Stereometria z CKE
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
- rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
- posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
- rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
- rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
- określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
- oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
- wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
| Zadanie 1. (4 pkt) (Numer zadania: pp-30402) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 1.1 (2 pkt)
Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość
2 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
30^{\circ}.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V= | |
Podpunkt 1.2 (2 pkt)
Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| P_c= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 2. (5 pkt) (Numer zadania: pp-30409) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH,
którego podstawą jest prostokąt ABCD. W tym
graniastosłupie |BD|=13, a ponadto |CD|=7+|BC|
oraz |\sphericalangle CDG|=45^{\circ} (zobacz rysunek).
Oblicz pole podstawy tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
P_{ABCD}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 2.2 (2 pkt)
Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
| V= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 2.3 (2 pkt)
Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
| P_{b}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 3. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31082) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 3.1 (2 pkt)
Pole powierzchni bocznej stożka jest 3 razy większe od pola jego podstawy.
Wysokość tego stożka jest równa 16.
Oblicz promień podstawy tego stożka.
Odpowiedź:
| r= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 3.2 (2 pkt)
Oblicz objętość tego stożka.
Zapisz wynik w postaci p\cdot \pi. Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| p= | |
| Zadanie 4. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31083) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEFS, którego
krawędź podstawy a ma długość 4
(zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
\alpha=45^{\circ}.
Oblicz wysokość H tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| H= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 4.2 (3 pkt)
Oblicz cosinus kąta \beta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
Odpowiedź:
| \cos\beta= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 5. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31084) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 5.1 (2 pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź
boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa
jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy
\sqrt{2}.
Oblicz długość a krawędzi podstawy tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| a= | |
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Oblicz wysokość h tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 5.3 (2 pkt)
Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 6. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31085) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny
ABC, w którym |\sphericalangle ACB|=90^{\circ}
(zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta
do długości przyprostokątnej BC jest równy
24:7. Punkt S jest środkiem okręgu
opisanego na trójkącie ABC, a długość odcinka SC
jest równa \frac{25}{2}. Pole ściany bocznej
BEFC graniastosłupa jest równe 56.
Oblicz |AB|.
Odpowiedź:
|AB|=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 6.2 (2 pkt)
Oblicz |BC|.
Odpowiedź:
|BC|=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 6.3 (2 pkt)
Oblicz objętość V tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
| V= | |
| Zadanie 7. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31086) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 7.1 (2 pkt)
Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS
jest równa 10 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością
tego ostrosłupa kąt \alpha taki, że
\tan{\alpha}=\frac{\sqrt{6}}{12}.
Oblicz wysokość h tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 7.2 (2 pkt)
Oblicz krawędź podstawy a tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| a= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 7.3 (1 pkt)
Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 8. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31087) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 8.1 (2 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym
360, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy
40:9. Przekątne podstawy ABCD
przecinają się w punkcie O. Odcinek SO
jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę
45^{\circ}.
Wyznacz długości boków podstawy ABCD.
Odpowiedzi:
| min | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 8.2 (2 pkt)
Oblicz długość wysokości h tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 8.3 (1 pkt)
Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 9. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31090) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa
2. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest
5 razy większe od pola jego podstawy. Kąt
\alpha jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa
do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość h_bściany bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h_b= | |
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Oblicz długość d krawędzi bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| d= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 9.3 (2 pkt)
Oblicz cosinus kąta \alpha.
Odpowiedź:
| \cos{\alpha}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 10. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31091) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma
długość 21. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest
2 razy większe od pola jego podstawy.
Oblicz wysokość h_b ściany bocznej tego ostrusłupa.
Odpowiedź:
| h_b= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 10.2 (2 pkt)
Oblicz cosinus kąta \alpha pomiędzy wysokością ściany bocznej a wysokością podstawy tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| \cos{\alpha}= | |
Podpunkt 10.3 (2 pkt)
Oblicz cosinus kąta \beta pomiędzy krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| \cos{\beta}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 11. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31092) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 11.1 (2 pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H=9.
Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy
\frac{40}{41}.
Oblicz długość a krawędzi podstawy tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
a=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 11.2 (2 pkt)
Oblicz wysokość h_b ściany bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h_b= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 11.3 (1 pkt)
Oblicz pole P powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| P= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 12. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31093) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA'B'C'D jest romb
ABCD. Przekątna AC' tego
graniastosłupa ma długość 2 i jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem 45^{\circ}, a przekątna
BD' jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem
30^{\circ}.
Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
h=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Oblicz długość przekątnej podstawy BD.
Odpowiedź:
| |BD|= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 12.3 (1 pkt)
Oblicz długość a krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
| a= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 12.4 (1 pkt)
Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
| P_c= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 13. (6 pkt) (Numer zadania: pp-31094) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 13.1 (2 pkt)
Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego
ABCS, w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy
pod kątem 60^{\circ}, a krawędź boczna ma długość
2 (zobacz rysunek).
Niech x oznacza jedną trzecią długości wysokości trójkąta
ABC.
Oblicz x.
Odpowiedź:
| x= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Oblicz krwawędź podstawy a tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| a= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 13.3 (1 pkt)
Oblicz wysokość H tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| H= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 13.4 (2 pkt)
Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V_{ABCS}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 14. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31095) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 14.1 (2 pkt)
Dany jest stożek o objętości 4\pi, w którym stosunek wysokości
do promienia podstawy jest równy 1:18.
Oblicz promień podstawy r tego stożka.
Odpowiedź:
| r= | |
Podpunkt 14.2 (2 pkt)
Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe p\cdot\pi.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| p= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 15. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31096) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt
równoboczny ABC. Iloczyn wysokości SO tego ostrosłupa
i krawędzi jego podstawy jest równy 2.
Objętość tego ostrosłupa jest równa \frac{2\sqrt{3}}{3}.
Oblicz krawędź podstawy a tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
a=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 15.2 (2 pkt)
Oblicz wysokość h_b ściany bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h_b= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 15.3 (1 pkt)
Oblicz cosinus kąta jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy
tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| \cos{\alpha}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 16. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31097) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 16.1 (2 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają
w stosunku 5:12, a pole jest równe 60.
(zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się
przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda
krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
45^{\circ}.
Oblicz długość d przekątnej podstawy tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 16.2 (2 pkt)
Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V_{ABCDS}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 17. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31098) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa
\frac{8\sqrt{3}}{3}. Długość krawędzi AB
podstawy ostrosłupa jest równa 2 (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość h tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h= | |
Podpunkt 17.2 (3 pkt)
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| P_b= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 18. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31099) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 18.1 (2 pkt)
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 70.
Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego
cosinus jest równy \frac{12}{37}.
Oblicz długość przekątnej d tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
| d= | |
Podpunkt 18.2 (2 pkt)
Oblicz pole P_c powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
P_c=
+
\cdot
√
(wpisz trzy liczby całkowite)
(wpisz trzy liczby całkowite)
| Zadanie 19. (6 pkt) (Numer zadania: pp-31100) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 19.1 (2 pkt)
Tworząca stożka ma długość 74, a wysokość tego stożka jest krótsza
od średnicy jego podstawy o 116.
Oblicz promień podstawy r tego stożka.
Odpowiedź:
| r= | |
Podpunkt 19.2 (2 pkt)
Objętość V tego stożka jest równa p\cdot\pi.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| V= | |
Podpunkt 19.3 (2 pkt)
Pole powierzchni całkowitej P_c tego stożka jest równa p\cdot\pi.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| P_c= | |