Zbiór zadań ☆ Klasy ☆ Wyniki ☆ Ranking ☆ Strona główna

  Zaloguj mnie...

Załóż konto...

Stereometria z CKE

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony

Uczeń:

 

Zadanie 1.  (5 pkt)  (Numer zadania: pr-30881) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 1.1 (2 pkt)
 Dany jest sześcianABCDEFGH o krawędzi długości 10. Punkt S jest punktem przecięcia przekątnych AH i DE ściany bocznej ADHE (zobacz rysunek).

Oblicz |SB|.

Odpowiedź:
|SB|= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
 Oblicz \cos\sphericalangle HSB.
Odpowiedź:
\cos\sphericalangle HSB= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 1.3 (2 pkt)
 Oblicz wysokość trójkąta SBH poprowadzoną z punktu S na bok BH tego trójkąta.
Odpowiedź:
h= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 2.  (4 pkt)  (Numer zadania: pr-30898) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 2.1 (4 pkt)
 Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa a. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy \frac{\sqrt{5}}{3}.

Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. Wynik zapisz w postaci p\cdot a^2.
Podaj liczbę p.

Odpowiedź:
P_b= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 3.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31007) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 3.1 (2 pkt)
 Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH o podstawie prostokątnej ABCD. Przekątne AH i AF ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \alpha takiej, że \sin\alpha=\frac{3}{5} (zobacz rysunek). Pole trójkąta AFH jest równe 27.

Oblicz \cos\alpha.

Odpowiedź:
\cos\alpha=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 3.2 (4 pkt)
 Oblicz wysokość H tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
H= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 4.  (5 pkt)  (Numer zadania: pr-31012) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
 Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA_1B_1C_1D_1 jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R=2. Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą rozwartemu kątowi środkowemu o mierze 2\alpha, którego sinus jest równy \sin2\alpha=\frac{336}{625} (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy 5.

Oblicz \sin\sphericalangle BOC.

Odpowiedź:
\sin\sphericalangle BOC=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 4.2 (1 pkt)
 Oblicz długość ramienia trapezu ABCD.
Odpowiedź:
|BC|=|AD|= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 4.3 (1 pkt)
 Oblicz pole trapezu ABCD.
Odpowiedź:
P_{ABCD}=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 4.4 (2 pkt)
 Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}= (liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 5.  (5 pkt)  (Numer zadania: pr-31021) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. Krawędź podstawy a tego ostrosłupa ma długość 10. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze \alpha takim, że \cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}. Przez krawędź BC podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę \pi prostopadłą do ściany bocznej SAD (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:
h_b= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
 Oblicz długość odcinka RS.
Odpowiedź:
|RS|= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 5.3 (1 pkt)
 Oblicz wysokość h przekroju.
Odpowiedź:
h= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 5.4 (1 pkt)
 Oblicz długość odcinka EF.
Odpowiedź:
|EF|= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 5.5 (1 pkt)
 Oblicz pole powierzchni przekroju.
Odpowiedź:
P_{BCFE}= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 6.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31030) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 6.1 (2 pkt)
 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD i polu powierzchni bocznej równym 4. Wysokości sąsiednich ścian bocznych są ramionami trójkąta równoramiennego, którego cosinus kąta przy podstawie jest równy \frac{9}{25}.

Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość równą \frac{m}{\sqrt[4]{8}}.
Podaj liczbę m.

Odpowiedź:
m=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 6.2 (2 pkt)
 Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \frac{m}{\sqrt[4]{2}}.
Podaj liczbę m.
Odpowiedź:
m=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 6.3 (2 pkt)
 Objętość tego ostrosłupa jest równa \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot m.

Podaj liczbę m.

Odpowiedź:
m= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 7.  (4 pkt)  (Numer zadania: pr-31035) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 7.1 (2 pkt)
 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 6, a wysokość graniastosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni trójkąta ABF.

Odpowiedź:
P_{\triangle ABF}= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 7.2 (2 pkt)
 Oblicz sinus kąta BFA.
Odpowiedź:
\sin{\sphericalangle BFA}= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 8.  (4 pkt)  (Numer zadania: pr-31050) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 8.1 (2 pkt)
 Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 2. Punkt S dzieli krawędź DH w stosunku |HS|:|SD|=1:5 (zobacz rysunek).

Oblicz długość d najkrótszego boku trójkąta CFS.

Odpowiedź:
d= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 8.2 (2 pkt)
 Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta CFS.
Odpowiedź:
\cos\alpha= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 9.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31066) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
 Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (AB\parallel CD). Ramiona tego trapezu mają długość |AD|=12 i |BC|=6, a miara kąta ABC jest równa 45^{\circ}. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \alpha taki, że \tan\alpha=\frac{7}{2}.

Oblicz wysokość h trapezu ABCD.

Odpowiedź:
h= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 9.2 (2 pkt)
 Oblicz wysokość H tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
H= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 9.3 (3 pkt)
 Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
V_{ABCDS}= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 10.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31095) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
 Podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 14. Na krawędziach bocznych BS i CS wybrano punkty, odpowiednio D i E, takie że |BD=|CE| oraz |DE|=12 (zobacz rysunek). Ponadto, płaszczyzna ADE jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej BCS tego ostrosłupa.

Niech K będzie środkiem odcinka DE, zaś L środkiem krawędzi podstawy BC. Wówczas |SK|=k\cdot |KL|, gdzie k jest pewną liczbą wymierną.

Podaj liczbę k.

Odpowiedź:
k=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 10.2 (2 pkt)
 Oblicz wysokość ściany bocznej SL.
Odpowiedź:
|KL|= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 10.3 (1 pkt)
 Oblicz wysokość h tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
h= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 10.4 (1 pkt)
 Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
V_{ABCS}= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 11.  (4 pkt)  (Numer zadania: pr-31096) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 11.1 (2 pkt)
 Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru
V=\frac{1}{3}\pi H\left(r^2+rR+R^2\right),
gdzie r i R są promieniami podstaw (r\lessdot R), a H jest wysokością bryły.

Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa H=6, objętość V=392\pi, a r=6.

Oblicz promień R większej z podstaw.

Odpowiedź:
R=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 11.2 (2 pkt)
 Oblicz cosinus kąta \alpha nachylenia przekątnej przekroju osiowego bryły do płaszczyzny jednej z jej podstaw.
Odpowiedź:
cos\alpha= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 12.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31097) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa \frac{5\sqrt{546}}{14}, a kąt \alpha między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa spełnia warunek \cos{\alpha}=-\frac{7}{32}.

Oblicz cosinus kąta FCO.

Odpowiedź:
\cos{\sphericalangle FCO}= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
 Oblicz sinus kąta ESC.
Odpowiedź:
\sin{\sphericalangle ESC}= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 12.3 (2 pkt)
 Oblicz długość krawędzi bocznej ostrosłupa.
Odpowiedź:
|CS|= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 12.4 (1 pkt)
 Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
V= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 13.  (5 pkt)  (Numer zadania: pr-31098) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 13.1 (2 pkt)
 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość 5\sqrt{3} i jest prostopadła do ramienia BC oraz tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze 30^{\circ}. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość równą 4\sqrt{3}.

Oblicz długość promienia r okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa.

Odpowiedź:
r= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
 Oblicz wysokość h tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
h= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 13.3 (2 pkt)
 Oblicz odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi jego bocznej DS.
Odpowiedź:
d(O, SD)= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 14.  (5 pkt)  (Numer zadania: pr-31099) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 14.1 (2 pkt)
 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości 6. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest 4 razy większa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa.

Oblicz sinus kąta \alpha nachylenia krawędzi bocznej BS do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:
\sin\alpha= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
 Oblicz długość wysokości AE trójkąta ABS.
Odpowiedź:
|AE|= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 14.3 (2 pkt)
 Oblicz sinus kąta dwuściennego \beta pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa ABS i CBS.
Odpowiedź:
\sin\beta= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 15.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31100) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
 Dana jest siatka ostrosłupa, w której: |AB|=40, |AC|=|BC|=29, |AD|=|CF|=|BE|=40.

Oblicz promień okręgu R opisanego na podstawie ostrosłupa ABC.

Odpowiedź:
R=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 15.2 (2 pkt)
 Oblicz wysokość h_b ściany bocznej, której podstawą jest odcinek AB.
Odpowiedź:
h_b= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 15.3 (2 pkt)
 Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
V= (liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 16.  (4 pkt)  (Numer zadania: pr-31101) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
 W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym. Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa 4. Ściana boczna BCS jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego sinus jest równy \frac{\sqrt{3}}{3}.

Oblicz długość a krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:
a= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 16.2 (1 pkt)
 Oblicz wysokość h_b ściany bocznej BCS tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
h_b= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 16.3 (1 pkt)
 Oblicz wysokość h tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
h= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 16.4 (1 pkt)
 Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
V= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 17.  (5 pkt)  (Numer zadania: pr-31102) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
 Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AB|=10, |BC|=|AC|=13 i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 24.

Oblicz długość r promienia okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa.

Odpowiedź:
r=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 17.2 (3 pkt)
 Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
V_{ABCS}= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 18.  (5 pkt)  (Numer zadania: pr-31103) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 18.1 (2 pkt)
 Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC. Krawędź AS jest wysokością tego ostrosłupa oraz |AS|=135, |BS|=153, |CS|=\sqrt{45121}.

Oblicz długość L obwodu podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:
L_{ABC}= (wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 18.2 (3 pkt)
 Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
V_{ABCS}=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 19.  (5 pkt)  (Numer zadania: pr-31104) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 19.1 (2 pkt)
 W ostrosłupie trójkątnym ABCS o podstawie ABC i wierzchołku S dane są: |AB|=|AC|=|BS|=|CS|=6, |BC|=4 i |AS|=4.

Niech D będzie środkiem krawędzi podstawy BC. Oblicz wysokość DE trójkąta ADS.

Odpowiedź:
|DE|= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 19.2 (2 pkt)
 Oblicz wysokość h tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
h= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 19.3 (1 pkt)
 Oblicz objętość V tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
V_{ABCS}= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 20.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31105) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 20.1 (2 pkt)
 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ACS stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy |AC|:|AS|=\frac{24}{13}

Oblicz sinus kąta \alpha pomiędzy krawędzią boczną ostrosłupa, a krawędzią jego podstawy.

Odpowiedź:
\sin{\alpha}= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 20.2 (2 pkt)
 Oblicz cosinus kąta \beta pomiędzy wysokościami przeciwległych ścian bocznych tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
\cos{\beta}=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 20.3 (2 pkt)
 Oblicz sinus kąta \gamma nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.
Odpowiedź:
\sin{\gamma}= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 21.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31107) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 21.1 (2 pkt)
 Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 180\sqrt{3}, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 180.

Oblicz długość a krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Odpowiedź:
a= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 21.2 (2 pkt)
 Oblicz długość h wysokości tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
h= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 21.3 (2 pkt)
 Oblicz sinus kąta \alpha nachylenia przekątnej ściany bocznej tego graniastosłupa do jego sąsiedniej ściany bocznej.
Odpowiedź:
\sin{\alpha}= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 22.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31108) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 22.1 (2 pkt)
 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ABC ma długość 12. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 90^{\circ}.

Na krawędzi bocznej CS zaznaczono taki punkt E, że płaszczyzna (ABE) jest prostopadła do tej krawędzi bocznej.
Oblicz długość odcinka CE.

Odpowiedź:
|CE|= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 22.2 (2 pkt)
 

Oblicz długość h wysokości tego ostrosłupa.

Odpowiedź:
h= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 22.3 (2 pkt)
 

Oblicz objętość V tego ostrosłupa.

Odpowiedź:
V_{ABCS}= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 23.  (4 pkt)  (Numer zadania: pr-31109) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 23.1 (2 pkt)
 Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCA'B'C'jest równa 8. Odcinek C'D jest wysokością trójkąta ABC' oraz \sin{\sphericalangle DC'B}=\frac{2}{5}.

Oblicz \cos{\sphericalangle AC'B}.

Odpowiedź:
\cos{\sphericalangle AC'B}=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 23.2 (1 pkt)
 Oblicz długość d przekątnej ściany bocznej tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
d= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 23.3 (1 pkt)
 Oblicz pole P_{b} powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
Odpowiedź:
P_{b}= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 24.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31110) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 24.1 (2 pkt)
 Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 54, których krawędź podstawy ma długość a.

Pole powierzchni całkowitej takiego graniastosłupa jest równe P(a)=\frac{a^2\sqrt{3}}{m}+\frac{n\cdot\sqrt{3}}{a}, gdzie m, n są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Podaj liczby m i n.

Odpowiedzi:
m= (wpisz liczbę całkowitą)
n= (wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 24.2 (1 pkt)
 Oblicz pochodną funkcji P.

Podaj P'(\sqrt{3}).

Odpowiedź:
P'(a)= + \cdot√
(wpisz cztery liczby całkowite)
Podpunkt 24.3 (1 pkt)
 Funkcja P w przedziale (0,+\infty) osiąga wartość:
Odpowiedzi:
A. najmniejszą B. największą
Podpunkt 24.4 (1 pkt)
 Podaj wartość a_0, w której funkcja P ma ekstremum lokalne.
Odpowiedź:
a_0= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 24.5 (1 pkt)
 Podaj pole powierzchni bocznej tego z graniastosłupów, który ma największe lub najmniejsze pole powierzchni całkowitej.
Odpowiedź:
P_b= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 25.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31111) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
 Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 20.

Objętość V takiego ostrosłupa można zapisać w postaci V(R)=a\cdot R^2\cdot (b-R).
Podaj liczbę a.

Odpowiedź:
a= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 25.2 (1 pkt)
 Podaj liczbę b.
Odpowiedź:
b=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 25.3 (1 pkt)
 Oblicz pochodną funkcji V.

Podaj wartość tej pochodnej w R=1.

Odpowiedź:
V'(1)= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 25.4 (1 pkt)
 Przy jakiej długości promienia R objętość rozważanego ostrosłupa jest największa?
Odpowiedź:
R=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 25.5 (2 pkt)
 Ile jest równa ta maksymalna objętość ostrosłupa?
Odpowiedź:
V_{max}(R)= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 26.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31112) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 26.1 (2 pkt)
 Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEFGH, w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EFGH ma długość d (zobacz rysunek).

Przyjmijmy, że |DO|=x. Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od zmiennej x. Funkcję y=V(x) zapisz w postaci y=\sqrt{W(x)}, gdzie W(x) jest wielomianem zmiennej x.

Przyjmując d=8, podaj wartość tego wielomianu w jedynce.

Odpowiedź:
W(1)= (wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 26.2 (2 pkt)
 Oblicz pochodną funkcji V.

Przyjmując d=8, oblicz V'(1).

Odpowiedź:
V'(1)= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 26.3 (2 pkt)
 Wyznacz długość odcinka x tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz wynik w postaci x=m\cdot d. Podaj liczbę m.

Odpowiedź:
m= \cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 27.  (7 pkt)  (Numer zadania: pr-31113) [ ⇒ Rozwiąż ] 
Podpunkt 27.1 (2 pkt)
 Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 6. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 20. Całkowity koszt C wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
  • 4 zł za 1 m2 dna,
  • 9 zł za 1 m2 ściany bocznej.

    Funkcję C można określić za pomocą wzoru C(x)=4x^2+\frac{a}{x}, gdzie x jest długością krawędzi dna zbiornika.
    Podaj liczbę a.

    • Odpowiedź:
    a= (wpisz liczbę całkowitą)
    Podpunkt 27.2 (1 pkt)
     Oblicz pochodną funkcji C i podaj jej wartość w x=1.
    Odpowiedź:
    C'(1)= (wpisz liczbę całkowitą)
    Podpunkt 27.3 (2 pkt)
     Wyznacz wymiary tego zbiornika, którego koszt wykonania jest najmniejszy możliwy.

    Podaj długość krawędzi dna.

    Odpowiedź:
    x= (wpisz liczbę całkowitą)
    Podpunkt 27.4 (2 pkt)
     Podaj wysokość tego zbiornika oraz koszt jego wykonania.
    Odpowiedzi:
    h= (dwie liczby całkowite)
    C_{min}(x)= (wpisz liczbę całkowitą)
    Zadanie 28.  (7 pkt)  (Numer zadania: pr-31114) [ ⇒ Rozwiąż ] 
    Podpunkt 28.1 (3 pkt)
     Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma długości krawędzi podstawy i długości krawędzi bocznej jest równa 14. Wyraź objętość tego ostrosłupa za pomocą długości krawędzi podstawy x i zapisz ten wzór w postaci V(x)=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{W(x)}, gdzie W(x) jest pewnym wielomianem.

    Podaj wartość tego wielomianu w x=1 i x=2.

    Odpowiedzi:
    W(1)= (wpisz dwie liczby całkowite)
    W(2)= (wpisz dwie liczby całkowite)
    Podpunkt 28.2 (2 pkt)
     Oblicz pochodną wielomianu W(x).

    Podaj wartość tej pochodnej w x=1.

    Odpowiedź:
    W'(1)= (wpisz liczbę całkowitą)
    Podpunkt 28.3 (2 pkt)
     Wyznacz długośc krawędzi podstawy tego z ostrosłupów, który ma największą objętość.
    Odpowiedź:
    x= + \cdot√
    (wpisz cztery liczby całkowite)
    Zadanie 29.  (6 pkt)  (Numer zadania: pr-31116) [ ⇒ Rozwiąż ] 
    Podpunkt 29.1 (1 pkt)
     Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości x. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku, przy czym a=18 oraz wysokośc szkieletu h również jest równa 18.

    Objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x można zapisać w postaci V(x)=mx^3+nx^2.
    Podaj liczby m i n.

    Odpowiedzi:
    m= (wpisz liczbę całkowitą)
    n= (wpisz liczbę całkowitą)
    Podpunkt 29.2 (1 pkt)
     Przedział (0,p\rangle jest dziedziną funkcji V.

    Podaj liczbę p.

    Odpowiedź:
    p=
    (wpisz dwie liczby całkowite)
    Podpunkt 29.3 (1 pkt)
     Oblicz pochodną funkcji V.

    Podaj liczbę V'(1).

    Odpowiedź:
    V'(1)= (wpisz liczbę całkowitą)
    Podpunkt 29.4 (1 pkt)
     Oblicz pochodną funkcji V, a następnie wyznacz jej miejsce zerowe x_0.

    Podaj liczbę x_0.

    Odpowiedź:
    x_0=
    (wpisz dwie liczby całkowite)
    Podpunkt 29.5 (2 pkt)
     Oblicz tę wartość x, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja V osiąga wartość największą.

    Oblicz tę największą objętość.

    Odpowiedź:
    V_{max}(x)=
    (wpisz dwie liczby całkowite)
    Zadanie 30.  (7 pkt)  (Numer zadania: pr-31117) [ ⇒ Rozwiąż ] 
    Podpunkt 30.1 (2 pkt)
     Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 64\sqrt{3}, których stosunek długości dwóch krawędzi podstawy wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy 1:2.

    Pole powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu jako funkcja długości x krótszej krawędzi podstawy opisuje wzór P(x)=4x^2+\frac{m}{x}.
    Podaj liczbę m.

    Odpowiedź:
    m= \cdot√
    (wpisz dwie liczby całkowite)
    Podpunkt 30.2 (1 pkt)
     Oblicz pochodną funkcji P.

    Podaj liczbę P'\left(\sqrt{3}\right).

    Odpowiedź:
    P'\left(\sqrt{3}\right)= \cdot√
    (wpisz dwie liczby całkowite)
    Podpunkt 30.3 (1 pkt)
     Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu przyjmuje wartość:
    Odpowiedzi:
    A. najmniejszą B. największą
    Podpunkt 30.4 (2 pkt)
     Podaj wartość x_0 dla której funkcja P osiąga ekstremum lokalne.
    Odpowiedź:
    x_0= \cdot√
    (wpisz trzy liczby całkowite)
    Podpunkt 30.5 (1 pkt)
     Podaj wysokość h tego z prostopadłościanów, który ma pole ekstremalne.
    Odpowiedź:
    h= \cdot√
    (wpisz trzy liczby całkowite)
    Zadanie 31.  (7 pkt)  (Numer zadania: pr-31118) [ ⇒ Rozwiąż ] 
    Podpunkt 31.1 (1 pkt)
     Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej 216. Wyraź objętość V takiego walca jako funkcję długości promienia podstawy r.

    Wzór tej funkcji ma postać V(r)=m\cdot r-\pi r^3.
    Podaj liczbę m.

    Odpowiedź:
    m=
    (wpisz dwie liczby całkowite)
    Podpunkt 31.2 (1 pkt)
     Przedział \left(0, \sqrt{\frac{m}{\pi}}\right) jest dziedziną funkcji V.

    Podaj liczbę m.

    Odpowiedź:
    m=
    (wpisz dwie liczby całkowite)
    Podpunkt 31.3 (2 pkt)
     Oblicz pochodną funkcji V.

    Podaj liczbę V'\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right).

    Odpowiedź:
    V'\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)=
    (wpisz dwie liczby całkowite)
    Podpunkt 31.4 (1 pkt)
     Funkcja objętości V osiąga wartość:
    Odpowiedzi:
    A. największą B. najmniejszą
    Podpunkt 31.5 (1 pkt)
     Miejsce zerowe r_0 pochodnej V' ma postać \frac{m}{\sqrt{\pi}}.

    Podaj liczbę m.

    Odpowiedź:
    m= \cdot√
    (wpisz trzy liczby całkowite)
    Podpunkt 31.6 (1 pkt)
     Wysokość h tego z walców, który ma najmniejszą lub największą objętość jest równa h=\frac{m}{\sqrt{\pi}}.

    Podaj liczbę m.

    Odpowiedź:
    m= (wpisz liczbę całkowitą)

    Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm