Stereometria z CKE

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy

Uczeń:

rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Zadanie 1. (4 pkt) (Numer zadania: pp-30402)

Podpunkt 1.1 (2 pkt)

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 3 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30^{\circ}.

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

V=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 1.2 (2 pkt)

Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

P_c=	+ \cdot√


(wpisz cztery liczby całkowite)

Zadanie 2. (5 pkt) (Numer zadania: pp-30409)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 2.1 (1 pkt)

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH, którego podstawą jest prostokąt ABCD. W tym graniastosłupie |BD|=26, a ponadto |CD|=14+|BC| oraz |\sphericalangle CDG|=60^{\circ} (zobacz rysunek).

Oblicz pole podstawy tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

P_{ABCD}= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 2.2 (2 pkt)

Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

V=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 2.3 (2 pkt)

Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

P_{b}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 3. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31082)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 3.1 (2 pkt)

Pole powierzchni bocznej stożka jest 4 razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa 24.

Oblicz promień podstawy tego stożka.

Odpowiedź:

r=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 3.2 (2 pkt)

Oblicz objętość tego stożka.

Zapisz wynik w postaci p\cdot \pi. Podaj liczbę p.

Odpowiedź:

p=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 4. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31083)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 4.1 (2 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEFS, którego krawędź podstawy a ma długość 8 (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \alpha=60^{\circ}.

Oblicz wysokość H tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

H=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 4.2 (3 pkt)

Oblicz cosinus kąta \beta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Odpowiedź:

\cos\beta=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 5. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31084)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 5.1 (2 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 12 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy \sqrt{14}.

Oblicz długość a krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

a=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 5.2 (1 pkt)

Oblicz wysokość h tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

h=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 5.3 (2 pkt)

Oblicz objętość V tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

V=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 6. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31085)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 6.1 (1 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |\sphericalangle ACB|=90^{\circ} (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta do długości przyprostokątnej BC jest równy 35:12. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, a długość odcinka SC jest równa \frac{37}{2}. Pole ściany bocznej BEFC graniastosłupa jest równe 216.

Oblicz |AB|.

Odpowiedź:

|AB|= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 6.2 (2 pkt)

Oblicz |BC|.

Odpowiedź:

|BC|= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 6.3 (2 pkt)

Oblicz objętość V tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

V=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 7. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31086)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 7.1 (2 pkt)

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 16 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt \alpha taki, że \tan{\alpha}=\frac{\sqrt{15}}{15}.

Oblicz wysokość h tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

h=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 7.2 (2 pkt)

Oblicz krawędź podstawy a tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

a= (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 7.3 (1 pkt)

Oblicz objętość V tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

V=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 8. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31087)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 8.1 (2 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 420, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy 12:35. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę 30^{\circ}.

Wyznacz długości boków podstawy ABCD.

Odpowiedzi:

min	=	(wpisz liczbę całkowitą)
max	=	(wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 8.2 (2 pkt)

Oblicz długość wysokości h tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

h=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 8.3 (1 pkt)

Oblicz objętość V tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

V=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 9. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31090)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 9.1 (2 pkt)

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest 7 razy większe od pola jego podstawy. Kąt \alpha jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość h_bściany bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

h_b=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 9.2 (1 pkt)

Oblicz długość d krawędzi bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

d=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 9.3 (2 pkt)

Oblicz cosinus kąta \alpha.

Odpowiedź:

\cos{\alpha}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 10. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31091)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 10.1 (1 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość 42. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest 4 razy większe od pola jego podstawy.

Oblicz wysokość h_b ściany bocznej tego ostrusłupa.

Odpowiedź:

h_b=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 10.2 (2 pkt)

Oblicz cosinus kąta \alpha pomiędzy wysokością ściany bocznej a wysokością podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

\cos{\alpha}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 10.3 (2 pkt)

Oblicz cosinus kąta \beta pomiędzy krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

\cos{\beta}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 11. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31092)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 11.1 (2 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H=35. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \frac{12}{37}.

Oblicz długość a krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

a= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 11.2 (2 pkt)

Oblicz wysokość h_b ściany bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

h_b=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 11.3 (1 pkt)

Oblicz pole P powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

P=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 12. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31093)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 12.1 (2 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA'B'C'D jest romb ABCD. Przekątna AC' tego graniastosłupa ma długość 14 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30^{\circ}, a przekątna BD' jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 60^{\circ}.

Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

h= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 12.2 (1 pkt)

Oblicz długość przekątnej podstawy BD.

Odpowiedź:

\|BD\|=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 12.3 (1 pkt)

Oblicz długość a krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

a=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 12.4 (1 pkt)

Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

P_c=	+ \cdot√


(wpisz cztery liczby całkowite)

Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm

Zbiór zadań ☆ Moje klasy ☆ Wyniki klas ☆ Strona główna	Zaloguj mnie... Załóż konto...