Geometria analityczna z CKE
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
Uczeń:
- rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
- posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);
- oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
- posługuje się równaniem okręgu (x-a)^2+(y-b)^2=r^2;
- oblicza odległość punktu od prostej;
- znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej;
- wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).
| Zadanie 1. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31000) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) prosta
l o równaniu x-y-12=0 przecina parabolę o
równaniu y=4x^2-47x+131 w punktach A oraz
B. Odcinek AB jest średnicą okręgu
\mathcal{O}. Punkt C leży na okręgu
\mathcal{O} nad prostąl, a kąt
BAC jest ostry i ma miarę \alpha taką,
że \tan\alpha=\frac{1}{3} (zobacz rysunek).
Wyznacz współrzędne punktów A=(x_A, y_A) i B=(x_B, y_B) przy czym x_A\lessdot x_B.
Podaj współrzędne punktu A.
Odpowiedzi:
| x_A | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_A | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
Podaj współrzędne punktu B.
Odpowiedzi:
| x_B | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_B | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 1.3 (2 pkt)
Wyznacz równanie prostej AC: y=ax+b.
Podaj współczynniki a i b.
Odpowiedzi:
| a | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| b | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 1.4 (1 pkt)
Wyznacz równanie prostej BC: y=mx+n.
Podaj współczynniki m i n.
Odpowiedzi:
| m | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| n | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 1.5 (1 pkt)
Wyznacz współrzędne punktu C=(x_C, y_C).
Odpowiedzi:
| x_C | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_C | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 2. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31884) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
W okrąg o równaniu (x-7)^2+(y-6)^2=25
wpisano trójkąt ABC. Bok AB tego
trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4x-3y-10=0,
przy czym rzędna punktu A jest mniejsza od rzędnej punktu B.
Wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB
tak, że |AD|=\frac{1}{4}|DB|.
Wyznacz współrzędne punktu D=(x_D, y_D).
Odpowiedzi:
| x_D | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_D | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 2.2 (1 pkt)
Wyznacz współrzędne punktu C=(x_C, y_C).
Podaj najmniejszą i największą możliwą wartość odciętej x_C.
Odpowiedzi:
| MIN_{x_C} | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| MAX_{x_C} | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 2.3 (1 pkt)
Oblicz wysokość trójkąta ABC.
Odpowiedź:
| |CD|= | |
Podpunkt 2.4 (1 pkt)
Oblicz pole trójkąta ABC.
Odpowiedź:
| P_{ABC}= | |
| Zadanie 3. (5 pkt) (Numer zadania: pr-30892) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 3.1 (2 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) środek
S okręgu o promieniu \sqrt{5}
leży na prostej o równaniu y=x-4. Przez punkt
A=\left(7,3\right), którego odległość od punktu
A jest większa od \sqrt{5},
poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –
B i C. Pole czworokąta
ABSC jest równe 15.
Oblicz długość odcinka AS.
Odpowiedź:
|AS|=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 3.2 (1.5 pkt)
Wyznacz współrzędne punktu S=(x_S, y_S).
Podaj najmniejszą i największą współrzędną x_S.
Odpowiedzi:
| x_{S_{min}} | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| x_{S_{max}} | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 3.3 (1.5 pkt)
Podaj najmniejszą i największą współrzędną y_S.
Odpowiedzi:
| y_{S_{min}} | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_{S_{max}} | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 4. (6 pkt) (Numer zadania: pr-30899) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \(x,y\) prosta
o równaniu 3x+y+\frac{9}{2}=0 przecina parabolę o równaniu
y=x^2-\frac{11}{3}x-\frac{383}{36} w punktach
A oraz B, które są kolejnymi wierzchołkami
równoległoboku ABCD. Wierzchołek A ma
pierwszą współrzędną mniejszą od \frac{5}{6}. Wierzchołek
C leży na prostej o równaniu
y=-\frac{1}{2}x-\frac{43}{12} i ma pierwszą współrzędną
większą od \frac{5}{6}.
Odległość punktu C od prostej zawierającej bok AB równoległoboku jest równa \frac{9\sqrt{10}}{5}.
Odległość punktu C od prostej zawierającej bok AB równoległoboku jest równa \frac{9\sqrt{10}}{5}.
Wyznacz współrzędne punktu A=(x_A, y_A).
Odpowiedzi:
| x_A | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_A | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 4.2 (2 pkt)
Wyznacz współrzędne punktu B=(x_B, y_B).
Odpowiedzi:
| x_B | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_B | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 4.3 (1.5 pkt)
Wyznacz współrzędne punktu C=(x_C, y_C).
Odpowiedzi:
| x_C | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_C | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 4.4 (0.5 pkt)
Oblicz długość boku BC.
Odpowiedź:
|BC|=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 5. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31008) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 5.1 (2 pkt)
Punkt A=\left(-2,\frac{7}{5}\right) jest wierzchołkiem trójkąta
równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|.
Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC
zawarty jest w prostej o równaniu y=x-\frac{13}{5}.
Oblicz długość boku BC.
Odpowiedź:
| |BC|= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 5.2 (2 pkt)
Wyznacz współrzędne punktu C=(x_C, y_C) wiedząc, że
x_C > -6.
Odpowiedzi:
| x_C | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_C | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 5.3 (2 pkt)
Dla wyznaczonego punktu C istnieją dwa punkty B=(x_B,y_B)
spełniające warunki zadania.
Podaj rzędne tych punktów w kolejności rosnącej.
Odpowiedzi:
| y_{B_{min}} | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_{B_{max}} | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 6. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31014) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Dane są okrąg o_1 o równaniu (x-11)^2+(y+1)^2=98
oraz okrąg o_1 o promieniu 2\sqrt{5}.
Środki okręgów o_1 i o_2 leżą po różnych
stronach prostej k o równaniu y=-3x+4,
a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej k.
Wyznacz współrzędne punktów A i B wspólnych
prostej k i obu okręgów.
Podaj współrzędne tego z punktów, który ma obie współrzędne całkowite.
Odpowiedzi:
| x | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| y | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 6.2 (1 pkt)
Podaj współrzędne drugiego z tych punktów.
Odpowiedzi:
| x | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 6.3 (2 pkt)
Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej
k i zawiera środek okręgu o_1.
Podaj współczynnik b w równaniu tej prostej.
Odpowiedź:
| b= | |
Podpunkt 6.4 (2 pkt)
Wyznacz środek S=(x_S,y_S) okręgu o_2.
Odpowiedzi:
| x_S | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_S | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 7. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31024) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 7.1 (2 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt
A=(15,16) jest wierzchołkiem trójkąta ABC
(odwrotnie do ruchu wskazówek zegara).
Prosta k o równaniu y=\frac{1}{2}x+1 zawiera
dwusieczną kąta ABC tego trójkąta. Okrąg \mathcal{O}
o równaniu (x-14)^2+(y-8)^2=16 jest wpisany w ten trójkąt.
Oblicz współrzędne punktu B=(x_B, y_B).
Odpowiedzi:
| x_B | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| y_B | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 7.2 (2 pkt)
Prosta o równaniu 12x+by+c=0 zawiera bok AC tego
trójkąta.
Podaj współczynniki b i c.
Odpowiedzi:
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| c | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 7.3 (2 pkt)
Wyznacz współrzędne punktu C=(x_C,y_C).
Odpowiedzi:
| x_C | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| y_C | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 8. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31037) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 8.1 (2 pkt)
Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach:
y=x+b, y=x+3b, y=b,
y=2, gdzie liczba rzeczywista b spełnia warunki:
b\neq 2 i b\neq 0. Wyznacz wszystkie wartości
parametru b, dla których pole tego równoległoboku jest równe
336.
Podaj najmniejszą możliwą wartość b.
Odpowiedź:
b_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.2 (2 pkt)
Podaj największą możliwą wartość b.
Odpowiedź:
b_{max}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 9. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31042) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Prosta przechodząca przez punkty A=(1,1) i
B=(-5,25) jest styczna do okręgu o środku w punkcie
O=(0,0).
Zapisz równanie tej prostej w postaci y=ax+b.
Podaj współczynniki a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Oblicz promień tego okręgu.
Odpowiedź:
| r= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 9.3 (2 pkt)
Oblicz współrzędne punktu styczności P=(x_P,y_P).
Odpowiedzi:
| x_P | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_P | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 10. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31046) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
Dane są parabola o równaniu y=x^2+8 oraz punkty
A=(0,10) i B=(1,11) (zobacz rysunek).
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C
należy na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu
C.
Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.
Funkcja ta określona jest wzorem P(m)=\frac{1}{2}\left|m^2+bm+c\right|.
Podaj liczby b i c.
Odpowiedzi:
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| c | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Prosta k: y=ax+b jest prostopadła do odcinka AB
i przechodzi przez punkt B.
Podaj współczynniki a i b tej prostej.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 10.3 (1 pkt)
Niech punkt C należący do paraboli ma współrzędne C=(m, m^2+8).
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta prostopadła do
odcinka AB przechodzi przez punkt C.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj największy z końców całkowitych tych przedziałów.
Odpowiedź:
max_{\in\mathbb{Z}}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 10.4 (2 pkt)
Podaj największy z końców tych przedziałów.
Odpowiedź:
| max= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 11. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31049) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 11.1 (2 pkt)
Dane są prosta k o równaniu x-2y+\frac{24}{5}=0
i prosta l o równaniu 2x+y-\frac{92}{5}=0.
Punkt P leży na prostej o równaniu y=x+\frac{17}{5}.
Odległość punktu P od prostej k jest dwa razy
większa niż odległość punktu P od prostej l.
Oblicz współrzędne punktu P.
Podaj współrzędne tego punktu P, który ma mniejszą odciętą.
Odpowiedzi:
| x_P | = | |
| (wpisz liczbę całkowitą) | ||
| y_P | = | |
| (dwie liczby całkowite) | ||
Podpunkt 11.2 (2 pkt)
Podaj współrzędne tego punktu P, który ma większą odciętą.
Odpowiedzi:
| x_P | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_P | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 12. (5 pkt) (Numer zadania: pr-31059) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Wierzchołki A i B trójkąta prostokątnego
ABC należą do osi Oy układu współrzędnych.
Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków AB, BC
i CA w punktach – odpowiednio – P=(0,16),
Q=(-8, 12) i R=(-9, 19).
Prosta o równaniu y=ax+b jest symetralną odcinka PR.
Podaj współczynniki a i b tej prostej.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| b | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 12.2 (2 pkt)
Symetralna cięciwy PQ przecina oś Oy
w punkcie A=(0, y_A).
Podaj liczbę y_A.
Odpowiedź:
| y_A= | |
Podpunkt 12.3 (2 pkt)
Wyznacz współrzędne punktu C.
Odpowiedzi:
| x_C | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_C | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 13. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31065) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Prosta o równaniu x+y-20=0 przecina okrąg o równaniu
x^2+y^2-20x-14y+132=0 w punktach K i
L.
Wyznacz współrzędne środka S=(x_S, y_S) tego okręgu.
Odpowiedzi:
| x_S | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| y_S | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Podaj współrzędne tego z punktów K i L, który ma mniejszą
odciętą.
Odpowiedzi:
| x | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| y | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 13.3 (2 pkt)
Wyznacz środek P=(x_P, y_P) odcinka KL.
Odpowiedzi:
| x_P | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_P | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 13.4 (2 pkt)
Wyznacz współrzędne takiego punktu S', który spełnia równanie wektorowe
\overrightarrow{PS'}=-\frac{7}{8}\overrightarrow{PS}.
Odpowiedzi:
| x_{S'} | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_{S'} | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 14. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31072) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 14.1 (2 pkt)
Punkt A=(7,0) jest wierzchołkiem rombu ABCD (odwrotnie do ruchu wskazówek zegara)
o polu powierzchni równym 82,5. Przekątna BD tego
rombu zawiera się w prostej l o równaniu
2x-y+1=0.
Wyznacz współrzędne środka symetrii S tego rombu.
Odpowiedzi:
| x_S | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_S | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 14.2 (2 pkt)
Wyznacz współrzędne wierzchołka C tego rombu.
Odpowiedzi:
| x_C | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_C | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 14.3 (1 pkt)
Oblicz długość przekątnej BD tego rombu.
Odpowiedź:
| |BD|= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 14.4 (1 pkt)
Wyznacz współrzędne wierzchołka B tego rombu.
Odpowiedzi:
| x_B | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_B | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 15. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31023) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
Prosta k o równaniu x+y-\frac{163}{8}=0 przecina parabolę
o równaniu y=\frac{1}{4}x^2-4x+\frac{163}{8} w punktach A=(x_A,y_A)
oraz B=(x_B,y_B), przy czym x_A> x_B.
Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna
do danej paraboli w punkcie C=(x_C,y_C).
Wyznacz rzędne punktów A i B.
Odpowiedzi:
| y_A | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_B | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 15.2 (2 pkt)
Wyznacz współrzędne punktu C.
Odpowiedzi:
| x_C | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
| y_C | = | (wpisz dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 15.3 (1 pkt)
Oblicz odległość punktu C od prostej k.
Odpowiedź:
| Wpisz odpowiedź: | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 15.4 (1 pkt)
Oblicz pole powierzchni trójkąta ABC.
Odpowiedź:
| P_{\triangle ABC}= | |