Podgląd arkusza : lo2@cke-2021-06-pr

 Wartość wyrażenia \left((\sqrt{11}-1)^2-(\sqrt{11}+1)^2\right)^3 jest równa:

 Granice \lim_{n\to\infty}{\frac{an^2+45bn+2}{n+1}} i \lim_{n\to\infty}{\frac{n+4}{an^2+5bn+8}} są równe. Wynika z tego, że:

 Wektory \vec{a}=[m-3,m+3] oraz \vec{b}=\left[m\sqrt{m},3\sqrt{2}\right] mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy:

 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji f określonej dla każdej liczby rzeczywistej x. Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f.

 Wynikiem dzielenia wielomianu x^3+3x^2+0x-2 przez dwumian x+1 jest trójmian kwadratowy postaci ax^2+bx+c.

Podaj współczynniki tego trójmianiu.

 Niech \log_{2}{36}=c. Zapisz wyrażenie \frac{2c+4}{c} w postaci \log_{6}{a}.

Podaj liczbę a.

 Dany jest trójkąt ABC. Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D, E i F tak, że |AD|=|DE|=|EF|=5\cdot|FB|. Na bokach AC i BC obrano – odpowiednio – punkty G i H tak, że DG\parallel EC oraz FH\parallel EC (zobacz rysunek).

Niech pole trójkąta FBH będzie równe S. Zapisz pole trójkąta ADG w postaci k\cdot S.
Podaj liczbę k.

 Rozwiąż równanie 2\cos^2{x}+\sqrt{3}\cos{x}=\sin{2x}+\sqrt{3}\sin{x} w przedziale (0,2\pi).

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Dane są prosta k o równaniu x-2y-\frac{48}{5}=0 i prosta l o równaniu 2x+y-\frac{6}{5}=0. Punkt P leży na prostej o równaniu y=x-\frac{9}{5}. Odległość punktu P od prostej k jest dwa razy większa niż odległość punktu P od prostej l. Oblicz współrzędne punktu P.

Podaj współrzędne tego punktu P, który ma mniejszą odciętą.

 Podaj współrzędne tego punktu P, który ma większą odciętą.

 Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 2. Punkt S dzieli krawędź DH w stosunku |HS|:|SD|=1:3 (zobacz rysunek).

Oblicz długość d najkrótszego boku trójkąta CFS.

 Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta CFS.

 W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe \frac{1}{92}.

Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.

 Wyznacz wszystkie wartości całkowite parametru m, dla których równanie (x-3)(x^2+(m-6)x-6m^2+62m-160)=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Podaj liczbę takich liczb całkowitych m, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie to ma dokładnie trzy rozwiązania.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Zbiór wszystkich końców tych przedziałów zawiera trzy liczby wymierne. Podaj dwie największe z nich w kolejności rosnącej.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie to ma dokładnie dwa rozwiązania.

Podaj najmniejszą możliwą wartość parametru m, dla której spełniony jest powyższy warunek.

 Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=\frac{x^3+k}{x} dla każdej liczby rzeczywistej x\neq 0. Oblicz wartość k, dla której prosta o równaniu y=-x+56 jest styczna do wykresu funkcji f.

Podaj najmniejsze takie k.

 Podaj największe takie k.

 Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD. Bok AD tego czworokąta jest 3 razy dłuższy od boku AB, a przekątna BD ma długość równą 18. Ponadto spełnione są następujące warunki: \cos\sphericalangle ADB=\frac{131}{135}, |\sphericalangle BCD|=90^{\circ} oraz |AB| jest liczbą całkowitą.

Oblicz długość boku AB tego czworokąta.

 Podaj długość krótszej z przyprostokątnych trójkąta BCD.

 Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne ABC o przeciwprostokątnej AB i obwodzie równym 12. Niech x=|AC|.

Pole powierzchni P trójkąta ABC jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem P(x)=\frac{ax-bx^2}{c-x}.
Podaj liczby a, b i c.

 Przedział (a,b) jest dziedziną funkcji P.
Podaj liczby a i b.

 Oblicz pochodną funkcji P i zapisz jej wzór w postaci P'(x)=\frac{ax^2+bx+c}{(12-x)^2}.

Podaj liczby a, b i c.

 Wyznacz wartość x, dla której pole powierzchni trójkąta jest maksymalne.