Planimetria z CKE

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony

Uczeń:

• wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
• rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
• rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
• korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
• stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
• stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
• stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;
• korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
• wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
• wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
• stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
• przeprowadza dowody geometryczne.

 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |\sphericalangle ABC|=90^{\circ} oraz |\sphericalangle CAB|=60^{\circ}. Punkty K i L leżą na bokach – odpowiednio – AB i BC tak, że |BK|=|BL|=5 (zobacz rysunek). Odcinek KL przecina wysokość BD tego trójkąta w punkcie N, a ponadto |AD|=7.

Oblicz, |ND|.

 Dany jest okrąg \mathcal{O}. Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – P oraz Q. Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D, która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek).

Wiadomo, że |AQ|=9\cdot |BP| oraz |CD|=6\cdot |BD|.

Oblicz |AC|:|BC|.

 Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że |BD|=|AE|=\frac{1}{5}|AB|. Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

Pole powierzchni trójkąta ABC jest równe. k\cdot P_{\triangle DBP}, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Podaj liczbę k.

 Dany jest trójkąt ABC. Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D, E i F tak, że |AD|=|DE|=|EF|=5\cdot|FB|. Na bokach AC i BC obrano – odpowiednio – punkty G i H tak, że DG\parallel EC oraz FH\parallel EC (zobacz rysunek).

Niech pole trójkąta FBH będzie równe S. Zapisz pole trójkąta ADG w postaci k\cdot S.
Podaj liczbę k.

 Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|AB|=15, a punkt D jest środkiem podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC|=|LC|=3 (zobacz rysunek).

Oblicz |KL|.