Stereometria z CKE

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy

Uczeń:

rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Zadanie 1. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11776)

Podpunkt 1.1 (1 pkt)

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby W wszystkich wierzchołków do liczby K wszystkich krawędzi jest równy \frac{5}{8}.

Podstawą tego ostrosłupa jest n-kąt foremny. Liczba n jest równa:

Odpowiedź:

n= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 2. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11775)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 2.1 (1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 2. Przekątna d tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem \alpha takim, że \cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{9}.

Długość przekątnej d jest równa:

Odpowiedź:

d=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 3. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11801)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 3.1 (1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFA'B'C'D'E'F', w którym krawędź podstawy ma długość 2. Przekątna AD' tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem D'AD o mierze 60^{\circ} (zobacz rysunek).

Pole powierzchni ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe:

Odpowiedź:

P_{ABB'A'}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 4. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11847)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 4.1 (1 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 2. Wewnątrz tego sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek).

Suma odległości d punktu P od wszystkich ścian sześcianu ABCDEFGH jest równa:

Odpowiedź:

d=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 5. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11875)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 5.1 (1 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 24 cm i 4 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 17 cm.

Wtedy objętość tego graniastosłupa jest równa:

Odpowiedź:

V=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 6. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11876)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 6.1 (1 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 1. Punkty E, F, G, B są wierzchołkami ostrosłupa EFGB (zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa EFGB jest równe:

Odpowiedź:

P_{C_{EFGB}}=	+ \cdot√


(wpisz cztery liczby całkowite)

Zadanie 7. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11900)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 7.1 (1 pkt)

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 15.

Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest równa:

Odpowiedź:

Wpisz odpowiedź: (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 8. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11901)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 8.1 (1 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają długość 2.

Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe:

Odpowiedź:

P_C=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 9. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11930)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 9.1 (1 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy \frac{12}{5}.

Podstawą tego graniastosłupa jest n-kąt foremny. Liczba n jest równa:

Odpowiedź:

n= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 10. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11978)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 10.1 (1 pkt)

Dany jest sześcian \mathcal{F} o krawędzi długości a i objętości V oraz sześcian \mathcal{G} o krawędzi długości 2a.

Objętość sześcianu \mathcal{G} jest równa k\cdot V. Podaj liczbę k.

Odpowiedź:

k=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 11. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11998)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 11.1 (1 pkt)

Ostrosłup F_1 jest podobny do ostrosłupa F_2. Objętość ostrosłupa F_1 jest równa 4. Objętość ostrosłupa F_2 jest równa 1372.

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_2 do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_1 jest równy:

Odpowiedź:

P_{F_2}:P_{F_1}= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 12. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12019)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 12.1 (1 pkt)

Przekątna ściany sześcianu ma długość 4\sqrt{2}. Bok a tego sześcianu ma długość:

Odpowiedź:

a=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 13. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12020)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 13.1 (1 pkt)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \alpha takim, że \tan\alpha=3 (zobacz rysunek).

Wysokość tego graniastosłupa jest równa:

Odpowiedź:

h=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 14. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12047)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 14.1 (1 pkt)

Przekątna sześcianu ma długość 2\sqrt{2}.

Wtedy objętość tego sześcianu jest równa:

Odpowiedź:

V=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 15. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12051)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 15.1 (1 pkt)

Ostrosłupy prawidłowe trójkątne O_1 i O_2 mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa O_1 jest k=2 razy dłuższa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa O_2.

Stosunek objętości ostrosłupa O_1 do objętości ostrosłupa O_2 jest równy p.
Podaj liczbę p.

Odpowiedź:

p=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 16. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12103)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 16.1 (1 pkt)

Graniastosłup prawidłowy ma 24 krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa 2.

Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe:

Odpowiedź:

P_{b}= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 17. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12104)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 17.1 (1 pkt)

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest 2 razy dłuższa od krawędzi jego podstawy.

Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy:

Odpowiedź:

P_b:P_p=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 18. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12130)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 18.1 (1 pkt)

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \sqrt{2} (zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:

Odpowiedź:

P_c= + \cdot √
(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 19. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12131)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 19.1 (1 pkt)

Przekątna sześcianu jest równa 2\sqrt{2}.

Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa:

Odpowiedź:

V=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 20. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12293)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 20.1 (1 pkt)

Dane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest o 8 większa od liczby wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa. Podstawą każdej z tych brył jest n-kąt foremny.

Wyznacz liczbę n.

Odpowiedź:

n= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 21. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12294)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 21.1 (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 264.

Suma s długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa:

Odpowiedź:

s= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 22. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12295)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 22.1 (1 pkt)

Tworząca stożka jest o 1 dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o \pi większe od pola podstawy.

Promień podstawy tego stożka jest równy:

Odpowiedź:

r=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 23. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12296)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 23.1 (1 pkt)

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 9 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równa 24.

Długość a krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa:

Odpowiedź:

a= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 24. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12297)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 24.1 (1 pkt)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku 2. Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze 60^{\circ}.

Wysokość h tego graniastosłupa jest równa:

Odpowiedź:

h=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 25. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12298)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 25.1 (1 pkt)

Przekątna sześcianu ma długość 2\sqrt{6}.

Pole powierzchni tego sześcianu jest równe:

Odpowiedź:

P= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 26. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12299)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 26.1 (1 pkt)

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy 7:4. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa 20 cm².

Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa:

Odpowiedź:

V_1+V_2= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 27. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12306)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 27.1 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD.

Kąt nachylenia krawędzi bocznej SA ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD to:

Odpowiedzi:

A. \sphericalangle SAO	B. \sphericalangle ASB
C. \sphericalangle SOA	D. \sphericalangle SAB

Zadanie 28. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12307)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 28.1 (1 pkt)

Graniastosłup ma 20 wierzchołków.

Liczba k wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:

Odpowiedź:

k= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 29. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12308)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 29.1 (1 pkt)

Dany jest stożek o wysokości 13 i tworzącej \sqrt{173}.

Objętość tego stożka jest równa p\cdot\pi.
Podaj liczbę p.

Odpowiedź:

p=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 30. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12309)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 30.1 (1 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat (zobacz rysunek). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równoramiennymi, w których stosunek ramienia do podstawy jest równy 2.

Cosinus kąta \alpha nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy:

Odpowiedź:

\cos{\alpha}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 31. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12310)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 31.1 (1 pkt)

Dany jest prostopadłościan o wymiarach 6 cm x 8 cm x 24 cm.

Przekątna d tego prostopadłościanu ma długość:

Odpowiedź:

d=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 32. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12311)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 32.1 (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest 2 razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy 5 i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka.

Tworząca l tego stożka ma długość równą:

Odpowiedź:

l= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 33. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12312)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 33.1 (1 pkt)

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 24\sqrt{11}.

Pole P powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:

Odpowiedź:

P= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 34. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12313)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 34.1 (1 pkt)

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 84. Krawędź boczna DS jest prostopadła do podstawy i ma długość 13 (zobacz rysunek).

Pole P ściany BCS tego ostrosłupa jest równe:

Odpowiedź:

P_{\triangle BCS}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 35. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12314)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 35.1 (1 pkt)

Dany jest prostopadłościan ABCDEFGH o podstawie kwadratu, w którym stosunek wysokości do krawędzi podstawy jest równy 2:9. Przekątne AC i BD ściany ABCD przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

Tangens kąta, jaki odcinek PH tworzy z płaszczyzną ABCD, jest równy:

Odpowiedź:

\tan{\alpha}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 36. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12315)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 36.1 (1 pkt)

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 2.

Objętość tego walca jest zatem równa p\cdot \pi. Podaj liczbę p.

Odpowiedź:

p=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 37. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12316)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 37.1 (1 pkt)

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 2. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka.

Długość tworzącej l tego stożka jest równa:

Odpowiedź:

l=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 38. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12317)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 38.1 (1 pkt)

W prostopadłościanie o podstawie kwadratu, w którym \alpha oznacza miarę kąta między przekątną prostopadłościanu a przekątną ściany bocznej, stosunek długości przekątnej prostopadłościanu do długości przekątnej ściany bocznej jest równy 4:3.

Wówczas sinus kąta \alpha jest równy:

Odpowiedź:

\sin{\alpha}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 39. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12318)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 39.1 (1 pkt)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej \sqrt{2}.

Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe p\cdot \pi. Podaj liczbę p.

Odpowiedź:

P=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 40. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12319)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 40.1 (1 pkt)

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa 8\pi.

Wynika z tego, że promień podstawy tego walca jest równy:

Odpowiedź:

r=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 41. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12320)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 41.1 (1 pkt)

Dany jest stożek o promieniu podstawy r i kula o tym samym promieniu. Stożek ma 2 razy większą objętość od tej kuli.

Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy:

Odpowiedź:

\tan{\alpha}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 42. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12321)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 42.1 (1 pkt)

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 20.

Liczba k wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:

Odpowiedź:

k= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 43. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12322)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 43.1 (1 pkt)

Długość przekątnej sześcianu jest równa 4. Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:

Odpowiedź:

P_c= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 44. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12323)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 44.1 (1 pkt)

Pole powierzchni bocznej walca jest równe 44\pi, a promień jego podstawy ma długość 2.

Wysokość h tego walca jest równa:

Odpowiedź:

h=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 45. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12324)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 45.1 (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 2 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 150.

Zatem krawędź podstawy a tego graniastosłupa jest równa:

Odpowiedź:

a= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 46. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12325)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 46.1 (1 pkt)

Promień AS podstawy walca jest 2 razy dłuższy od wysokości OS tego walca (zobacz rysunek).

Sinus kąta OAS jest równy:

Odpowiedź:

Wpisz odpowiedź:	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 47. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12326)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 47.1 (1 pkt)

Dany jest stożek o wysokości 2 i średnicy podstawy 20.

Objętość tego stożka jest równa p\cdot\pi. Podaj liczbę p.

Odpowiedź:

p=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 48. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12327)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 48.1 (1 pkt)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2, a przekątna ściany bocznej ma długość 9 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \alpha.

Oblicz \sin{\frac{\alpha}{2}}.

Odpowiedź:

\sin{\frac{\alpha}{2}}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 49. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12328)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 49.1 (1 pkt)

Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa 11. Podstawą tego ostrosłupa jest n-kąt foremny.

Liczba n jest równa:

Odpowiedź:

n= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 50. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12329)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 50.1 (1 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku 2. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równoramiennymi o ramieniu długości 9.

Wysokość h tego ostrosłupa jest równa:

Odpowiedź:

h=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 51. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12330)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 51.1 (1 pkt)

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 60^{\circ}, a tworząca tego stożka ma długość 20.

Objętość V tego stożka jest równa p\cdot\pi. Podaj liczbę p.

Odpowiedź:

p=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 52. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12331)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 52.1 (1 pkt)

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest k=4 razy dłuższa od wysokości tego graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Oblicz \sin{\alpha}.

Odpowiedź:

\sin{\alpha}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 53. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12332)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 53.1 (1 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o krótszej przyprostokątnej długości 11 i przeciwprostokątnej długości 61. Trójkąt ten obrócono wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt 360^{\circ} otrzymano bryłę \mathcal{B}.

Zapisz objętość V bryły \mathcal{B} w postaci p\cdot\pi. Podaj liczbę p.

Odpowiedź:

p=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 54. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12333)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 54.1 (1 pkt)

Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy 1 i wysokość jest równa 10, ma długość:

Odpowiedź:

d= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 55. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12334)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 55.1 (1 pkt)

Tworząca stożka o promieniu podstawy 2 ma długość 16 (zobacz rysunek).

Sinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy jest równy:

Odpowiedź:

\sin{\beta}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 56. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12335)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 56.1 (1 pkt)

Graniastosłup o podstawie 11-kąta ma w sumie k wierzchołków i krawędzi.

Podaj liczbę k.

Odpowiedź:

k= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 57. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12336)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 57.1 (1 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono odcinkami (tak jak na rysunku).

Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

Odpowiedzi:

A. \sphericalangle HLO	B. \sphericalangle OHL
C. \sphericalangle OGL	D. \sphericalangle HOL

Zadanie 58. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12338)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 58.1 (1 pkt)

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6.

Objętość V tego stożka jest równa p\cdot\pi. Podaj liczbę p.

Odpowiedź:

p=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 59. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12339)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 59.1 (1 pkt)

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 2.

Pole powierzchni całkowitej P_c tego graniastosłupa jest równe:

Odpowiedź:

P_c=	+ \cdot√


(wpisz cztery liczby całkowite)

Zadanie 60. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12340)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 60.1 (1 pkt)

Z sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 2 odcięto ostrosłup ABDE (zobacz rysunek).

Oblicz stosunek m:n objętości tego ostrosłupa do objętości pozostałej części bryły.

Odpowiedź:

m:n=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 61. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12341)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 61.1 (1 pkt)

Na rysunkach poniżej przedstawiono siatki dwóch ostrosłupów. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi a jest 2 razy większe od pola powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi b.

Objętość ostrosłupa o krawędzi a jest k razy większa od objętości ostrosłupa o krawędzi b?
Podaj liczbę k.

Odpowiedź:

k=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 62. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12359)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 62.1 (1 pkt)

Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa 12.

Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa:

Odpowiedź:

Wpisz odpowiedź: (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 63. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12360)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 63.1 (1 pkt)

Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość 8.

Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe:

Odpowiedź:

P= (wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 64. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12361)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 64.1 (1 pkt)

Dany jest prostopadłościan ABCDEFGH, w którym podstawy ABCD i EFGH są kwadratami o boku długości 6. Przekątna BH tego prostopadłościanu tworzy z przekątną AH ściany bocznej ADHE kąt o mierze 30^{\circ} (zobacz rysunek).

Przekątna BH tego prostopadłościanu ma długość równą:

Odpowiedź:

\|BH\|=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 65. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12380)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 65.1 (1 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 30. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \alpha, że \tan\alpha=\frac{2}{5}.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

Odpowiedź:

h=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 66. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12381)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 66.1 (1 pkt)

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość p+3.

Objętość tego prostopadłościanu jest równa p^3+ap^2+bp-3

Podaj liczby a i b.

Odpowiedzi:

a	=	(wpisz liczbę całkowitą)
b	=	(wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 67. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12398)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 67.1 (1 pkt)

Objętość sześcianu jest równa 16\sqrt{2}.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:

Odpowiedź:

d= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 68. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12416)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 68.1 (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 16. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest 3 razy większe od pola jego podstawy.

Długość a krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa:

Odpowiedź:

a= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 69. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12417)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 69.1 (1 pkt)

Tworząca stożka ma długość 2. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60^{\circ}.

Wysokość tego stożka jest równa:

Odpowiedź:

h=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm