Stereometria z CKE
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
- rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
- posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
- rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
- rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
- określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
- oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
- wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
| Zadanie 1. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11776) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby W wszystkich
wierzchołków do liczby K wszystkich krawędzi jest równy
\frac{4}{7}.
Podstawą tego ostrosłupa jest n-kąt foremny. Liczba n jest równa:
Odpowiedź:
n=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 2. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11775) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma
długość 2\sqrt{10}. Przekątna d tego graniastosłupa jest nachylona do
płaszczyzny jego podstawy pod kątem \alpha takim, że
\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{3}.
Długość przekątnej d jest równa:
Odpowiedź:
| d= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 3. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11801) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFA'B'C'D'E'F',
w którym krawędź podstawy ma długość 6. Przekątna AD' tego graniastosłupa
jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem D'AD o mierze
30^{\circ} (zobacz rysunek).
Pole powierzchni ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe:
Odpowiedź:
| P_{ABB'A'}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 4. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11847) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 6.
Wewnątrz tego sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek).
Suma odległości d punktu P od wszystkich ścian sześcianu ABCDEFGH jest równa:
Odpowiedź:
| d= | |
| Zadanie 5. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11875) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 15
cm i 2 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej
przekątnej rombu o 7 cm.
Wtedy objętość tego graniastosłupa jest równa:
Odpowiedź:
| V= | |
| Zadanie 6. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11876) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 4.
Punkty E, F, G,
B są wierzchołkami ostrosłupa EFGB
(zobacz rysunek).
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa EFGB jest równe:
Odpowiedź:
| P_{C_{EFGB}}= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 7. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11900) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 36.
Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest równa:
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 8. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11901) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają długość 8.
Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe:
Odpowiedź:
| P_C= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 9. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11930) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich
ścian jest równy \frac{18}{7}.
Podstawą tego graniastosłupa jest n-kąt foremny. Liczba n jest równa:
Odpowiedź:
n=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 10. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11978) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Dany jest sześcian \mathcal{F} o krawędzi długości
a i objętości V oraz sześcian
\mathcal{G} o krawędzi długości 3a.
Objętość sześcianu \mathcal{G} jest równa k\cdot V. Podaj liczbę k.
Odpowiedź:
| k= | |
| Zadanie 11. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11998) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Ostrosłup F_1 jest podobny do ostrosłupa F_2.
Objętość ostrosłupa F_1 jest równa 8.
Objętość ostrosłupa F_2 jest równa 216.
Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_2 do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_1 jest równy:
Odpowiedź:
P_{F_2}:P_{F_1}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 12. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12019) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Przekątna ściany sześcianu ma długość 5\sqrt{3}.
Bok a tego sześcianu ma długość:
Odpowiedź:
| a= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 13. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12020) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości
10. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona
do płaszczyzny podstawy pod kątem \alpha takim, że
\tan\alpha=5 (zobacz rysunek).
Wysokość tego graniastosłupa jest równa:
Odpowiedź:
| h= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 14. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12047) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Przekątna sześcianu ma długość 6.
Wtedy objętość tego sześcianu jest równa:
Odpowiedź:
| V= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 15. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12051) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Ostrosłupy prawidłowe trójkątne O_1 i O_2
mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa O_1
jest k=5 razy dłuższa od długości krawędzi podstawy
ostrosłupa O_2.
Stosunek objętości ostrosłupa O_1 do objętości ostrosłupa O_2 jest równy
p.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| p= | |
| Zadanie 16. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12103) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Graniastosłup prawidłowy ma 39 krawędzi. Długość każdej
z tych krawędzi jest równa 3.
Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe:
Odpowiedź:
P_{b}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 17. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12104) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest 5
razy dłuższa od krawędzi jego podstawy.
Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy:
Odpowiedź:
| P_b:P_p= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 18. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12130) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość
równą 3\sqrt{3} (zobacz rysunek).
Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
Odpowiedź:
P_c=
+
\cdot
√
(wpisz trzy liczby całkowite)
(wpisz trzy liczby całkowite)
| Zadanie 19. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12131) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Przekątna sześcianu jest równa 6\sqrt{3}.
Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa:
Odpowiedź:
| V= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 20. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12293) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Dane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa
jest o 19 większa od liczby wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa.
Podstawą każdej z tych brył jest n-kąt foremny.
Wyznacz liczbę n.
Odpowiedź:
n=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 21. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12294) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 672.
Suma s długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa:
Odpowiedź:
s=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 22. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12295) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
Tworząca stożka jest o \frac{1}{4} dłuższa od promienia jego
podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o 4\pi większe od pola
podstawy.
Promień podstawy tego stożka jest równy:
Odpowiedź:
| r= | |
| Zadanie 23. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12296) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest
6 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równa
432.
Długość a krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa:
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 24. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12297) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku 5.
Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze
30^{\circ}.
Wysokość h tego graniastosłupa jest równa:
Odpowiedź:
| h= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 25. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12298) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
Przekątna sześcianu ma długość 5\sqrt{6}.
Pole powierzchni tego sześcianu jest równe:
Odpowiedź:
P=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 26. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12299) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku.
Stosunek wysokości tych stożków jest równy 13:6. Objętość
stożka o krótszej wysokości jest równa 24 cm2.
Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa:
Odpowiedź:
V_1+V_2=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 27. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12306) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 27.1 (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny
ABCDS o podstawie ABCD.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej SA ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD to:
Odpowiedzi:
| A. \sphericalangle ASB | B. \sphericalangle SAO |
| C. \sphericalangle SOA | D. \sphericalangle SAB |
| Zadanie 28. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12307) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
Graniastosłup ma 42 wierzchołków.
Liczba k wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:
Odpowiedź:
k=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 29. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12308) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
Dany jest stożek o wysokości 6 i tworzącej
2\sqrt{13}.
Objętość tego stożka jest równa p\cdot\pi.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| p= | |
| Zadanie 30. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12309) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat (zobacz rysunek). Wszystkie ściany
boczne tego ostrosłupa są trójkątami równoramiennymi, w których stosunek
ramienia do podstawy jest równy 5.
Cosinus kąta \alpha nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy:
Odpowiedź:
| \cos{\alpha}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 31. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12310) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
Dany jest prostopadłościan o wymiarach 4 cm x 3 cm x
12 cm.
Przekątna d tego prostopadłościanu ma długość:
Odpowiedź:
| d= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 32. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12311) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 32.1 (1 pkt)
Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest 9 razy większe
od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy 3 i
jest taki sam jak promień podstawy tego stożka.
Tworząca l tego stożka ma długość równą:
Odpowiedź:
l=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 33. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12312) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 33.1 (1 pkt)
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 48\sqrt{7}.
Pole P powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
Odpowiedź:
P=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 34. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12313) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 34.1 (1 pkt)
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości
24. Krawędź boczna DS jest
prostopadła do podstawy i ma długość 7 (zobacz rysunek).
Pole P ściany BCS tego ostrosłupa jest równe:
Odpowiedź:
| P_{\triangle BCS}= | |
| Zadanie 35. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12314) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 35.1 (1 pkt)
Dany jest prostopadłościan ABCDEFGH o podstawie kwadratu, w którym stosunek wysokości do
krawędzi podstawy jest równy 5:4. Przekątne
AC i BD ściany ABCD
przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).
Tangens kąta, jaki odcinek PH tworzy z płaszczyzną ABCD, jest równy:
Odpowiedź:
| \tan{\alpha}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 36. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12315) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 36.1 (1 pkt)
Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 10.
Objętość tego walca jest zatem równa p\cdot \pi. Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| p= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 37. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12316) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 37.1 (1 pkt)
Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 3. Pole
powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka.
Długość tworzącej l tego stożka jest równa:
Odpowiedź:
| l= | |
| Zadanie 38. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12317) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 38.1 (1 pkt)
W prostopadłościanie o podstawie kwadratu, w którym \alpha oznacza miarę kąta między
przekątną prostopadłościanu a przekątną ściany bocznej, stosunek długości przekątnej prostopadłościanu
do długości przekątnej ściany bocznej jest równy 7:2.
Wówczas sinus kąta \alpha jest równy:
Odpowiedź:
| \sin{\alpha}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 39. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12318) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 39.1 (1 pkt)
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej \frac{9\sqrt{2}}{2}.
Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe p\cdot \pi. Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| P= | |
| Zadanie 40. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12319) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 40.1 (1 pkt)
Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca
jest równa 125\pi.
Wynika z tego, że promień podstawy tego walca jest równy:
Odpowiedź:
| r= | |
| Zadanie 41. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12320) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 41.1 (1 pkt)
Dany jest stożek o promieniu podstawy r i kula o tym samym promieniu.
Stożek ma 5 razy większą objętość od tej kuli.
Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy:
Odpowiedź:
| \tan{\alpha}= | |
| Zadanie 42. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12321) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 42.1 (1 pkt)
Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego
wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 65.
Liczba k wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:
Odpowiedź:
k=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 43. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12322) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 43.1 (1 pkt)
Długość przekątnej sześcianu jest równa 22. Stąd wynika, że
pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
Odpowiedź:
P_c=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 44. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12323) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 44.1 (1 pkt)
Pole powierzchni bocznej walca jest równe 24\pi, a promień
jego podstawy ma długość 3.
Wysokość h tego walca jest równa:
Odpowiedź:
| h= | |
| Zadanie 45. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12324) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 45.1 (1 pkt)
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest
3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe
70.
Zatem krawędź podstawy a tego graniastosłupa jest równa:
Odpowiedź:
a=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 46. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12325) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 46.1 (1 pkt)
Promień AS podstawy walca jest 7 razy
dłuższy od wysokości OS tego walca (zobacz rysunek).
Sinus kąta OAS jest równy:
Odpowiedź:
| \sin{\sphericalangle OAS}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 47. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12326) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 47.1 (1 pkt)
Dany jest stożek o wysokości 8 i średnicy podstawy
6.
Objętość tego stożka jest równa p\cdot\pi. Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| p= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||