1 (1 pkt)
W trójkącie ABC bok BC ma długość
13, a wysokość CD tego trójkąta
dzieli bok AB na odcinki o długościach
|AD|=3 i |BD|=12 (zobacz rysunek).
Długość boku AC jest równa:
Odpowiedź:
| |AC|= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 45. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12072) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 45.1 (1 pkt)
Punkty A, B, C
i D leżą na okręgu o środku S. Miary kątów
SBC, BCD, CDA
są równe odpowiednio: 60^{\circ}, 117^{\circ},
90^{\circ} (zobacz rysunek).
Wynika z tego, że miara \alpha jest równa:
Odpowiedź:
\alpha\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 46. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12074) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 46.1 (1 pkt)
W każdym n-kącie wypukłym (n\geqslant 3)
liczba przekątnych jest równa \frac{n(n-3)}{2}.
Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 102
większa od liczby jego boków, jest k-kąt wypukły.
Liczba k jest równa:
Odpowiedź:
k=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 47. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12075) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 47.1 (1 pkt)
Pole figury F_1 złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół
o promieniach 3 i 5 jest równe
polu figury F_2 złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o
promieniach długości r (zobacz rysunek).
Długość promienia r jest równa:
Odpowiedź:
| r= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 48. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12093) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 48.1 (1 pkt)
Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A,
B oraz C. Odcinek
AC jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy
AOB ma miarę 68^{\circ} (zobacz rysunek).
Miara stopniowa kąta OBC jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle OBC|\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 49. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12094) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 49.1 (1 pkt)
Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie A.
Punkty B i C są położone na okręgu tak,
że BC jest jego średnicą. Cięciwa AB
tworzy ze styczną kąt o mierze 41^{\circ} (zobacz rysunek).
Miara stopniowa kąta ABC jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle ABC| \ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 50. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12095) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 50.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny ABC o bokach
|AC|=30, |BC|=16,
|AB|=34. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie
P (zobacz rysunek).
Odległość x punktu P od przeciwprostokątnej AB jest równa:
Odpowiedź:
| x= | |
| Zadanie 51. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12096) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 51.1 (1 pkt)
Jeden z boków równoległoboku ma długość równą 25.
Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości:
Odpowiedzi:
| A. 25 i 25 | B. 20 i 15 |
| C. 50 i 50 | D. 20 i 30 |
| Zadanie 52. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12098) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 52.1 (1 pkt)
W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę 120^{\circ},
a najdłuższy bok ma długość 16 (zobacz rysunek).
Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą:
Odpowiedź:
| h_{min}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 53. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12124) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 53.1 (1 pkt)
Okrąg o środku w punkcie O jest wpisany w trójkąt
ABC. Wiadomo, że |AB|=|AC| i
|\sphericalangle BOC|=112^{\circ} (zobacz rysunek).
Miara stopniowa kąta BAC jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle BAC|\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 54. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12125) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 54.1 (1 pkt)
Punkty A, B,C i
D leżą na okręgu o środku w punkcie O.
Cięciwy DB i AC przecinają się
w punkcie E, |\sphericalangle ACB|=51^{\circ} oraz
|\sphericalangle AEB|=132^{\circ}(zobacz rysunek).
Miara stopniowa kąta DAC jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle DAC|\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 55. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12126) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 55.1 (1 pkt)
Przekątna AC prostokąta ABCD ma
długość 52. Na boku AB obrano
punkt E, na przekątnej AC obrano punkt
F, a na boku AD obrano punkt
G – tak, że czworokąt AEFG jest
prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto |EF|=5 i
|GF|=12.
Obwód prostokąta ABCD jest równy:
Odpowiedź:
| L_{\square ABCD}= | |
| Zadanie 56. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12123) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 56.1 (1 pkt)
Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o środku
S. Bok AD jest średnicą tego okręgu,
a miara kąta BDC jest równa 29^{\circ} (zobacz rysunek).
Wtedy miara stopniowa kąta BSC jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle BSC|\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 57. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12262) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 57.1 (1 pkt)
Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC
ma długość 6, a wysokość CD dzieli go na
dwa takie trójkąty ADC i CDB, że pole trójkąta
ADC jest 64 razy większe od pola trójkąta
CDB (zobacz rysunek).
Oblicz długość przyprostokątnej BC tego trójkąta.
Odpowiedź:
| |BC|= | |
| Zadanie 58. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12263) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 58.1 (1 pkt)
W trapezie prostokątnym ABCD są dane długości boków:
|AB|=19, |BC|=34,
|DC|=3, |AD|=30 (zobacz rysunek).
Oblicz tangens kąta ostrego ABC.
Odpowiedź:
| \tan\sphericalangle ABC= | |
| Zadanie 59. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12264) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 59.1 (1 pkt)
Pole trójkąta równoramiennego jest równe 36.
Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa 30^{^\circ}.
Oblicz długość ramienia tego trójkąta.
Odpowiedź:
| c= | |
| Zadanie 60. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12265) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 60.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przyprostokątna
BC ma długość 180 cm, a przyprostokątna
AB ma długość 72 cm. Miara stopniowa
\beta kąta BAC zaokrąglona do pełnych
stopni jest równa:
Odpowiedź:
\beta\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 61. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12266) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 61.1 (1 pkt)
Punkty A, B, C,
D leżą na okręgu o środku w punkcie O.
Kąt środkowy DOC ma miarę 116^{\circ} (zobacz rysunek).
Oblicz miarę stopniową kąta ABC.
Odpowiedź:
|\sphericalangle ABC| [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 62. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12267) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 62.1 (1 pkt)
Pole prostokąta ABCD jest równe 90.
Na bokach AB i CD wybrano – odpowiednio –
punkty P i R, takie, że
|AP|:|PB|=|CR|:|RD|=11:7 (zobacz rysunek).
Oblicz pole powierzchni czworokąta APCR.
Odpowiedź:
| P_{APCR}= | |
| Zadanie 63. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12268) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 63.1 (1 pkt)
Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A,
B i C (zobacz rysunek). Kąt
ABC ma miarę 111^{\circ}, a kąt
BOC ma miarę 35^{\circ}.
Oblicz miarę stopniową kąta AOB.
Odpowiedź:
|\sphericalangle AOB|\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 64. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12269) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 64.1 (1 pkt)
W trójkącie ABC punkt D leży na boku
BC, a punkt E leży na boku
AC. Odcinek DE jest równoległy do boku
AB, a ponadto |AE|=4,
|DE|=\frac{11}{3}, |AB|=6(zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka CE.
Odpowiedź:
| |CE|= | |
| Zadanie 65. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12270) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 65.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni jest równe
\frac{147\sqrt{3}}{4}.
Bok a tego trójkąta ma długość:
Odpowiedź:
a=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 66. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12271) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 66.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym
|AC|=|BC|. Na podstawie AB tego trójkąta
leży punkt D, taki że |AD|=|CD|,
|BC|=|BD| oraz |\sphericalangle BCD|=76^{\circ} (zobacz rysunek).
Wyznacz miarę stopniową kąta ACD.
Odpowiedź:
|\sphericalangle ACD|\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 67. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12354) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 67.1 (1 pkt)
W trójkącie prostokątnym ABC sinus kąta
CAB jest równy \frac{9}{41},
a przeciwprostokątna AB jest o 32
dłuższa od przyprostokątnej BC.
Długość przeciwprostokątnej AB tego trójkąta jest równa:
Odpowiedź:
|AB|=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 68. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12355) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 68.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt ABC, w którym
|AB|=3, |AC|=2 oraz
\cos\sphericalangle BAC=\frac{5}{6}.
Długość boku BC tego trójkąta jest równa:
Odpowiedź:
| \cos\sphericalangle BAC= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 69. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12356) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 69.1 (1 pkt)
Punkty K, L oraz M
należą do okręgu o środku w punkcie S. Miara kąta
KSM jest równa 140^{\circ}
(zobacz rysunek).
Miara stopniowa kąta wpisanego w ten okrąg KLM jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle KLM|\ [^\circ]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 70. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12376) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 70.1 (1 pkt)
Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu 24.
Miara kąta wpisanego ACB jest równa 45^{\circ} (zobacz rysunek).
Długość łuku AB, na którym oparty jest kąt wpisany ACB,
jest równa p\cdot \pi.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| p= | |
| Zadanie 71. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12391) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 71.1 (1 pkt)
Punkty A, B oraz C
leżą na okręgu o środku w punkcie O. Miara kąta
BCA jest równa 52^{\circ} (zobacz rysunek).
Miara stopniowa kąta ostrego ABO jest równa:
Odpowiedź:
|\sphericalangle ABO|\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 72. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12392) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 72.1 (1 pkt)
W trójkącie równoramiennym ABC dane są:
|AC|=|BC|=5 i |AB|=3.
Na boku BC, między punktami B i
C, wybrano taki punkt D, że
trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek).
Odcinek BD ma długość:
Odpowiedź:
| |BD|= | |
| Zadanie 73. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12393) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 73.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=17,
|BC|=18 oraz |\sphericalangle ABC|=60^{\circ} (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych zdań:
Odpowiedzi:
| T/N : trójkąta ABC jest równoboczny | T/N : trójkąta ABC ma dwa kąty o tej samej mierze |
| Zadanie 74. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12412) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 74.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \alpha oraz
\beta (zobacz rysunek). Sinus kąta \alpha
jest równy \frac{4}{9}.
Oceń prawdziwość poniższych zdań:
Odpowiedzi:
| T/N : \sin\beta=\frac{\sqrt{65}}{9} | T/N : \cos\alpha=\frac{\sqrt{65}}{9} |
| Zadanie 75. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12413) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 75.1 (1 pkt)
Na dziesięciokącie foremnym ABCDEFGHIJ opisano okrąg o środku w
punkcie S (zobacz rysunek).
Miara stopniowa kąta środkowego okręgu ASD jest równa:
Odpowiedź:
\alpha\ [^{\circ}]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 76. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12414) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 76.1 (1 pkt)
Kwadrat K_2 jest podobny do kwadratu K_1
w skali 6 (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa
111.
Długość a boku kwadratu K_1 jest równa:
Odpowiedź:
| a= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 77. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12435) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 77.1 (1 pkt)
Dany jest trapez ABCD o podstawach AB
i CD takich, że |AB|=6\cdot |CD|.
Przekątne AC i BD przecinają się w
punkcie E (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych zdań.
Odpowiedzi:
| T/N : P_{\trangle BCE}=P_{\trangle CDE} | T/N : P_{\trangle ABD}=P_{\trangle ABC} |
| Zadanie 78. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12452) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 78.1 (1 pkt)
W każdym trójkącie środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży w punkcie przecięcia się:
Odpowiedzi:
| A. środkowych tego trójkąta | B. wysokości tego trójkąta |
| C. symetralnych boków tego trójkąta | D. dwusiecznych boków tego trójkąta |
| Zadanie 79. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12453) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 79.1 (1 pkt)
Punkty A, B, C
oraz D należą do okręgu o środku w punkcie O.
Punkt K jest punktem przecięcia cięciwy AC
i średnicy BD. Kąt COB jest prosty,
a kąt AKD ma miarę 68^{\circ} (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego BDA jest równa:
Odpowiedź:
\alpha \ [^\circ]=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 80. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12454) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 80.1 (1 pkt)
Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu 8 (zobacz rysunek).
Pole zacieniowanej figury jest równe 64\cdot \pi-p.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| p= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||