Planimetria z CKE

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy

Uczeń:

• wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
• rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
• rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
• korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
• stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
• stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
• stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;
• korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
• wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
• wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
• stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
• przeprowadza dowody geometryczne.

 Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym podstawa AB ma długość 10, a każde z ramion AC i BC ma długość równą 13. Punkt D jest środkiem ramienia BC (zobacz rysunek).

Oblicz długość środkowej AD.

 W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 52. Krótsza przekątna AC ma długość równą 48 i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).

Oblicz |AD|.