Stereometria z CKE
Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
Uczeń:
- rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
- posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
- rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
- rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
- określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
- oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
- wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
| Zadanie 1. (4 pkt) (Numer zadania: pp-30402) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 1.1 (2 pkt)
Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość
2 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
30^{\circ}.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V= | |
Podpunkt 1.2 (2 pkt)
Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| P_c= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 2. (5 pkt) (Numer zadania: pp-30409) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH,
którego podstawą jest prostokąt ABCD. W tym
graniastosłupie |BD|=20, a ponadto |CD|=4+|BC|
oraz |\sphericalangle CDG|=45^{\circ} (zobacz rysunek).
Oblicz pole podstawy tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
P_{ABCD}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 2.2 (2 pkt)
Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
| V= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 2.3 (2 pkt)
Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
| P_{b}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 3. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31082) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 3.1 (2 pkt)
Pole powierzchni bocznej stożka jest 3 razy większe od pola jego podstawy.
Wysokość tego stożka jest równa 18.
Oblicz promień podstawy tego stożka.
Odpowiedź:
| r= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 3.2 (2 pkt)
Oblicz objętość tego stożka.
Zapisz wynik w postaci p\cdot \pi. Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| p= | |
| Zadanie 4. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31083) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEFS, którego
krawędź podstawy a ma długość 4
(zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
\alpha=45^{\circ}.
Oblicz wysokość H tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| H= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 4.2 (3 pkt)
Oblicz cosinus kąta \beta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
Odpowiedź:
| \cos\beta= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 5. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31084) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 5.1 (2 pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź
boczna ma długość 12 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa
jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy
\sqrt{2}.
Oblicz długość a krawędzi podstawy tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| a= | |
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Oblicz wysokość h tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 5.3 (2 pkt)
Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 6. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31085) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny
ABC, w którym |\sphericalangle ACB|=90^{\circ}
(zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta
do długości przyprostokątnej BC jest równy
4:3. Punkt S jest środkiem okręgu
opisanego na trójkącie ABC, a długość odcinka SC
jest równa 10. Pole ściany bocznej
BEFC graniastosłupa jest równe 168.
Oblicz |AB|.
Odpowiedź:
|AB|=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 6.2 (2 pkt)
Oblicz |BC|.
Odpowiedź:
|BC|=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 6.3 (2 pkt)
Oblicz objętość V tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
| V= | |
| Zadanie 7. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31086) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 7.1 (2 pkt)
Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS
jest równa 11 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością
tego ostrosłupa kąt \alpha taki, że
\tan{\alpha}=\frac{2\sqrt{13}}{39}.
Oblicz wysokość h tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 7.2 (2 pkt)
Oblicz krawędź podstawy a tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| a= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 7.3 (1 pkt)
Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 8. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31087) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 8.1 (2 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym
168, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy
24:7. Przekątne podstawy ABCD
przecinają się w punkcie O. Odcinek SO
jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę
60^{\circ}.
Wyznacz długości boków podstawy ABCD.
Odpowiedzi:
| min | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| max | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 8.2 (2 pkt)
Oblicz długość wysokości h tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 8.3 (1 pkt)
Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 9. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31090) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa
2. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest
6 razy większe od pola jego podstawy. Kąt
\alpha jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa
do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość h_bściany bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h_b= | |
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Oblicz długość d krawędzi bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| d= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 9.3 (2 pkt)
Oblicz cosinus kąta \alpha.
Odpowiedź:
| \cos{\alpha}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 10. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31091) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma
długość 24. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest
2 razy większe od pola jego podstawy.
Oblicz wysokość h_b ściany bocznej tego ostrusłupa.
Odpowiedź:
| h_b= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 10.2 (2 pkt)
Oblicz cosinus kąta \alpha pomiędzy wysokością ściany bocznej a wysokością podstawy tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| \cos{\alpha}= | |
Podpunkt 10.3 (2 pkt)
Oblicz cosinus kąta \beta pomiędzy krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| \cos{\beta}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 11. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31092) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 11.1 (2 pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H=7.
Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy
\frac{24}{25}.
Oblicz długość a krawędzi podstawy tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
a=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 11.2 (2 pkt)
Oblicz wysokość h_b ściany bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h_b= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 11.3 (1 pkt)
Oblicz pole P powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| P= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 12. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31093) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA'B'C'D jest romb
ABCD. Przekątna AC' tego
graniastosłupa ma długość 10 i jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem 30^{\circ}, a przekątna
BD' jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem
45^{\circ}.
Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
h=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Oblicz długość przekątnej podstawy BD.
Odpowiedź:
| |BD|= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 12.3 (1 pkt)
Oblicz długość a krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
| a= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 12.4 (1 pkt)
Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
| P_c= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 13. (6 pkt) (Numer zadania: pp-31094) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 13.1 (2 pkt)
Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego
ABCS, w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy
pod kątem 60^{\circ}, a krawędź boczna ma długość
2 (zobacz rysunek).
Niech x oznacza jedną trzecią długości wysokości trójkąta
ABC.
Oblicz x.
Odpowiedź:
| x= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Oblicz krwawędź podstawy a tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| a= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 13.3 (1 pkt)
Oblicz wysokość H tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| H= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 13.4 (2 pkt)
Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V_{ABCS}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 14. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31095) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 14.1 (2 pkt)
Dany jest stożek o objętości 6\pi, w którym stosunek wysokości
do promienia podstawy jest równy 2:3.
Oblicz promień podstawy r tego stożka.
Odpowiedź:
| r= | |
Podpunkt 14.2 (2 pkt)
Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe p\cdot\pi.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| p= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 15. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31096) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt
równoboczny ABC. Iloczyn wysokości SO tego ostrosłupa
i krawędzi jego podstawy jest równy 2.
Objętość tego ostrosłupa jest równa \frac{5\sqrt{3}}{6}.
Oblicz krawędź podstawy a tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
a=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 15.2 (2 pkt)
Oblicz wysokość h_b ściany bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h_b= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 15.3 (1 pkt)
Oblicz cosinus kąta jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy
tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| \cos{\alpha}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 16. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31097) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 16.1 (2 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają
w stosunku 5:12, a pole jest równe 60.
(zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się
przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda
krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
45^{\circ}.
Oblicz długość d przekątnej podstawy tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
a=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 16.2 (2 pkt)
Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| V_{ABCDS}= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 17. (5 pkt) (Numer zadania: pp-31098) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa
3\sqrt{3}. Długość krawędzi AB
podstawy ostrosłupa jest równa 2 (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość h tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| h= | |
Podpunkt 17.2 (3 pkt)
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
| P_b= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 18. (4 pkt) (Numer zadania: pp-31099) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 18.1 (2 pkt)
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 30.
Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego
cosinus jest równy \frac{8}{17}.
Oblicz długość przekątnej d tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
| d= | |
Podpunkt 18.2 (2 pkt)
Oblicz pole P_c powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
P_c=
+
\cdot
√
(wpisz trzy liczby całkowite)
(wpisz trzy liczby całkowite)
| Zadanie 19. (6 pkt) (Numer zadania: pp-31100) | [ ⇒ Rozwiąż ] |
Podpunkt 19.1 (2 pkt)
Tworząca stożka ma długość 34, a wysokość tego stożka jest krótsza
od średnicy jego podstawy o 44.
Oblicz promień podstawy r tego stożka.
Odpowiedź:
| r= | |
Podpunkt 19.2 (2 pkt)
Objętość V tego stożka jest równa p\cdot\pi.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| V= | |
Podpunkt 19.3 (2 pkt)
Pole powierzchni całkowitej P_c tego stożka jest równa p\cdot\pi.
Podaj liczbę p.
Odpowiedź:
| P_c= | |