Optymalizacja i rachunek różniczkowy z CKE

 Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długość |AB|=360 m i |CD|=140 m. Wysokość trapezu jest równa 70 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre.

Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe – E oraz F – na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Wskazówka: Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu ABCD jest sumą pól trapezów ABFE oraz EFCD: P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}.

 Wyznacz tę największą powierzchnię.

 Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 130 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

przychód P (w złotych) ze sprzedaży x krzeseł można opisać funkcją P(x)=130x,

koszt K (w złotych) produkcji x krzeseł dziennie można opisać funkcją K(x)=3x^2+4x+123.

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

 Oblicz maksymalny zysk zakładu.

 Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 25 dm.

Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe możliwe.

 Oblicz to największe możliwe pole powierzchni okna.

 Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:

przychód P (w złotych) z tygodniowej sprzedaży x wiatraków można opisać funkcją P(x)=255x,

koszt K (w złotych) produkcji x wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją K(x)=x^2+27x+223
Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej n=227 wiatraków.

Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy.

 Ile wynosi ten największy zysk?

 Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości 180 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).

Wyznacz dłuższy bok tego kąpieliska, którego powierzchnia jest największa możliwa.

 Wyznacz krótszy bok tego kąpieliska, którego powierzchnia jest największa możliwa.

 W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 84 metrów bieżących siatki.
Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów.

Podaj liczby x i y.

 Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 36 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi Dziedziną tej funkcji jest przedział (a, b).

Podaj liczby a i b.

 Wyznacz długość boku x, dla której pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest największe.

 Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 20 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 37 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. Dziedziną tej funkcji jest przedział (a, b).

Podaj liczby a i b.

 Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.