Planimetria z CKE
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
- wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
- rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
- rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
- korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
- stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
- stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
- stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;
- korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
- wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
- wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
- stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
- przeprowadza dowody geometryczne.
| Zadanie 1. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21046) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 1.1 (2 pkt)
Trójkaty T_1 i T_2 są podobne.
Przyprostokatne trójkąta T_1 mają długość
12 i 16. Przeciwprostokątna
trójkąta T_2 ma długość 40.
Oblicz pole powierzchni trójkąta T_2.
Odpowiedź:
| P_{T_2}= | |
| Zadanie 2. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21054) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 2.1 (2 pkt)
Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary 30^{\circ},
45^{\circ} oraz 105^{\circ}.
Długości boków tego trójkąta są równe: |AB|=5c,
|BC|=2b i |AC|=a.
Oceń, które z podanych wyrażeń poprawnie określają pole tego trójkąta:
Odpowiedzi:
| T/N : 5b\cdot c | T/N : \frac{5\sqrt{2}}{2}a\cdot c |
| T/N : 5\sqrt{2}a\cdot c | T/N : \frac{5}{4}b\cdot c |
| Zadanie 3. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21059) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 3.1 (2 pkt)
Dany jest trapez równoramienny ABCD, w którym podstawa CD
ma długość 9, ramię AD ma długość
9, a kąty BAD oraz ABC
mają miarę 60^{\circ} (zobacz rysunek).
Oblicz pole powierzchni tego trapezu.
Odpowiedź:
| P= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 4. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21064) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
Dany jest okrąg \mathcal{O} o środku w punkcie S.
Średnica AB tego okręgu przecina cięciwę CD
w punkcie P (zobacz rysunek). Ponadto:
|PB|=2, |PC|=3 oraz
|PD|=6.
Oblicz promień okręgu \mathcal{O}.
Odpowiedź:
| R_{\mathcal{O}}= | |
| Zadanie 5. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21076) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 5.1 (2 pkt)
Dany jest trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB
tego trapezu jest równa 26, a ramię BC
ma długość 24. Przekątna AC tego trapezu jest
prostopadła do ramienia BC (zobacz rysunek).
Oblicz długość ramienia AD.
Odpowiedź:
| |AD|= | |
| Zadanie 6. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21081) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 6.1 (2 pkt)
Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości
36. Punkt E leży na boku
AB, a punkt F – na boku
BC tego trójkąta. Odcinek EF
jest równoległy do boku AC i przechodzi przez środek
S wysokości CD trójkąta
ABC (zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka EF.
Odpowiedź:
| |EF|= | |
| Zadanie 7. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21085) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 7.1 (2 pkt)
Dany jest trójkąt ABC o bokach długości
20, 21 oraz
22.
Oblicz cosinus największego kąta \alpha tego trójkąta.
Odpowiedź:
| \cos\alpha= | |
| Zadanie 8. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21096) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 8.1 (2 pkt)
Przekątne równoległoboku ABCD mają długość:
|AC|=128, oraz |BD|=96,
Wierzchołki E, F𝐹,
G oraz H rombu
EFGH leżą na bokach równoległoboku
ABCD.
Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku (zobacz rysunek).
Oblicz długość boku rombu EFGH.
Oblicz długość odcinka BF.
Odpowiedź:
| |EF|=|FG|= | |
| Zadanie 9. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21097) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Dany jest trójkąt ABC, w którym
|AC|=7, |AB|=4
\cos\sphericalangle BAC=\frac{35}{37}.
Oblicz pole trójkąta ABC.
Odpowiedź:
| P_{\triangle ABC}= | |
| Zadanie 10. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21098) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF o polu
równym 256\sqrt{3} (zobacz rysunek).
Pole trójkąta ABE jest równe:
Odpowiedź:
| P_{\triangle ABE}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Długość odcinka AE jest równa:
Odpowiedź:
| Wpisz odpowiedź: | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 11. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21112) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 11.1 (2 pkt)
Bok kwadratu ABCD ma długość równą 34.
Punkt S jest środkiem boku BC tego
kwadratu. Na odcinku AS leży punkt P
taki, że odcinek BP jest prostopadły do odcinka AS.
Oblicz długość odcinka BP.
Odpowiedź:
| |BP|= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 12. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21118) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość
3 i 4. Punkt
O leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest
środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek).
Oblicz długość promienia tego okręgu.
Odpowiedź:
| r= | |
| Zadanie 13. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21120) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 13.1 (2 pkt)
Dany jest czworokąt ABCD, w którym
|BC|=|CD|=|AD|=37 (zobacz rysunek).
Przekątna BD tego czworokąta ma długość
24 i jest prostopadła do boku AD.
Oblicz pole czworokąta ABCD.
Odpowiedź:
| P_{ABCD}= | |
| Zadanie 14. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21124) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 14.1 (2 pkt)
Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 81\sqrt{3}.
Prosta równoległa do boku BC przecina boki AB
i AC – odpowiednio – w punktach K i
L. Trójkąty ABC i AKL
są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \frac{15}{2}.
Oblicz długość boku trójkąta AKL.
Odpowiedź:
| a_{\trangle AKL}= | |
| Zadanie 15. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21129) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
Dany jest trapez o podstawach długości a oraz b,
i wysokości h. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o
82\%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim
samym polu.
Oblicz, o ile procent, z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, skrócono wysokość h trapezu.
Odpowiedź:
p\ [\%]=
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 16. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21130) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 16.1 (2 pkt)
W trójkącie ABC boki BC i AC
są równej długości. Prosta k jest prostopadła do podstawy AB
tego trójkąta i przecina boki AB oraz BC
w punktach – odpowiednio – D i E.
Pole czworokąta ADEC jest 391 razy większe
od pola trójkąta BED.
Oblicz \frac{|CE|}{|EB|}.
Odpowiedź:
| \frac{|CE|}{|EB|}= | |
| Zadanie 17. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21134) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A jest prosty,
a kąt przy wierzchołku B ma miarę 30^{\circ}.
Na boku AB tego trójkąta obrano punkt D tak,
że miara kąta CDA jest równa 60^{\circ} oraz
|AD|=26 (zobacz rysunek).
Oblicz |BD|.
Odpowiedź:
| |BD|= | |
| Zadanie 18. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21135) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 18.1 (2 pkt)
Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i
CD. Przekątne AC i BD
tego trapezu przecinają się w punkcie S (zobacz rysunek) tak, że
|AS|:|SC|=11:2.
Pole trójkąta ABS jest równe 36. Oblicz pole trójkąta CDS.
Odpowiedź:
| P_{\triangle CDS}= | |
| Zadanie 19. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21163) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 19.1 (2 pkt)
Dwa okręgi o promieniach r=7 i
R=12 są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej
prostej k (zobacz rysunek).
Oblicz sinus kąta \alpha.
Odpowiedź:
| \sin{\alpha}= | |
| Zadanie 20. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21164) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 20.1 (2 pkt)
Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E
leży na wysokości CD tego trójkąta oraz
|CE|=\frac{5}{6}|CD|. Punkt F leży na boku
BC i odcinek EF jest prostopadły do
BC (zobacz rysunek).
Wiadomo, że |CF|=k\cdot |CB|. Wyznacz liczbę k.
Odpowiedź:
| k= | |
| Zadanie 21. (2 pkt) (Numer zadania: pp-21165) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 21.1 (2 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym
|\sphericalangle ACB|=90^{\circ} i
|\sphericalangle ABC|=60^{\circ}.
Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z
wierzchołka C kąta prostego i przeciwprostokątnej
AB tego trójkąta.
Oblicz |CD|:|DB|.
Odpowiedź:
| |AD|:|DB|= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||