Podgląd arkusza : lo2@cke-2021-05-pr

 Różnica \cos^2375^{\circ}-\sin^2375^{\circ} jest równa:

 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f określonej dla każdej liczby rzeczywistej x: Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f.

 Wielomian W(x)=x^4+256 jest podzielny przez:

 Liczba różnych pierwiastków równania -x+|x-4|=0 jest równa:

 Oblicz granicę g=\lim_{n\to\infty}{\frac{(5n+2)^2-(1-4n)^2}{(4n-1)^2}}.

 Niech \log_{2}{18}=c. Zapisz wyrażenie \frac{4}{c-1} w postaci \log_{a}{b}, gdzie a jest liczbą pierwszą i b\in\mathbb{Z}.

Podaj liczbę b.

 Rozwiąż nierówność \frac{2x+5}{-2-x}\leqslant\frac{8+2x}{5x+15} .

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z wszystkich końców całkowitych tych przedziałów w kolejności rosnącej.

 Podaj największy koniec tych w przedziałów, który jest liczbą wymierną niecałkowitą.

 Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że |BD|=|AE|=\frac{1}{11}|AB|. Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

Pole powierzchni trójkąta ABC jest równe. k\cdot P_{\triangle DBP}, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Podaj liczbę k.

 Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 14, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 12.

 Prosta przechodząca przez punkty A=(-7,-60) i B=(5,36) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O=(0,0).

Zapisz równanie tej prostej w postaci y=ax+b.
Podaj współczynniki a i b.

 Oblicz promień tego okręgu.

 Oblicz współrzędne punktu styczności P=(x_P,y_P).

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian kwadratowy 4x^2-(2m+8)x+m+3 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, spełniające warunek x_1\neq 0 i x_2\neq 0.

Podaj najmniejsze i największe m, dla których powyższy warunek nie jest spełniony.

 Funkcja f określona jest wzorem f(m)=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}-x_1-x_2, gdzie x_1 i x_2 są różnymi pierwiastkami tego trójmianu.

Wyznacz wzór funkcji f. Podaj wartość tej funkcji dla argumentu m=0.

 Wyznacz zbiór wszystkich wartości m, które spełniają nierówność f(m)\geqslant 0.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj liczbę tych przedziałów oraz najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Rozwiąż równanie \cos{2x}=\sqrt{3}\cdot (\cos x-\sin x) w przedziale (0,\pi).

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 4 i jest o 37 krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Oblicz iloczyn długości przyprostokątnych tego trójkata.

 Oblicz sinus większego z kątów ostrych tego trójkąta.

 Dane są parabola o równaniu y=x^2+4 oraz punkty A=(0,6) i B=(1,7) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C należy na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.

Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.

Funkcja ta określona jest wzorem P(m)=\frac{1}{2}\left|m^2+bm+c\right|.
Podaj liczby b i c.

 Prosta k: y=ax+b jest prostopadła do odcinka AB i przechodzi przez punkt B.

Podaj współczynniki a i b tej prostej.

 Niech punkt C należący do paraboli ma współrzędne C=(m, m^2+4). Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta prostopadła do odcinka AB przechodzi przez punkt C.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj największy z końców całkowitych tych przedziałów.

 Podaj największy z końców tych przedziałów.

 Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 343. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 20. Całkowity koszt C wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

10 zł za 1 m² dna,

5 zł za 1 m² ściany bocznej.

Funkcję C można określić za pomocą wzoru C(x)=10x^2+\frac{a}{x}, gdzie x jest długością krawędzi dna zbiornika.
Podaj liczbę a.

 Oblicz pochodną funkcji C i podaj jej wartość w x=1.

 Wyznacz wymiary tego zbiornika, którego koszt wykonania jest najmniejszy możliwy.

Podaj długość krawędzi dna.

 Podaj wysokość tego zbiornika oraz koszt jego wykonania.