Podgląd testu : lo2@cke-2022-07-pr

 Dane są liczby a=\log_{8}{11} oraz b=\log_{11}{10}. Liczbę \log_{64}{100^{3}} zapisz w postaci m\cdot a\cdot b.

Podaj liczbę m.

 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=\frac{x^2+2x-4}{x-2} dla każdej liczby rzeczywistej x\neq 2.

Oblicz pochodną funkcji f i podaj jej wartość w x=5.

 Prosta o równaniu y=ax+b jest styczną do wykresu funkcji f w punkcie P=(-2,1).

Podaj współczynniki a i b.

 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa 7, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8. Wyznacz wszystkie wartości n, dla których spełniona jest nierówność \left|\frac{S-S_n}{S_n}\right|\lessdot \frac{1}{1024}, gdzie S_n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (a_n).

Podaj najmniejszą możliwą wartość n, która spełnia tę nierówność.

 Dane jest równanie (x-6)[(m+5)x^2-4(m+10)x+m+8]=0 z niewiadomą x i parametrem m\in\mathbb{R}.

Podaj najmniejsze i największe m, dla których równanie to ma dokładnie dwa różne rozwiązania.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma trzy różne rozwiązania.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj w kolejności rosnącej dwa końce liczbowe tych przedziałów, które są różne od siebie i są różne od liczb podanych w podpunkcie pierwszym.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma trzy różne rozwiązania dodatnie.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich końców liczbowych tych przedziałów (jeśli jakiś koniec przedziału się powtarza, należy go liczyć dwukrotnie).

 Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek). Funkcje f oraz g są określone wzorami f(x)=x^2 oraz g(x)=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+6. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P=(-1,1).
Niech R będzie punktem leżącym na wykresie funkcji g. Odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem H(x)=|PR|=\frac{1}{8}\sqrt{16x^4-32x^3+ax^2+bx+1585}, gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R.

Podaj liczbya i b.

 Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu K=(x_K, y_K), w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca K toru od początku P) była możliwie największa.
W tym celu zbadaj funkcję pomocniczą h(x)=16x^4-32x^3+ax^2+bx+1585, gdzie a i b są współczynnikami wyznaczonymi w punkcie pierwszym.

Pochodna funkcji h rozpatrywana w zbiorze \mathbb{R} ma miejsce zerowe x_0, które jest liczbą wymierną.
Podaj liczbę x_0.

 Funkcja h rozpatrywna w dziedzinie funkcji H przyjmuje wartość największą w punkcie x_{max}, który jest liczbą niewymierną.

Podaj liczbę x_{max}.

 Rozwiąż równanie \sin{21x}=2\sin{7x} w przedziale (0,2\pi).

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Rozwiąż równanie \sin{21x}=2\sin{7x} w przedziale (0,2\pi).

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Dany jest trapez równoramienny ABCD o obwodzie l i podstawach AB oraz CD takich, że |AB|> |CD|. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a wysokość CE trapezu ma długość h (zobacz rysunek).

Sinus kąta \alpha jest równy \sin\alpha=\frac{a\cdot h}{l}.
Podaj liczbę a.

 Długość promienia R okręgu opisanego na tym trapezie wyraża się wzorem R=\frac{l\cdot\sqrt{a\cdot h^2+l^2}}{b\cdot h}.

Podaj liczby a i b.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt A=(12,14) jest wierzchołkiem trójkąta ABC (odwrotnie do ruchu wskazówek zegara). Prosta k o równaniu y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} zawiera dwusieczną kąta ABC tego trójkąta. Okrąg \mathcal{O} o równaniu (x-11)^2+(y-6)^2=16 jest wpisany w ten trójkąt.

Oblicz współrzędne punktu B=(x_B, y_B).

 Prosta o równaniu 12x+by+c=0 zawiera bok AC tego trójkąta.

Podaj współczynniki b i c.

 Wyznacz współrzędne punktu C=(x_C,y_C).

 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD i polu powierzchni bocznej równym 4. Wysokości sąsiednich ścian bocznych są ramionami trójkąta równoramiennego, którego cosinus kąta przy podstawie jest równy \frac{16}{25}.

Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość równą \frac{m}{\sqrt[4]{8}}.
Podaj liczbę m.

 Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \frac{m}{\sqrt[4]{2}}.
Podaj liczbę m.

 Objętość tego ostrosłupa jest równa \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot m.

Podaj liczbę m.

 Egzamin składa się z 7 zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano 4 odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli udzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej 5 zadaniach. Pewien student przystąpił nieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź. Przyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo prawdopodobny.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student odpowiedział na wszystkie pytania.

 Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.