Stereometria z CKE
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
- rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
- posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
- rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
- rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
- określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
- oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
- wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
| Zadanie 1. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11776) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby W wszystkich
wierzchołków do liczby K wszystkich krawędzi jest równy
\frac{3}{5}.
Podstawą tego ostrosłupa jest n-kąt foremny. Liczba n jest równa:
Odpowiedź:
n=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 2. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11775) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma
długość \sqrt{6}. Przekątna d tego graniastosłupa jest nachylona do
płaszczyzny jego podstawy pod kątem \alpha takim, że
\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{6}.
Długość przekątnej d jest równa:
Odpowiedź:
| d= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 3. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11801) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFA'B'C'D'E'F',
w którym krawędź podstawy ma długość 4. Przekątna AD' tego graniastosłupa
jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem D'AD o mierze
45^{\circ} (zobacz rysunek).
Pole powierzchni ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe:
Odpowiedź:
| P_{ABB'A'}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 4. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11847) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 4.
Wewnątrz tego sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek).
Suma odległości d punktu P od wszystkich ścian sześcianu ABCDEFGH jest równa:
Odpowiedź:
| d= | |
| Zadanie 5. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11875) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 15
cm i 5 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej
przekątnej rombu o 7 cm.
Wtedy objętość tego graniastosłupa jest równa:
Odpowiedź:
| V= | |
| Zadanie 6. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11876) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 2.
Punkty E, F, G,
B są wierzchołkami ostrosłupa EFGB
(zobacz rysunek).
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa EFGB jest równe:
Odpowiedź:
| P_{C_{EFGB}}= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 7. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11900) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 27.
Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest równa:
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 8. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11901) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają długość 6.
Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe:
Odpowiedź:
| P_C= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 9. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11930) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich
ścian jest równy \frac{27}{11}.
Podstawą tego graniastosłupa jest n-kąt foremny. Liczba n jest równa:
Odpowiedź:
n=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 10. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11978) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Dany jest sześcian \mathcal{F} o krawędzi długości
a i objętości V oraz sześcian
\mathcal{G} o krawędzi długości 2a.
Objętość sześcianu \mathcal{G} jest równa k\cdot V. Podaj liczbę k.
Odpowiedź:
| k= | |
| Zadanie 11. (1 pkt) (Numer zadania: pp-11998) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Ostrosłup F_1 jest podobny do ostrosłupa F_2.
Objętość ostrosłupa F_1 jest równa 8.
Objętość ostrosłupa F_2 jest równa 1000.
Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_2 do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_1 jest równy:
Odpowiedź:
P_{F_2}:P_{F_1}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 12. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12019) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Przekątna ściany sześcianu ma długość 8.
Objętość tego sześcianu jest równa:
Odpowiedź:
V=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
| Zadanie 13. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12020) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości
4. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona
do płaszczyzny podstawy pod kątem \alpha takim, że
\tan\alpha=4 (zobacz rysunek).
Wysokość tego graniastosłupa jest równa:
Odpowiedź:
| h= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 14. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12047) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Przekątna sześcianu ma długość 2\sqrt{3}.
Wtedy objętość tego sześcianu jest równa:
Odpowiedź:
| V= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 15. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12051) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Ostrosłupy prawidłowe trójkątne O_1 i O_2
mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa O_1
jest k=3 razy dłuższa od długości krawędzi podstawy
ostrosłupa O_2.
Stosunek objętości ostrosłupa O_1 do objętości ostrosłupa O_2 jest równy
p.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| p= | |
| Zadanie 16. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12103) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Graniastosłup prawidłowy ma 27 krawędzi. Długość każdej
z tych krawędzi jest równa 2.
Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe:
Odpowiedź:
P_{b}=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 17. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12104) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest 4
razy dłuższa od krawędzi jego podstawy.
Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy:
Odpowiedź:
| P_b:P_p= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 18. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12130) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość
równą \sqrt{2} (zobacz rysunek).
Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
Odpowiedź:
P_c=
+
\cdot
√
(wpisz trzy liczby całkowite)
(wpisz trzy liczby całkowite)
| Zadanie 19. (1 pkt) (Numer zadania: pp-12131) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Przekątna sześcianu jest równa 3\sqrt{2}.
Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa:
Odpowiedź:
| V= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||