Stereometria z CKE

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony

Uczeń:

rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Zadanie 1. (5 pkt) (Numer zadania: pr-30881)

Podpunkt 1.1 (2 pkt)

Dany jest sześcianABCDEFGH o krawędzi długości 14. Punkt S jest punktem przecięcia przekątnych AH i DE ściany bocznej ADHE (zobacz rysunek).

Oblicz |SB|.

Odpowiedź:

|SB|= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 1.2 (1 pkt)

Oblicz \cos\sphericalangle HSB.

Odpowiedź:

\cos\sphericalangle HSB=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 1.3 (2 pkt)

Oblicz wysokość trójkąta SBH poprowadzoną z punktu S na bok BH tego trójkąta.

Odpowiedź:

h=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 2. (4 pkt) (Numer zadania: pr-30898)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 2.1 (4 pkt)

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa a. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy \frac{\sqrt{95}}{12}.

Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. Wynik zapisz w postaci p\cdot a^2.
Podaj liczbę p.

Odpowiedź:

P_b=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 3. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31007)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 3.1 (2 pkt)

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH o podstawie prostokątnej ABCD. Przekątne AH i AF ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \alpha takiej, że \sin\alpha=\frac{3}{5} (zobacz rysunek). Pole trójkąta AFH jest równe 12.

Oblicz \cos\alpha.

Odpowiedź:

\cos\alpha=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 3.2 (4 pkt)

Oblicz wysokość H tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

H=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 4. (5 pkt) (Numer zadania: pr-31012)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 4.1 (1 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA_1B_1C_1D_1 jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R=2. Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą rozwartemu kątowi środkowemu o mierze 2\alpha, którego sinus jest równy \sin2\alpha=\frac{120}{169} (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy 4.

Oblicz \sin\sphericalangle BOC.

Odpowiedź:

\sin\sphericalangle BOC=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 4.2 (1 pkt)

Oblicz długość ramienia trapezu ABCD.

Odpowiedź:

\|BC\|=\|AD\|=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 4.3 (1 pkt)

Oblicz pole trapezu ABCD.

Odpowiedź:

P_{ABCD}=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 4.4 (2 pkt)

Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}= (liczba zapisana dziesiętnie)

Zadanie 5. (5 pkt) (Numer zadania: pr-31021)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 5.1 (1 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. Krawędź podstawy a tego ostrosłupa ma długość 14. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze \alpha takim, że \cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{7}. Przez krawędź BC podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę \pi prostopadłą do ściany bocznej SAD (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

h_b=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 5.2 (1 pkt)

Oblicz długość odcinka RS.

Odpowiedź:

\|RS\|=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 5.3 (1 pkt)

Oblicz wysokość h przekroju.

Odpowiedź:

h= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 5.4 (1 pkt)

Oblicz długość odcinka EF.

Odpowiedź:

|EF|= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 5.5 (1 pkt)

Oblicz pole powierzchni przekroju.

Odpowiedź:

P_{BCFE}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 6. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31030)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 6.1 (2 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD i polu powierzchni bocznej równym 4. Wysokości sąsiednich ścian bocznych są ramionami trójkąta równoramiennego, którego cosinus kąta przy podstawie jest równy \frac{4}{25}.

Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość równą \frac{m}{\sqrt[4]{8}}.
Podaj liczbę m.

Odpowiedź:

m=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 6.2 (2 pkt)

Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \frac{m}{\sqrt[4]{2}}.
Podaj liczbę m.

Odpowiedź:

m=

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 6.3 (2 pkt)

Objętość tego ostrosłupa jest równa \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot m.

Podaj liczbę m.

Odpowiedź:

m=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 7. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31035)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 7.1 (2 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 10, a wysokość graniastosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni trójkąta ABF.

Odpowiedź:

P_{\triangle ABF}= \cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 7.2 (2 pkt)

Oblicz sinus kąta BFA.

Odpowiedź:

\sin{\sphericalangle BFA}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 8. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31050)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 8.1 (2 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 2. Punkt S dzieli krawędź DH w stosunku |HS|:|SD|=1:6 (zobacz rysunek).

Oblicz długość d najkrótszego boku trójkąta CFS.

Odpowiedź:

d=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 8.2 (2 pkt)

Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta CFS.

Odpowiedź:

\cos\alpha=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 9. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31067)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 9.1 (1 pkt)

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (AB\parallel CD). Ramiona tego trapezu mają długość |AD|=10 i |BC|=6, a miara kąta ABC jest równa 60^{\circ}. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \alpha taki, że \tan\alpha=\frac{5}{2}.

Oblicz wysokość h trapezu ABCD.

Odpowiedź:

h=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 9.2 (2 pkt)

Oblicz wysokość H tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

H=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 9.3 (3 pkt)

Oblicz objętość V tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

V_{ABCDS}=	\cdot√


(wpisz trzy liczby całkowite)

Masz pytania? Napisz: k42195@poczta.fm

Zbiór zadań ☆ Strona główna	Zaloguj mnie... Załóż konto...