Podgląd arkusza : lo2@am-2-2023-01-08-pr

 Która z podanych liczb jest niewymierna:

 » Które z poniższych wzorów opisują funkcję nieparzystą?

 Wyznacz przedział tych wszystkich wartości m, dla których funkcja f(x)=\left(-2m+\frac{7}{5}\right)x-m jest rosnąca.

Podaj koniec tego przedziału, który jest liczbą wymierną niecałkowitą.

 Drugim końcem tego przedziału jest:

 Dana jest funkcja określona wzorem f(x)=\frac{5}{x}.

Oblicz wartość tej funkcji w punkcie \sqrt{8}-\sqrt{3} i zapisz wynik w postaci m\sqrt{8}+n\sqrt{3}, gdzie m,n\in\mathbb{Z}.

Podaj liczby m i n.

 « W trójkącie o obwodzie długości \frac{19}{2} połączono środki trzech boków i otrzymano trójkąt.

Oblicz obwód otrzymanego trójkąta.

 a=3 b=10 « Kąt \alpha jest ostry i \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{10}.

Oblicz wartość wyrażenia 2\cos^2{\alpha}-1.

 « Na rysunkach przedstawiono wykresy dwóch funkcji y=f(x) oraz y=g(x): Funkcja g określona jest wzorem:

 Do wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem y=ax^2+bx+c należą punkty o współrzędnych (-7,5), (-5,0) i (-1,2).

Wyznacz współczynnik b.

 Wyznacz współczynnik c.

 Prosta o równaniu x=-1 jest osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej, której część wykresu pokazano na poniższym rysunku. Zbiór A zawiera wszystkie te wartości rzeczywiste x, dla których f(x)\leqslant 0.

Podaj najmniejszą liczbę należącą do zbioru A.

 » Dana jest funkcja f(x)= \begin{cases} -\frac{1}{3}x-1,\qquad x\in(-\infty,-15) \\ x^2-220,\qquad x\in\langle -15,+\infty) \end{cases} . Liczba rozwiązań równania f(x)=3 jest równa:

 Rozwiąż równanie \frac{-5-x}{6}=\frac{x-4}{2}-\frac{x-4}{12}+\frac{x-3}{6}+\frac{x+2}{4} o niewiadomej x.

 « Suma dwóch liczb wynosi s. Jeśli jedną z nich zwiększymy o 20%, a drugą zmniejszymy o 10%, to ich suma zwiększy się o p. Jakie to liczby?

Podaj mniejszą z tych liczb.

 Podaj większą z tych liczb.

 « Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 4, a wysokość opuszczona na przeciwprostokątną tego trójkata długość 2\sqrt{3}.

Oblicz długość drugiej przyprostokątnej tego trójkąta.

 » Dana jest funkcja f(x)=\frac{1102}{x}, gdzie x\neq 0. Jej wykres przesunięto wzdłuż osi Oy i otrzymano wykres funkcji y=g(x), do którego należy punkt B=(29,56). Wyznacz wektor tego przesunięcia \vec{u}=[u_x,u_y].

Podaj u_y.

 Ile liczb naturalnych k ze zbioru \{0,1,2,3,...,182\} ma tę własność, że liczba g(k) jest całkowita?

 « Rozwiąż nierówność x^2+bx+c > 0.

Ile liczb całkowitych dodatnich, co najwyżej dwucyfrowych spełnia tę nierówność?

 Ile liczb całkowitych ujemnych nie spełnia tej nierówności?

 » Wyznacz dziedzinę funkcji: f(x)=\frac{x+6}{ax^3+bx^2+cx+d}

Podaj sumę tych wszystkich wartości x, które nie należą do dziedziny tej funkcji.

 » Trzy nierówności \begin{cases} y\leqslant -x+8+2a \\ y\leqslant \frac{9}{5}x+\frac{12}{5}-\frac{4}{5}a \\ y\geqslant \frac{5}{9}x-\frac{4}{3}+\frac{4}{9}a \end{cases} opisują trójkąt o wierzchołkach, których współrzędne są całkowite.

Podaj sumę wszystkich sześciu współrzędnych wierzchołków tego trójkąta.

 Trójkąt ten jest równoramienny o podstawie AB.

Oblicz długość wysokości opuszczonej na bok AB.

 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

 Rozwiąż nierówność \sqrt{x^2-10x+33}\geqslant 3x-15 .

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór postaci:

 Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 » Zbadaj liczbę rozwiązań równania \left|x^2+x-2\right|=\left(\frac{m}{2}-a\right)|x+2| w zależności od wartości parametru m\in\mathbb{R}.

Podaj najmniejsze możliwe m, dla którego równanie ma dwa rozwiązania.

 Podaj największe możliwe m, dla którego równanie ma dwa rozwiązania.

 Wyznacz zbiór tych wartości parametru m, dla których ilość rozwiązań dodatnich jest większa od ilości rozwiązań ujemnych.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich końców liczbowych tych przedziałów.

 Wyznacz zbiór tych wartości parametru m, dla których ilość rozwiązań dodatnich tego równania jest równa ilości rozwiązań ujemnych.

Podaj sumę wszystkich wyznaczonych wartości m.

 Równanie kwadratowe x^2-(m-8)x+1=0 ma dwa różne rozwiązania x_1 i x_2, wtedy i tylko wtedy, gdy parametr m należy do zbioru postaci (-\infty, p)\cup(q, +\infty).

Podaj liczby p i q.

 Wyznacz te wszystkie wartości parametru m, dla których spełniona jest nierówność \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2} \geqslant 2m^2-29m+84.

Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie tej nierówności.