Podgląd arkusza : lo2@cke-2020-04-pr

 Niech L=\log_{\sqrt{3}}{7}\cdot\log_{7}{\sqrt{2}}\cdot\log_{\sqrt{2}}{729}. Wtedy:

 Okrąg o równaniu (x+8)^2+(y-2)^2=900 jest styczny do okręgu o środku S=(32,-7) i promieniu r. Wynika stąd, że:

 Liczba \sqrt{(7-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(5-\sqrt{2})^2} jest równa:

 Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite:

 Oblicz współczynnik kierunkowy a stycznej do wykresu funkcji f(x)=\frac{x^2}{x+5}, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x\neq -5, poprowadzonej w punkcie A=\left(5,\frac{5}{2}\right) tego wykresu.

 W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC o mierze \alpha. Niech |BC|=a, |AC|=b oraz |AB|=c. Wówczas \cos\alpha=\frac{b+c}{k\cdot a}, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą.

Podaj liczbę k.

 Rozwiąż nierówność \sin\left(\frac{\pi}{12}-2\alpha\right)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{12}+2\alpha\right) > \frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{4} w przedziale \left(0,\frac{\pi}{2}\right).

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Ile jest tych przedziałów?

 Najmniejszy z końców tych przedziałów zapisz w postaci a\cdot\pi.
Podaj liczbę a.

 Największy z końców tych przedziałów zapisz w postaci a\cdot\pi.
Podaj liczbę a.

 Ile jest wszystkich liczb naturalnych n=11 cyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru \{0,1,3,5,7\}, których suma jest równa 3.

 Dany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) o równaniach x^2+y^2=3^{35-n}, gdzie n\geqslant 1. Niech P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o_{2k-1} i wewnętrznym okręgiem o_{2k}.

Wzór na pole powierzchni pierścienia P_k można zapisać w postaci S_k=a\cdot \pi\cdot 3^{35-2k}.
Podaj liczbę a.

 Pola powierzchni wszystkich pierścieni tworzą ciąg geometryczny.

Wyznacz iloraz q tego ciągu.

 Suma pól powierzchni wszystkich pierścieni jest równa \frac{3^m}{n}, gdzie m,n\in\mathbb{Z_{+}} i n jest najmniejszą możliwą liczbą całkowitą dodatnią.

Podaj liczby m i n.

 Trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu. Ramię BC ma długość 10, a ramię AD jest wysokością trapezu. Podstawa AB jest 10 razy dłuższa od podstawy CD.

Oblicz długość krótszej podstawy tego trapezu.

 Oblicz wysokość tego trapezu.

 Oblicz pole powierzchni tego trapezu.

 Wierzchołki A i B trójkąta prostokątnego ABC należą do osi Oy układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków AB, BC i CA w punktach – odpowiednio – P=(0,5), Q=(-8, 1) i R=(-9, 8).

Prosta o równaniu y=ax+b jest symetralną odcinka PR.
Podaj współczynniki a i b tej prostej.

 Symetralna cięciwy PQ przecina oś Oy w punkcie A=(0, y_A).

Podaj liczbę y_A.

 Wyznacz współrzędne punktu C.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2-3(m+6)x+(2m+11)(m+7)=0 ma dwa różne rozwiązania.

Podaj największą wartość parametru m, dla której powyższy warunek nie jest spełniony.

 Funkcja f określona jest wzorem f(m)=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}, gdzie x_1 i x_2 są różnymi rozwiązaniami tego równania. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, które nie należą do dziedziny funkcji f.

Spośród wyznaczonych wartości parametru m podaj tę wartość, która należy do zbioru \mathbb{Q}-\mathbb{Z}.

 Rozwiąż nierówność -\frac{9}{4}\lessdot f(m).

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Rozwiąż nierówność f(m)\lessdot \frac{3}{2}.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj w kolejności rosnącej dwa końce liczbowe tych przedziałów, które należą do zbioru \mathbb{Q}-\mathbb{Z}.

 Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości x. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku, przy czym a=32 oraz wysokośc szkieletu h również jest równa 32.

Objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x można zapisać w postaci V(x)=mx^3+nx^2.
Podaj liczby m i n.

 Przedział (0,p\rangle jest dziedziną funkcji V.

Podaj liczbę p.

 Oblicz pochodną funkcji V.

Podaj liczbę V'(1).

 Oblicz pochodną funkcji V, a następnie wyznacz jej miejsce zerowe x_0.

Podaj liczbę x_0.

 Oblicz tę wartość x, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja V osiąga wartość największą.

Oblicz tę największą objętość.