Planimetria z CKE

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony

Uczeń:

• wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
• rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
• rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
• korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
• stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
• stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
• stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;
• korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
• wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
• wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
• stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
• przeprowadza dowody geometryczne.

 Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 36. Kąty BAD i BCD są proste (zobacz rysunek). Przekątne AC i BD tego czworokąta przecinają się w punkcie E tak, że |BE|=3\cdot |DE| oraz |BD|=2\cdot |AE|.

Oblicz długość boku AB.

 Dany jest kwadrat ABCD o boku a długości 4. Punkt E dzieli bok CD w stosunku |DE|:|EC|=5:1. Przekątna BD dzieli trójkąt ACE na dwie figury: AGF oraz CEFG (zobacz rysunek).

Oblicz pole trójkąta AGF.

 Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB|>|CD| oraz ramię BC ma długość \frac{25}{3}. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu R=\frac{125}{18}. Miary kątów BAC i ABC tego trapezu spełniają warunek \frac{\sin\sphericalangle BAC}{\sin\sphericalangle ABC}=\frac{5}{8}. Oblicz \sin\alpha.

 Dany jest trapez równoramienny ABCD o obwodzie l i podstawach AB oraz CD takich, że |AB|> |CD|. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a wysokość CE trapezu ma długość h (zobacz rysunek).

Sinus kąta \alpha jest równy \sin\alpha=\frac{a\cdot h}{l}.
Podaj liczbę a.

 Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC zbudowano kwadrat ABDE (zobacz rysunek). Jeden z kątów ostrych \alpha tego trójkąta spełnia warunek \sin{2\alpha}=\frac{1}{3}.

Oblicz stosunek pola kwadratu AEDB do pola trójkąta ABC.

 Dany jest romb ABCD. Przez wierzchołki B i D poprowadzono dwie proste równoległe przecinające boki CD i AB – odpowiednio – w punktach M i N, tak, że podzieliły one boki rombu w stosunku |AN|:|NB|=|CM|:|MD|=5:2. Ponadto wiadomo, że |MB|=|ND|=|BD| (zobacz rysunek).

Oblicz stosunek pól powierzchni trójkąta AND do czworokata NBMD.