Stereometria z CKE

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy

Uczeń:

rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Zadanie 1. (4 pkt) (Numer zadania: pp-30402)

Podpunkt 1.1 (2 pkt)

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $5$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^{\circ}$ .

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 1.2 (2 pkt)

Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$P_c=$	$+$ $\cdot$ √


(wpisz cztery liczby całkowite)

Zadanie 2. (5 pkt) (Numer zadania: pp-30409)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 2.1 (1 pkt)

Dany jest graniastosłup prosty $ABCDEFGH$ , którego podstawą jest prostokąt $ABCD$ . W tym graniastosłupie $|BD|=17$ , a ponadto $|CD|=7+|BC|$ oraz $|\sphericalangle CDG|=60^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Oblicz pole podstawy tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$P_{ABCD}=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 2.2 (2 pkt)

Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$V=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 2.3 (2 pkt)

Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$P_{b}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 3. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31082)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 3.1 (2 pkt)

Pole powierzchni bocznej stożka jest $4$ razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa $20$ .

Oblicz promień podstawy tego stożka.

Odpowiedź:

$r=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 3.2 (2 pkt)

Oblicz objętość tego stożka.

Zapisz wynik w postaci $p\cdot \pi$ . Podaj liczbę $p$ .

Odpowiedź:

$p=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 4. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31083)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 4.1 (2 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym $ABCDEFS$ , którego krawędź podstawy $a$ ma długość $10$ (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha=60^{\circ}$ .

Oblicz wysokość $H$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$H=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 4.2 (3 pkt)

Oblicz cosinus kąta $\beta$ nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Odpowiedź:

$\cos\beta=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 5. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31084)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 5.1 (2 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ , którego krawędź boczna ma długość $12$ (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy $\sqrt{23}$ .

Oblicz długość $a$ krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$a=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 5.2 (1 pkt)

Oblicz wysokość $h$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 5.3 (2 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 6. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31085)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 6.1 (1 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDEF$ jest trójkąt prostokątny $ABC$ , w którym $|\sphericalangle ACB|=90^{\circ}$ (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej $AC$ tego trójkąta do długości przyprostokątnej $BC$ jest równy $21:20$ . Punkt $S$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , a długość odcinka $SC$ jest równa $\frac{29}{2}$ . Pole ściany bocznej $BEFC$ graniastosłupa jest równe $360$ .

Oblicz $|AB|$ .

Odpowiedź:

$|AB|=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 6.2 (2 pkt)

Oblicz $|BC|$ .

Odpowiedź:

$|BC|=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 6.3 (2 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$V=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 7. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31086)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 7.1 (2 pkt)

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $ABCDS$ jest równa $15$ (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt $\alpha$ taki, że $\tan{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

Oblicz wysokość $h$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 7.2 (2 pkt)

Oblicz krawędź podstawy $a$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$a=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 7.3 (1 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 8. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31087)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 8.1 (2 pkt)

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt o polu równym $168$ , a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy $24:7$ . Przekątne podstawy $ABCD$ przecinają się w punkcie $O$ . Odcinek $SO$ jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt $SAO$ ma miarę $60^{\circ}$ .

Wyznacz długości boków podstawy $ABCD$ .

Odpowiedzi:

$min$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)
$max$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 8.2 (2 pkt)

Oblicz długość wysokości $h$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 8.3 (1 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 9. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31090)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 9.1 (2 pkt)

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $8$ . Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest $7$ razy większe od pola jego podstawy. Kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość $h_b$ ściany bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h_b=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 9.2 (1 pkt)

Oblicz długość $d$ krawędzi bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$d=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 9.3 (2 pkt)

Oblicz cosinus kąta $\alpha$ .

Odpowiedź:

$\cos{\alpha}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 10. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31091)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 10.1 (1 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ krawędź podstawy ma długość $33$ . Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest $6$ razy większe od pola jego podstawy.

Oblicz wysokość $h_b$ ściany bocznej tego ostrusłupa.

Odpowiedź:

$h_b=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 10.2 (2 pkt)

Oblicz cosinus kąta $\alpha$ pomiędzy wysokością ściany bocznej a wysokością podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$\cos{\alpha}=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 10.3 (2 pkt)

Oblicz cosinus kąta $\beta$ pomiędzy krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$\cos{\beta}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 11. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31092)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 11.1 (2 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości $H=7$ . Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy $\frac{24}{25}$ .

Oblicz długość $a$ krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$a=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 11.2 (2 pkt)

Oblicz wysokość $h_b$ ściany bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h_b=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 11.3 (1 pkt)

Oblicz pole $P$ powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$P=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 12. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31093)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 12.1 (2 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDA'B'C'D$ jest romb $ABCD$ . Przekątna $AC'$ tego graniastosłupa ma długość $8$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^{\circ}$ , a przekątna $BD'$ jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem $45^{\circ}$ .

Oblicz wysokość $h$ tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$h=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 12.2 (1 pkt)

Oblicz długość przekątnej podstawy $BD$ .

Odpowiedź:

$\|BD\|=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 12.3 (1 pkt)

Oblicz długość $a$ krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$a=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 12.4 (1 pkt)

Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$P_c=$	$+$ $\cdot$ √


(wpisz cztery liczby całkowite)

Zadanie 13. (6 pkt) (Numer zadania: pp-31094)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 13.1 (2 pkt)

Trójkąt równoboczny $ABC$ jest podstawą ostrosłupa prawidłowego $ABCS$ , w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^{\circ}$ , a krawędź boczna ma długość $5$ (zobacz rysunek).

Niech $x$ oznacza jedną trzecią długości wysokości trójkąta $ABC$ .
Oblicz $x$ .

Odpowiedź:

$x=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 13.2 (1 pkt)

Oblicz krwawędź podstawy $a$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$a=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 13.3 (1 pkt)

Oblicz wysokość $H$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$H=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 13.4 (2 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V_{ABCS}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 14. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31095)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 14.1 (2 pkt)

Dany jest stożek o objętości $\frac{125}{2}\pi$ , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy $3:16$ .

Oblicz promień podstawy $r$ tego stożka.

Odpowiedź:

$r=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 14.2 (2 pkt)

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe $p\cdot\pi$ . Podaj liczbę $p$ .

Odpowiedź:

$p=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 15. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31096)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 15.1 (2 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ jest trójkąt równoboczny $ABC$ . Iloczyn wysokości $SO$ tego ostrosłupa i krawędzi jego podstawy jest równy $4$ . Objętość tego ostrosłupa jest równa $2\sqrt{3}$ .

Oblicz krawędź podstawy $a$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$a=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 15.2 (2 pkt)

Oblicz wysokość $h_b$ ściany bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h_b=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 15.3 (1 pkt)

Oblicz cosinus kąta jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$\cos{\alpha}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 16. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31097)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 16.1 (2 pkt)

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku $3:4$ , a pole jest równe $48$ . (zobacz rysunek). Punkt $E$ jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek $SE$ jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^{\circ}$ .

Oblicz długość $d$ przekątnej podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$a=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 16.2 (2 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V_{ABCDS}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 17. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31098)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 17.1 (2 pkt)

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ jest równa $\frac{160\sqrt{3}}{3}$ . Długość krawędzi $AB$ podstawy ostrosłupa jest równa $8$ (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość $h$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 17.2 (3 pkt)

Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$P_b=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 18. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31099)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 18.1 (2 pkt)

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $30$ . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy $\frac{8}{17}$ .

Oblicz długość przekątnej $d$ tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$d=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 18.2 (2 pkt)

Oblicz pole $P_c$ powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$P_c=$ $+$ $\cdot$ √
(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 19. (6 pkt) (Numer zadania: pp-31100)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 19.1 (2 pkt)

Tworząca stożka ma długość $34$ , a wysokość tego stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o $44$ .

Oblicz promień podstawy $r$ tego stożka.

Odpowiedź:

$r=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 19.2 (2 pkt)

Objętość $V$ tego stożka jest równa $p\cdot\pi$ . Podaj liczbę $p$ .

Odpowiedź:

$V=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 19.3 (2 pkt)

Pole powierzchni całkowitej $P_c$ tego stożka jest równa $p\cdot\pi$ . Podaj liczbę $p$ .

Odpowiedź:

$P_c=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm