Stereometria z CKE

Zadania z matur CKE dla liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony

Uczeń:

rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Zadanie 1. (5 pkt) (Numer zadania: pr-30881)

Podpunkt 1.1 (2 pkt)

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $10$ . Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $AH$ i $DE$ ściany bocznej $ADHE$ (zobacz rysunek).

Oblicz $|SB|$ .

Odpowiedź:

$|SB|=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 1.2 (1 pkt)

Oblicz $\cos\sphericalangle HSB$ .

Odpowiedź:

$\cos\sphericalangle HSB=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 1.3 (2 pkt)

Oblicz wysokość trójkąta $SBH$ poprowadzoną z punktu $S$ na bok $BH$ tego trójkąta.

Odpowiedź:

$h=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 2. (4 pkt) (Numer zadania: pr-30898)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 2.1 (4 pkt)

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $a$ . Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. Wynik zapisz w postaci $p\cdot a^2$ .
Podaj liczbę $p$ .

Odpowiedź:

$P_b=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 3. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31007)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 3.1 (2 pkt)

Dany jest graniastosłup prosty $ABCDEFGH$ o podstawie prostokątnej $ABCD$ . Przekątne $AH$ i $AF$ ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze $\alpha$ takiej, że $\sin\alpha=\frac{3}{5}$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $AFH$ jest równe $18$ .

Oblicz $\cos\alpha$ .

Odpowiedź:

$\cos\alpha=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 3.2 (4 pkt)

Oblicz wysokość $H$ tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$H=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 4. (5 pkt) (Numer zadania: pr-31012)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 4.1 (1 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jest trapez równoramienny $ABCD$ wpisany w okrąg o środku $O$ i promieniu $R=2$ . Dłuższa podstawa $AB$ trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą rozwartemu kątowi środkowemu o mierze $2\alpha$ , którego sinus jest równy $\sin2\alpha=\frac{720}{1681}$ (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy $7$ .

Oblicz $\sin\sphericalangle BOC$ .

Odpowiedź:

$\sin\sphericalangle BOC=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 4.2 (1 pkt)

Oblicz długość ramienia trapezu $ABCD$ .

Odpowiedź:

$\|BC\|=\|AD\|=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 4.3 (1 pkt)

Oblicz pole trapezu $ABCD$ .

Odpowiedź:

$P_{ABCD}=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 4.4 (2 pkt)

Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=$ (liczba zapisana dziesiętnie)

Zadanie 5. (5 pkt) (Numer zadania: pr-31021)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 5.1 (1 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ . Krawędź podstawy $a$ tego ostrosłupa ma długość $20$ . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$ takim, że $\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ . Przez krawędź $BC$ podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę $\pi$ prostopadłą do ściany bocznej $SAD$ (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h_b=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 5.2 (1 pkt)

Oblicz długość odcinka $RS$ .

Odpowiedź:

$\|RS\|=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 5.3 (1 pkt)

Oblicz wysokość $h$ przekroju.

Odpowiedź:

$h=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 5.4 (1 pkt)

Oblicz długość odcinka $EF$ .

Odpowiedź:

$|EF|=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 5.5 (1 pkt)

Oblicz pole powierzchni przekroju.

Odpowiedź:

$P_{BCFE}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 6. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31030)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 6.1 (2 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ i polu powierzchni bocznej równym $4$ . Wysokości sąsiednich ścian bocznych są ramionami trójkąta równoramiennego, którego cosinus kąta przy podstawie jest równy $\frac{4}{9}$ .

Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość równą $\frac{m}{\sqrt[4]{8}}$ .
Podaj liczbę $m$ .

Odpowiedź:

$m=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 6.2 (2 pkt)

Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa $\frac{m}{\sqrt[4]{2}}$ .
Podaj liczbę $m$ .

Odpowiedź:

$m=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 6.3 (2 pkt)

Objętość tego ostrosłupa jest równa $\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot m$ .

Podaj liczbę $m$ .

Odpowiedź:

$m=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 7. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31035)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 7.1 (2 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$ . Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość $6$ , a wysokość graniastosłupa jest równa $14$ (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni trójkąta $ABF$ .

Odpowiedź:

$P_{\triangle ABF}=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 7.2 (2 pkt)

Oblicz sinus kąta $BFA$ .

Odpowiedź:

$\sin{\sphericalangle BFA}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 8. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31050)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 8.1 (2 pkt)

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $2$ . Punkt $S$ dzieli krawędź $DH$ w stosunku $|HS|:|SD|=1:5$ (zobacz rysunek).

Oblicz długość $d$ najkrótszego boku trójkąta $CFS$ .

Odpowiedź:

$d=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 8.2 (2 pkt)

Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta $CFS$ .

Odpowiedź:

$\cos\alpha=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 9. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31066)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 9.1 (1 pkt)

Podstawą ostrosłupa czworokątnego $ABCDS$ jest trapez $ABCD$ ( $AB\parallel CD$ ). Ramiona tego trapezu mają długość $|AD|=8$ i $|BC|=12$ , a miara kąta $ABC$ jest równa $45^{\circ}$ . Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $\alpha$ taki, że $\tan\alpha=\frac{5}{2}$ .

Oblicz wysokość $h$ trapezu $ABCD$ .

Odpowiedź:

$h=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 9.2 (2 pkt)

Oblicz wysokość $H$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$H=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 9.3 (3 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V_{ABCDS}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 10. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31095)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 10.1 (2 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego $ABCS$ jest trójkąt równoboczny $ABC$ o boku długości $12$ . Na krawędziach bocznych $BS$ i $CS$ wybrano punkty, odpowiednio $D$ i $E$ , takie że $|BD=|CE|$ oraz $|DE|=8$ (zobacz rysunek). Ponadto, płaszczyzna $ADE$ jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej $BCS$ tego ostrosłupa.

Niech $K$ będzie środkiem odcinka $DE$ , zaś $L$ środkiem krawędzi podstawy $BC$ . Wówczas $|SK|=k\cdot |KL|$ , gdzie $k$ jest pewną liczbą wymierną.

Podaj liczbę $k$ .

Odpowiedź:

$k=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 10.2 (2 pkt)

Oblicz wysokość ściany bocznej $SL$ .

Odpowiedź:

$|KL|=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 10.3 (1 pkt)

Oblicz wysokość $h$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 10.4 (1 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V_{ABCS}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 11. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31096)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 11.1 (2 pkt)

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru $V=\frac{1}{3}\pi H\left(r^2+rR+R^2\right)$ , gdzie $r$ i $R$ są promieniami podstaw ( $r\lessdot R$ ), a $H$ jest wysokością bryły.

Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa $H=8$ , objętość $V=992\pi$ , a $r=8$ .

Oblicz promień $R$ większej z podstaw.

Odpowiedź:

$R=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 11.2 (2 pkt)

Oblicz cosinus kąta $\alpha$ nachylenia przekątnej przekroju osiowego bryły do płaszczyzny jednej z jej podstaw.

Odpowiedź:

$cos\alpha=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 12. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31097)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 12.1 (2 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ wysokość jest równa $\frac{6\sqrt{310}}{31}$ , a kąt $\alpha$ między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa spełnia warunek $\cos{\alpha}=-\frac{31}{49}$ .

Oblicz cosinus kąta $FCO$ .

Odpowiedź:

$\cos{\sphericalangle FCO}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 12.2 (1 pkt)

Oblicz sinus kąta $ESC$ .

Odpowiedź:

$\sin{\sphericalangle ESC}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 12.3 (2 pkt)

Oblicz długość krawędzi bocznej ostrosłupa.

Odpowiedź:

$\|CS\|=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 12.4 (1 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 13. (5 pkt) (Numer zadania: pr-31098)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 13.1 (2 pkt)

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest trapez $ABCD$ . Przekątna $AC$ tego trapezu ma długość $5\sqrt{3}$ i jest prostopadła do ramienia $BC$ oraz tworzy z dłuższą podstawą $AB$ tego trapezu kąt o mierze $30^{\circ}$ . Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość równą $8\sqrt{3}$ .

Oblicz długość promienia $r$ okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$r=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 13.2 (1 pkt)

Oblicz wysokość $h$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 13.3 (2 pkt)

Oblicz odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi jego bocznej $DS$ .

Odpowiedź:

$d(O, SD)=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 14. (5 pkt) (Numer zadania: pr-31099)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 14.1 (2 pkt)

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $6$ . Krawędź boczna $SD$ jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest $7$ razy większa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa.

Oblicz sinus kąta $\alpha$ nachylenia krawędzi bocznej $BS$ do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$\sin\alpha=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 14.2 (1 pkt)

Oblicz długość wysokości $AE$ trójkąta $ABS$ .

Odpowiedź:

$\|AE\|=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 14.3 (2 pkt)

Oblicz sinus kąta dwuściennego $\beta$ pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa $ABS$ i $CBS$ .

Odpowiedź:

$\sin\beta=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 15. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31100)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 15.1 (2 pkt)

Dana jest siatka ostrosłupa, w której: $|AB|=6$ , $|AC|=|BC|=5$ , $|AD|=|CF|=|BE|=6$ .

Oblicz promień okręgu $R$ opisanego na podstawie ostrosłupa $ABC$ .

Odpowiedź:

$R=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 15.2 (2 pkt)

Oblicz wysokość $h_b$ ściany bocznej, której podstawą jest odcinek $AB$ .

Odpowiedź:

$h_b=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 15.3 (2 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V=$ (liczba zapisana dziesiętnie)

Zadanie 16. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31101)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 16.1 (1 pkt)

W ostrosłupie $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym. Krawędź $AS$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka $A$ od ściany $BCS$ jest równa $12$ . Ściana boczna $BCS$ jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego sinus jest równy $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Oblicz długość $a$ krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$a=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 16.2 (1 pkt)

Oblicz wysokość $h_b$ ściany bocznej $BCS$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h_b=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 16.3 (1 pkt)

Oblicz wysokość $h$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 16.4 (1 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 17. (5 pkt) (Numer zadania: pr-31102)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 17.1 (2 pkt)

Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt równoramienny $ABC$ , w którym $|AB|=32$ , $|BC|=|AC|=34$ i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka $S$ ma długość $16$ .

Oblicz długość $r$ promienia okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa.

Odpowiedź:

$r=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 17.2 (3 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V_{ABCS}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 18. (5 pkt) (Numer zadania: pr-31103)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 18.1 (2 pkt)

Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt równoramienny $ABC$ . Krawędź $AS$ jest wysokością tego ostrosłupa oraz $|AS|=154$ , $|BS|=170$ , $|CS|=2\sqrt{12653}$ .

Oblicz długość $L$ obwodu podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$L_{ABC}=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 18.2 (3 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V_{ABCS}=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 19. (5 pkt) (Numer zadania: pr-31104)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 19.1 (2 pkt)

W ostrosłupie trójkątnym $ABCS$ o podstawie $ABC$ i wierzchołku $S$ dane są: $|AB|=|AC|=|BS|=|CS|=8$ , $|BC|=6$ i $|AS|=4$ .

Niech $D$ będzie środkiem krawędzi podstawy $BC$ . Oblicz wysokość $DE$ trójkąta $ADS$ .

Odpowiedź:

$\|DE\|=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 19.2 (2 pkt)

Oblicz wysokość $h$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 19.3 (1 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V_{ABCS}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 20. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31105)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 20.1 (2 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ . W trójkącie równoramiennym $ACS$ stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy $|AC|:|AS|=\frac{30}{17}$

Oblicz sinus kąta $\alpha$ pomiędzy krawędzią boczną ostrosłupa, a krawędzią jego podstawy.

Odpowiedź:

$\sin{\alpha}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 20.2 (2 pkt)

Oblicz cosinus kąta $\beta$ pomiędzy wysokościami przeciwległych ścian bocznych tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$\cos{\beta}=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 20.3 (2 pkt)

Oblicz sinus kąta $\gamma$ nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$\sin{\gamma}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 21. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31107)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 21.1 (2 pkt)

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $3600\sqrt{3}$ , a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe $1440$ .

Oblicz długość $a$ krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$a=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 21.2 (2 pkt)

Oblicz długość $h$ wysokości tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$h=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 21.3 (2 pkt)

Oblicz sinus kąta $\alpha$ nachylenia przekątnej ściany bocznej tego graniastosłupa do jego sąsiedniej ściany bocznej.

Odpowiedź:

$\sin{\alpha}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 22. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31108)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 22.1 (2 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ krawędź podstawy $ABC$ ma długość $12$ . Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa $90^{\circ}$ .

Na krawędzi bocznej $CS$ zaznaczono taki punkt $E$ , że płaszczyzna $(ABE)$ jest prostopadła do tej krawędzi bocznej.
Oblicz długość odcinka $CE$ .

Odpowiedź:

$\|CE\|=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 22.2 (2 pkt)

Oblicz długość $h$ wysokości tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$h=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 22.3 (2 pkt)

Oblicz objętość $V$ tego ostrosłupa.

Odpowiedź:

$V_{ABCS}=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 23. (4 pkt) (Numer zadania: pr-31109)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 23.1 (2 pkt)

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCA'B'C'$ jest równa $4$ . Odcinek $C'D$ jest wysokością trójkąta $ABC'$ oraz $\sin{\sphericalangle DC'B}=\frac{1}{5}$ .

Oblicz $\cos{\sphericalangle AC'B}$ .

Odpowiedź:

$\cos{\sphericalangle AC'B}=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 23.2 (1 pkt)

Oblicz długość $d$ przekątnej ściany bocznej tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$d=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 23.3 (1 pkt)

Oblicz pole $P_{b}$ powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Odpowiedź:

$P_{b}=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 24. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31110)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 24.1 (2 pkt)

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $250$ , których krawędź podstawy ma długość $a$ .

Pole powierzchni całkowitej takiego graniastosłupa jest równe $P(a)=\frac{a^2\sqrt{3}}{m}+\frac{n\cdot\sqrt{3}}{a}$ , gdzie $m, n$ są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Podaj liczby $m$ i $n$ .

Odpowiedzi:

$m$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)
$n$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 24.2 (1 pkt)

Oblicz pochodną funkcji $P$ .

Podaj $P'(\sqrt{3})$ .

Odpowiedź:

$P'(a)=$	$+$ $\cdot$ √


(wpisz cztery liczby całkowite)

Podpunkt 24.3 (1 pkt)

Funkcja $P$ w przedziale $(0,+\infty)$ osiąga wartość:

Odpowiedzi:

A. największą

B. najmniejszą

Podpunkt 24.4 (1 pkt)

Podaj wartość $a_0$ , w której funkcja $P$ ma ekstremum lokalne.

Odpowiedź:

$a_0=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 24.5 (1 pkt)

Podaj pole powierzchni bocznej tego z graniastosłupów, który ma największe lub najmniejsze pole powierzchni całkowitej.

Odpowiedź:

$P_b=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 25. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31111)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 25.1 (1 pkt)

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości $H$ ostrosłupa oraz promienia $R$ okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa $20$ .

Objętość $V$ takiego ostrosłupa można zapisać w postaci $V(R)=a\cdot R^2\cdot (b-R)$ .
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 25.2 (1 pkt)

Podaj liczbę $b$ .

Odpowiedź:

$b=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 25.3 (1 pkt)

Oblicz pochodną funkcji $V$ .

Podaj wartość tej pochodnej w $R=1$ .

Odpowiedź:

$V'(1)=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 25.4 (1 pkt)

Przy jakiej długości promienia $R$ objętość rozważanego ostrosłupa jest największa?

Odpowiedź:

$R=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 25.5 (2 pkt)

Ile jest równa ta maksymalna objętość ostrosłupa?

Odpowiedź:

$V_{max}(R)=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 26. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31112)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 26.1 (2 pkt)

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne $ABCDEFGH$ , w których odcinek łączący punkt $O$ przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ podstawy $ABCD$ z dowolnym wierzchołkiem podstawy $EFGH$ ma długość $d$ (zobacz rysunek).

Przyjmijmy, że $|DO|=x$ . Wyznacz zależność objętości $V$ graniastosłupa od zmiennej $x$ . Funkcję $y=V(x)$ zapisz w postaci $y=\sqrt{W(x)}$ , gdzie $W(x)$ jest wielomianem zmiennej $x$ .

Przyjmując $d=9$ , podaj wartość tego wielomianu w jedynce.

Odpowiedź:

$W(1)=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 26.2 (2 pkt)

Oblicz pochodną funkcji $V$ .

Przyjmując $d=9$ , oblicz $V'(1)$ .

Odpowiedź:

$V'(1)=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 26.3 (2 pkt)

Wyznacz długość odcinka $x$ tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz wynik w postaci $x=m\cdot d$ . Podaj liczbę $m$ .

Odpowiedź:

$m=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 27. (7 pkt) (Numer zadania: pr-31113)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 27.1 (2 pkt)

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności $68$ . Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać $20$ . Całkowity koszt $C$ wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

$17$ zł za $1$ m² dna,

$8$ zł za $1$ m² ściany bocznej.

Funkcję $C$ można określić za pomocą wzoru $C(x)=17x^2+\frac{a}{x}$ , gdzie $x$ jest długością krawędzi dna zbiornika.
Podaj liczbę $a$ .

Odpowiedź:

$a=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 27.2 (1 pkt)

Oblicz pochodną funkcji $C$ i podaj jej wartość w $x=1$ .

Odpowiedź:

$C'(1)=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 27.3 (2 pkt)

Wyznacz wymiary tego zbiornika, którego koszt wykonania jest najmniejszy możliwy.

Podaj długość krawędzi dna.

Odpowiedź:

$x=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 27.4 (2 pkt)

Podaj wysokość tego zbiornika oraz koszt jego wykonania.

Odpowiedzi:

$h$	$=$	(dwie liczby całkowite)



$C_{min}(x)$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)

Zadanie 28. (7 pkt) (Numer zadania: pr-31114)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 28.1 (3 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma długości krawędzi podstawy i długości krawędzi bocznej jest równa $14$ . Wyraź objętość tego ostrosłupa za pomocą długości krawędzi podstawy $x$ i zapisz ten wzór w postaci $V(x)=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{W(x)}$ , gdzie $W(x)$ jest pewnym wielomianem.

Podaj wartość tego wielomianu w $x=1$ i $x=2$ .

Odpowiedzi:

$W(1)$	$=$	(wpisz dwie liczby całkowite)



$W(2)$	$=$	(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 28.2 (2 pkt)

Oblicz pochodną wielomianu $W(x)$ .

Podaj wartość tej pochodnej w $x=1$ .

Odpowiedź:

$W'(1)=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 28.3 (2 pkt)

Wyznacz długośc krawędzi podstawy tego z ostrosłupów, który ma największą objętość.

Odpowiedź:

$x=$	$+$ $\cdot$ √


(wpisz cztery liczby całkowite)

Zadanie 29. (6 pkt) (Numer zadania: pr-31116)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 29.1 (1 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości $x$ . Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku, przy czym $a=18$ oraz wysokośc szkieletu $h$ również jest równa $18$ .

Objętość $V$ drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej $x$ można zapisać w postaci $V(x)=mx^3+nx^2$ .
Podaj liczby $m$ i $n$ .

Odpowiedzi:

$m$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)
$n$	$=$	(wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 29.2 (1 pkt)

Przedział $(0,p\rangle$ jest dziedziną funkcji $V$ .

Podaj liczbę $p$ .

Odpowiedź:

$p=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 29.3 (1 pkt)

Oblicz pochodną funkcji $V$ .

Podaj liczbę $V'(1)$ .

Odpowiedź:

$V'(1)=$ (wpisz liczbę całkowitą)

Podpunkt 29.4 (1 pkt)

Oblicz pochodną funkcji $V$ , a następnie wyznacz jej miejsce zerowe $x_0$ .

Podaj liczbę $x_0$ .

Odpowiedź:

$x_0=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 29.5 (2 pkt)

Oblicz tę wartość $x$ , dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja $V$ osiąga wartość największą.

Oblicz tę największą objętość.

Odpowiedź:

$V_{max}(x)=$

(wpisz dwie liczby całkowite)

Zadanie 30. (7 pkt) (Numer zadania: pr-31117)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 30.1 (2 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości $64\sqrt{3}$ , których stosunek długości dwóch krawędzi podstawy wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy $1:2$ .

Pole powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu jako funkcja długości $x$ krótszej krawędzi podstawy opisuje wzór $P(x)=4x^2+\frac{m}{x}$ .
Podaj liczbę $m$ .

Odpowiedź:

$m=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 30.2 (1 pkt)

Oblicz pochodną funkcji $P$ .

Podaj liczbę $P'\left(\sqrt{3}\right)$ .

Odpowiedź:

$P'\left(\sqrt{3}\right)=$ $\cdot$ √
(wpisz dwie liczby całkowite)

Podpunkt 30.3 (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu przyjmuje wartość:

Odpowiedzi:

A. najmniejszą

B. największą

Podpunkt 30.4 (2 pkt)

Podaj wartość $x_0$ dla której funkcja $P$ osiąga ekstremum lokalne.

Odpowiedź:

$x_0=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Podpunkt 30.5 (1 pkt)

Podaj wysokość $h$ tego z prostopadłościanów, który ma pole ekstremalne.

Odpowiedź:

$h=$	$\cdot$ √


(wpisz trzy liczby całkowite)

Zadanie 31. (7 pkt) (Numer zadania: pr-31118)

[ ⇒ Rozwiąż ]

Podpunkt 31.1 (1 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej $216$ . Wyraź objętość $V$ takiego walca jako funkcję długości promienia podstawy $r$ .

Wzór tej funkcji ma postać $V(r)=m\cdot r-\pi r^3$ .
Podaj liczbę $m$ .