Podgląd arkusza : lo2@cke-2022-06-pr

 Wiadomo, że \log_{5}{2}=a i \log_{5}{3}=b.

Wtedy liczba \log_{24}{20} jest równa:

 Granica \lim_{x\to -5} \frac{\frac{1}{2}x^2+\frac{9}{2}x+10}{-x^2-x+20} jest równa:

 Sumą wektorów \vec{a}=\left[4+2m, \frac{2}{3}n-1\right] oraz \vec{b}=\left[n-2, m+3\right] jest wektor \vec{c}=[0,0].

Wynika stąd, że:

 Pole trójkąta ostrokątnego o bokach długości 10 i 13 jest równe 25.

Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa:

 Wśród 400 pracowników pewnej firmy jest 120 kobiet i 280 mężczyzn. Wśród nich w wieku przedemerytalnym jest 29 kobiet i 24 mężczyzn.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym – pod warunkiem że jest kobietą.

 Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych k=8 cyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.

 Rozwiąż nierówność \frac{3x+7}{2x+5} \leqslant \frac{3x+10}{2x+7} .

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z wszystkich końców liczbowych tych przedziałów.

 Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą, które nie spełniają tej nierówności.

 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1, którego iloraz q jest 210 razy mniejszy od pierwszego wyrazu ciągu i spełnia warunek |q|\lessdot 1. Stosunek sumy S_{N} wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy S_{P} wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. \frac{S_{N}}{S_{P}}=S_{N}-S_{P}. Wyznacz iloraz q tego ciągu.

Podaj najmniejszą możliwą wartość q.

 Podaj największą możliwą wartość q.

 Rozwiąż równanie \cos{7x}+\sqrt{3}\sin{7x}+\sqrt{2}=0 w przedziale [0,\pi].

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA_1B_1C_1D_1 jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R=2. Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą rozwartemu kątowi środkowemu o mierze 2\alpha, którego sinus jest równy \sin2\alpha=\frac{24}{25} (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy 6.

Oblicz \sin\sphericalangle BOC.

 Oblicz długość ramienia trapezu ABCD.

 Oblicz pole trapezu ABCD.

 Oblicz objętość tego graniastosłupa.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (x-4)[x^2+(m-1)x+m^2+3m-4]=0 ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 oraz x_3.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten koniec przedziału, który jest liczbą całkowitą oraz ten koniec, który jest liczbą wymierną niecałkowitą.

 Funkcja f określona jest wzorem f(m)=x_1\cdot x_2\cdot x_3-x_1^2-x_2^2-x_3^2+16, gdzie x_1, x^2 i x_3 są różnymi rozwiązaniami tego równania.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.

Podaj najmniejsze i największe miejsce zerowe tej funkcji (należące do dziedziny).

 Rozwiąż nierówność f(m) > -5m-45, gdzie m\in D_f.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców całkowitych tych przedziałów.

 Podaj ten z końców tych przedziałów, który jest liczbą niewymierną.

 Dane są okrąg o_1 o równaniu (x-11)^2+(y-5)^2=98 oraz okrąg o_1 o promieniu 2\sqrt{5}. Środki okręgów o_1 i o_2 leżą po różnych stronach prostej k o równaniu y=-3x+10, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej k.

Wyznacz współrzędne punktów A i B wspólnych prostej k i obu okręgów.
Podaj współrzędne tego z punktów, który ma obie współrzędne całkowite.

 Podaj współrzędne drugiego z tych punktów.

 Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej k i zawiera środek okręgu o_1.

Podaj współczynnik b w równaniu tej prostej.

 Wyznacz środek S=(x_S,y_S) okręgu o_2.

 Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne ABC (|AC|=|BC|), na których opisano okrąg o promieniu R=\frac{3}{7}. Niech x oznacza odległość środka tego okręgu od podstawy AB trójkąta.

Pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości x, wyraża się wzorem P(x)=(x+a)\cdot\sqrt{b-x^2}, gdzie x\in D_P.

Podaj liczby a i b.

 Przekształć wzór funkcji P do postaci P(x)=\sqrt{W(x)}, gdzie W(x) jest pewnym wielomianem stopnia czwartego.

Podaj sumę współczynników tego wielomianu

 Liczba x=-\frac{3}{7} jest pierwiastkiem wielomianu W'(x) rozpatrywanego w całym zbiorze \mathbb{R}. Znajdź pierwiastek tego wielomianu w jego dziedzinie, czyli zbiorze D_P.

Podaj ten pierwiastek.

 Jakie pole powierzchni ma trójkąt o największym polu powierzchni?