Podgląd arkusza : lo2@cke-2022-05-pr

 Liczba \log_{5}{\sqrt{25}}+\log_{25}{\sqrt{5}} jest równa:

 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=\frac{x^3+1}{x+1} dla każdej liczby rzeczywistej x\neq -1.

Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu x=\frac{5}{2} jest równa:

 Jeżeli \cos\beta=\frac{1}{3} i \beta\in\left(\frac{3}{2}\pi,2\pi\right), to wartość wyrażenia \sin\left(\beta+\frac{1}{3}\pi\right) jest równa:

 Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn są tylko kule białe i czarne i każda z urn zawiera n=8 kul. W pierwszej urnie jest k_1=5 kul białych, w drugiej urnie jest k_2=4 kul białych. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe:

 Ciąg (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1 wzorem a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p} gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Oblicz wartość p, dla której granica ciągu (a_n) jest równa \frac{7}{13}.

 Rozwiąż równanie |x+1|=2x+19.

Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.

 Punkt P jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD. Długość podstawy CD jest o 5 mniejsza od długości podstawy AB. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym CPD jest o 8 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie APB. Wówczas, spełniony jest warunek: |DP|^2+|CP|^2-|CD|^2=a\cdot|DP|\cdot|CP|.

Wyznacz \sin\sphericalangle APB.

 Wyznacz liczbę a.

 Reszta z dzielenia wielomianu W(x)=4x^3-6x^2-(5m+31)x-2m-12 przez dwumian x+2 jest równa -30.

Oblicz m.

 Dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W(x)\geqslant 0.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten z końców tych przedziałów, który jest liczbą wymierną niecałkowitą.

 Podaj całkowite końce tych przedziałów w kolejności rosnącej.

 Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a_1=675 i a_{22}=\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}. Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1, jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa sumie k=25 początkowych kolejnych wyrazów ciągu (b_n). Ponadto a_3=b_4.

Oblicz iloraz q ciągu (a_n).

 Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (a_n).

 Wyznacz b_1.

 Rozwiąż równanie \sin2x+\sin5x+\sin8x=0 w zbiorze \left(-0, \pi).

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2-(m+2)x+m+1=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 oraz x_2, spełniające warunki: x_1\neq 0, x_2\neq 0.

Podaj najmniejszą i największą wartość całkowitą m, dla których powyższy warunkek nie jest spełniony.

 Funkcja f określona jest wzorem f(m)=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}-\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} dla wszystkich wartości m, dla których równanie ma dwa różne niezerowe rozwiązania.

Zapisz wzór funkcji f w postaci f(m)=\frac{a\cdot m+b}{(m+1)^2}, gdzie a,b\in\mathbb{R}.
Podaj współczynniki a i b.

 Rozwiąż równanie f(m)=2.

Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie tego równania.

 Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH o podstawie prostokątnej ABCD. Przekątne AH i AF ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \alpha takiej, że \sin\alpha=\frac{3}{5} (zobacz rysunek). Pole trójkąta AFH jest równe 27.

Oblicz \cos\alpha.

 Oblicz wysokość H tego graniastosłupa.

 Punkt A=\left(1,\frac{43}{8}\right) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu y=x-\frac{13}{8}.

Oblicz długość boku BC.

 Wyznacz współrzędne punktu C=(x_C, y_C) wiedząc, że x_C > 3.

 Dla wyznaczonego punktu C istnieją dwa punkty B=(x_B,y_B) spełniające warunki zadania.

Podaj rzędne tych punktów w kolejności rosnącej.

 Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 42, których podstawa ma długość a, a ramię długość b.

Pole P każdego z tych trójkątów można wyrazić jako funkcję długości podstawy a, zgodnie z wzorem P(a)=\frac{a\cdot\sqrt{x-y\cdot a}}{4}. Podaj liczby x i y.

 Oblicz pochodną funkcji P i podaj jej wartość dla argumentu a=1.

 Podaj długość podstawy a i ramienia b tego z trójkątów który ma największe pole powierzchni.