Podgląd arkusza : lo2@am-3-2022-09-18-pr

 « Zapisz wyrażenie \left(\sqrt{12}+1\right)^4-\left(\sqrt{12}-1\right)^4 w najprostszej postaci a\sqrt{b}, gdzie a,b\in\mathbb{Z}.

 Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y=f(x):

Równanie f(x)=m ma dokładnie dwa rozwiązania.

Wyznacz największe możliwe m, które jest liczbą całkowitą.

 « Dana jest prosta o równaniu k:4x-y+2=0. Prosta k tworzy z prostą lukład sprzeczny.

Prosta l może być opisana równaniem:

 Dane są wektory: \vec{a}=[2,0] i \vec{b}=[1,-2]. Wektor \vec{p}=[p_x, p_y] spełnia równanie \frac{1}{2}\vec{b}=-\frac{1}{2}\vec{a}-2\vec{p}.

Podaj liczby p_x i p_y.

 « W wyniku przekształcenia wykresu funkcji f(x)=-x^2+2x przez symetrię względem osi Oy otrzymamo wykres funkcji określonej wzorem y=ax^2+bx.

Podaj liczby a i b.

 Równanie o niewiadomej x postaci |x-a|-b=0 ma dwa rozwiązania -1 i 2.

Podaj liczbę a.

 Podaj liczbę b.

 « Najmniejszą wartość w przedziale \langle 3, 7\rangle funkcja kwadratowa określona wzorem f(x)=-\left(x-6\right)^{2}+5 przyjmuje dla argumentu ......... .

Podaj brakującą liczbę.

 Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe \frac{1}{3^{7}}\pi^3. Bok tego trójkąta ma długość \frac{\pi^m}{3^n}, gdzie. m,n\in\mathbb{Z}.

Podaj liczby m i n.

 Punkt S=(4,3) jest środkiem okręgu, do którego należy punkt P=(2,3). Okrąg ten ma równanie x^2+y^2+ax+by+c=0.

Podaj wartości parametrów a, b i c.

 « Dany jest wielomian Q(x)=51x^3-px^2-qx-6, gdzie p,q\in\mathbb{C}.

Pierwiastkiem wielomianu Q(x) nie może być liczba:

 Dana jest liczba całkowita 6^{82}-2\cdot 6^{81}+4\cdot 6^{80}.

Podaj największą możliwą cyfrę, którą jest liczbą pierwszą i równocześnie jest dzielnikiem podanej liczby.

 Liczba ta jest podzielna przez potęgę liczby 2 o wykładniku naturalnym, czyli przez liczbę postaci 2^k, gdzie k jest liczbą naturalną.

Podaj największą możliwą wartość wykładnika k.

 « W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A jest prosty. Odcinek AE jest środkową tego trójkąta, zaś odcinek AF jego wysokością.

Oblicz |EF|.

 Okrąg opisano na trójkącie o bokach długości a, b i c. Oblicz długość promienia tego okręgu.

 » We wnętrzu trójkąta równobocznego o boku długości 5\sqrt{2} zaznaczono dowolny punkt.

Oblicz sumę odległości tego punktu od wszystkich boków tego trójkąta.

 « Wielomian W(x)=x^3+m^2x^2-2x-\frac{21}{8} przy dzieleniu przez wielomian P(x)=x+\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{3}{2}} daje resztę r=\frac{3}{8}.

Podaj najmniejsze możliwe m.

 Podaj największe możliwe m.

 Punkty P=(x_P, y_P), Q=(x_Q, y_Q) oraz R=(x_R, y_R) sa środkami boków trójkąta o bokach odpowiednio AB, BC i AC.

Podaj sumę obu współrzędnych wierzchołka A tego trójkąta.

 Punkt S=(x_S,y_S) jest środkiem ciężkości tego trójkąta.

Podaj x_S.

 Podaj y_S.

 Rozwiąż nierówność |x^2+3x+2|-|x-a|\leqslant 3.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejsze z rozwiązań tej nierówności.

 Podaj największą liczbę spełniającą tę nierówność.

 « Funkcja g określona jest wzorem g(x)=\cos\left(\frac{1}{2}\pi+x\right)+\sin(-x)+1, gdzie x\in\langle \pi,2\pi\rangle. Dla jakich wartości parametru m równanie g(x)=\frac{m-2}{2}-3 ma rozwiązania należące do przedziału \langle \pi,2\pi\rangle?

Podaj najmniejsze możliwe m spełniające warunki zadania.

 Podaj największe możliwe m spełniające warunki zadania.

 Prosta 3x-4y-42=0 jest sieczną okręgu o środku S=(-3,6) i przecina ten okrąg w punktach A i B takich, że |AB|=40.

Oblicz długość promienia tego okręgu.

 « Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m\in\mathbb{R}, dla których równanie x^3+(4m-5)x^2+(4m+3)x=0 ma trzy różne rozwiązania, z których dwa są ujemne. Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów.

Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.