Optymalizacja i rachunek różniczkowy z CKE

 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x^4-4x^3+ \underbrace{\frac{5\cdot\log_{5}{\sqrt[5]{3^{2}}}\cdot\log_{3}{5}}{2}}_{a_2} \cdot x^2-72x, dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x.

Oblicz wartość współczynnika a_2 stojącego przy kwadracie niewiadomej x.

 Oblicz pochodną f', a następnie wyznacz jej wartość w jedynce.

 Wyznacz ilość miejsc zerowych pochodnej oraz największe z tych miejsc zerowych.

 Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f.

 Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEFGH, w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EFGH ma długość d (zobacz rysunek).

Przyjmijmy, że |DO|=x. Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od zmiennej x. Funkcję y=V(x) zapisz w postaci y=\sqrt{W(x)}, gdzie W(x) jest wielomianem zmiennej x.

Przyjmując d=7, podaj wartość tego wielomianu w jedynce.

 Oblicz pochodną funkcji V.

Przyjmując d=7, oblicz V'(1).

 Wyznacz długość odcinka x tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz wynik w postaci x=m\cdot d. Podaj liczbę m.

 Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 2000. Pole P powierzchni całkowitej takiego graniastosłupa w zależności od długości krawędzi jego podstawy a wyraża się wzorem P(a)=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{2}+\frac{m\cdot \sqrt{3}}{a}, gdzie m\in\mathbb{Z}.

Wyznacz liczbę m.

 Pochodna funkcji P jest równa P'(a)=\sqrt{3}a+\frac{p}{a^2}, gdzie p\in\mathbb{R}.

Podaj liczbę p.

 Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

 Wyznacz najmniejsze możliwe pole powierzchni tego graniastosłupa.

 Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 16.

Objętość V takiego ostrosłupa można zapisać w postaci V(R)=a\cdot R^2\cdot (b-R).
Podaj liczbę a.

 Podaj liczbę b.

 Oblicz pochodną funkcji V.

Podaj wartość tej pochodnej w R=1.

 Przy jakiej długości promienia R objętość rozważanego ostrosłupa jest największa?

 Ile jest równa ta maksymalna objętość ostrosłupa?

 Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 24, których podstawa ma długość a, a ramię długość b.

Pole P każdego z tych trójkątów można wyrazić jako funkcję długości podstawy a, zgodnie z wzorem P(a)=\frac{a\cdot\sqrt{x-y\cdot a}}{4}. Podaj liczby x i y.

 Oblicz pochodną funkcji P i podaj jej wartość dla argumentu a=1.

 Podaj długość podstawy a i ramienia b tego z trójkątów który ma największe pole powierzchni.

 Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne ABC (|AC|=|BC|), na których opisano okrąg o promieniu R=\frac{3}{7}. Niech x oznacza odległość środka tego okręgu od podstawy AB trójkąta.

Pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości x, wyraża się wzorem P(x)=(x+a)\cdot\sqrt{b-x^2}, gdzie x\in D_P.

Podaj liczby a i b.

 Przekształć wzór funkcji P do postaci P(x)=\sqrt{W(x)}, gdzie W(x) jest pewnym wielomianem stopnia czwartego.

Podaj sumę współczynników tego wielomianu

 Liczba x=-\frac{3}{7} jest pierwiastkiem wielomianu W'(x) rozpatrywanego w całym zbiorze \mathbb{R}. Znajdź pierwiastek tego wielomianu w jego dziedzinie, czyli zbiorze D_P.

Podaj ten pierwiastek.

 Jakie pole powierzchni ma trójkąt o największym polu powierzchni?

 Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 480 litrów. Przy poziomie produkcji 480+x litrów dziennie przeciętny koszt K (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy K(x)=\frac{22x^2-4581.5x+257565.0}{390+x}, gdzie x\in[0,+\infty].

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji).

 Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

 Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek). Funkcje f oraz g są określone wzorami f(x)=x^2 oraz g(x)=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+6. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P=(-1,1).
Niech R będzie punktem leżącym na wykresie funkcji g. Odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem H(x)=|PR|=\frac{1}{8}\sqrt{16x^4-32x^3+ax^2+bx+1585}, gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R.

Podaj liczbya i b.

 Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu K=(x_K, y_K), w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca K toru od początku P) była możliwie największa.
W tym celu zbadaj funkcję pomocniczą h(x)=16x^4-32x^3+ax^2+bx+1585, gdzie a i b są współczynnikami wyznaczonymi w punkcie pierwszym.

Pochodna funkcji h rozpatrywana w zbiorze \mathbb{R} ma miejsce zerowe x_0, które jest liczbą wymierną.
Podaj liczbę x_0.

 Funkcja h rozpatrywna w dziedzinie funkcji H przyjmuje wartość największą w punkcie x_{max}, który jest liczbą niewymierną.

Podaj liczbę x_{max}.

 Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołki A i B leżą na wykresie funkcji f określonej wzorem f(x)=\frac{27}{x^4} dla x\neq 0. Punkt C ma współrzędne (0,-9), a punkty A i B są położone symetrycznie względem osi Oy (zobacz rysunek).

Niech punkt A ma współrzędne A=(x, y), gdzie x > 0. Wówczas pole powierzchni trójkąta ABC opisuje wzór P(x)=\frac{ax^4+b}{x^3}.
Podaj liczby a i b.

 Oblicz pochodną funkcji P.

Podaj wartość pochodnej P' w x=1.

 Wyznacz maksymalne pole powierzchni trójkąta ABC.

 Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 2. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 20. Całkowity koszt C wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

9 zł za 1 m² dna,

18 zł za 1 m² ściany bocznej.

Funkcję C można określić za pomocą wzoru C(x)=9x^2+\frac{a}{x}, gdzie x jest długością krawędzi dna zbiornika.
Podaj liczbę a.

 Oblicz pochodną funkcji C i podaj jej wartość w x=1.

 Wyznacz wymiary tego zbiornika, którego koszt wykonania jest najmniejszy możliwy.

Podaj długość krawędzi dna.

 Podaj wysokość tego zbiornika oraz koszt jego wykonania.

 Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=\frac{x^3+k}{x} dla każdej liczby rzeczywistej x\neq 0. Oblicz wartość k, dla której prosta o równaniu y=-x+8 jest styczna do wykresu funkcji f.

Podaj najmniejsze takie k.

 Podaj największe takie k.

 Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne ABC o przeciwprostokątnej AB i obwodzie równym 16. Niech x=|AC|.

Pole powierzchni P trójkąta ABC jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem P(x)=\frac{ax-bx^2}{c-x}.
Podaj liczby a, b i c.

 Przedział (a,b) jest dziedziną funkcji P.
Podaj liczby a i b.

 Oblicz pochodną funkcji P i zapisz jej wzór w postaci P'(x)=\frac{ax^2+bx+c}{(16-x)^2}.

Podaj liczby a, b i c.

 Wyznacz wartość x, dla której pole powierzchni trójkąta jest maksymalne.

 Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości x. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku, przy czym a=16 oraz wysokośc szkieletu h również jest równa 16.

Objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x można zapisać w postaci V(x)=mx^3+nx^2.
Podaj liczby m i n.

 Przedział (0,p\rangle jest dziedziną funkcji V.

Podaj liczbę p.

 Oblicz pochodną funkcji V.

Podaj liczbę V'(1).

 Oblicz pochodną funkcji V, a następnie wyznacz jej miejsce zerowe x_0.

Podaj liczbę x_0.

 Oblicz tę wartość x, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja V osiąga wartość największą.

Oblicz tę największą objętość.

 Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0.4 cm każda, a odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0.5 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 20 cm², a dłuższe boki ekranu i całego smartfona są równoległe.
Oznaczmy przez x długość dłuższego boku ekranu smartfona (bez brzegu) wyrażoną w milimetrach. Wówczas pole powierzchni całego smartfona z brzegiem można obliczyć ze wzoru P(x)=ax+\frac{b}{x}+c, gdzie a,b,c\in\mathbb{Z}.

Podaj liczby a, b i c.

 Wyznacz dziedzinę funkcji P.

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj lewy koniec tego przedziału.

 Wyznacz pochodną funkcji P i zapisz jej wzór w postaci P'(x)=a-\frac{b}{x}.

Podaj liczby a i b.

 Wyznacz wymiary x i y w milimetrach ekranu tego smartfona, którego pole powierzchni ekranu jest maksymalne.

 Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma długości krawędzi podstawy i długości krawędzi bocznej jest równa 12. Wyraź objętość tego ostrosłupa za pomocą długości krawędzi podstawy x i zapisz ten wzór w postaci V(x)=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{W(x)}, gdzie W(x) jest pewnym wielomianem.

Podaj wartość tego wielomianu w x=1 i x=2.

 Oblicz pochodną wielomianu W(x).

Podaj wartość tej pochodnej w x=1.

 Wyznacz długośc krawędzi podstawy tego z ostrosłupów, który ma największą objętość.