Podgląd arkusza : lo2@cke-2022-09-pp

 Wartość wyrażenia \left(1+5\cdot 2^{-1}\right)^{-3} jest równa:

 Wartość wyrażenia 2\log_{3}{3}+5-\log_{3}{3^4} jest równa:

 Wszystkich różnych liczb naturalnych pięciocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez 25, jest:

 Dla każdej liczby rzeczywistej x\neq 1 wyrażenie \frac{7}{x-1}-8 jest równe:

 Dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y wyrażenie 49-(x^2+2xy+y^2) jest równe:

 Rozwiąż równanie 6x^3-30x^2-54x+270=0.

Podaj najmniejsze rozwiązanie rozwiązanie tego równania.

 Podaj pozostałe dwa rozwiązania tego równania w kolejności rosnącej.

 Równanie \frac{(x^2+8x)(x+3)(x-8)}{x^2-64}=0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:

 Zbiór (-\infty, -3)\cup(13,+\infty) jest rozwiązaniem nierówności:

 Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę 7860 zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach 20 zł, 50 zł oraz 100 zł. Banknotów 100-złotowych było 6 razy więcej niż 50-złotowych, a banknotów 20-złotowych było o 9 mniej niż 50-złotowych. Niech x oznacza liczbę banknotów 50-złotowych, a y – liczbę banknotów 20-złotowych, które otrzymał ten klient.

Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb x i y to:

 Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono wykres funkcji f określonej dla każdego x\in[-5,4). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych:

Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru wartości funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x)+6.

 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

 Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale [-4, -1] jest równa:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są: punkt A=(1,-3) oraz okrąg o równaniu (x+1)^2+(y+4)^2=25.

Odległość punktu A od środka tego okręgu jest równa:

 Basen ma długość 25\ m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa \frac{13}{10}\ m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku. Głębokość y basenu zmienia się wraz z odległością x od brzegu w sposób opisany funkcją: y=\left{\begin{cases}ax+b;\ 0\leqslant x\leqslant 15\ m\\0,18x-0,9;\ 15\ m\leqslant x\leqslant 25\ m\end{cases}. Odległość x jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości x i y są wyrażone w metrach.

Największa głębokość basenu jest równa:

 Oblicz wartość współczynnika a i wartość współczynnika b.

 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-(x+6)^2+5.

Wykresem funkcji f jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne:

 Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:

 Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=\frac{2^n}{22} dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Wyraz numer 66 ciągu (a_n) jest równy:

 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń:

 Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dana jest prosta k o równaniu y=3x+b, przechodząca przez punkt A=(4,6). Współczynnik b w równaniu tej prostej jest równy:

 Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=3n-6 dla każdej liczby naturalnej n \geqslant 1.

Ciąg (a_n) jest:

 Odpowiedź powyższa jest poprawna, ponieważ:

 Najmniejszą wartością n, dla której wyraz a_n jest większy od 66, jest:

 Suma n początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa 357 dla n równego:

 Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dane są:

• prosta k o równaniu y=-6x+7,
• prosta l o równaniu y-5=\frac{1}{6}x.

Proste k i l:

 Wartość wyrażenia \left(4-\cos{54}^{\circ}\right)\cdot\left(4+\cos{54}^{\circ}\right)-\sin^2{54}^{\circ} jest równa:

 W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy 2:9. Z pojemnika losujemy jedną kulę.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:

 Punkty A, B oraz C należą do okręgu o środku w punkcie O. Kąt ABO ma miarę 40^{\circ}, a kąt OBC ma miarę 6^{\circ} (zobacz rysunek).

Miara kąta ACO jest równa:

 Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 21, 22 oraz 23.

Oblicz cosinus największego kąta \alpha tego trójkąta.

 W trójkącie ABC bok AB ma długość 3,0, a bok BC ma długość 5,0. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC w punkcie D takim, że |AD|=3,9 (zobacz rysunek).

Odcinek CD ma długość:

 Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:

przychód P (w złotych) z tygodniowej sprzedaży x wiatraków można opisać funkcją P(x)=242x,

koszt K (w złotych) produkcji x wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją K(x)=x^2+32x+246
Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej n=208 wiatraków.

Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy.

 Ile wynosi ten największy zysk?

 Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:

 Firma \mathcal{F} zatrudnia 160 osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram, przy czym płaca x dwudziestu osób w tej firmie wynosi x=5800 zł.

Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy \mathcal{F}, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

Średnia miesięczna płaca brutto w firmie \mathcal{F} jest równa:

 Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy \mathcal{F} jest równa:

 Liczba pracowników firmy \mathcal{F}, których miesięczna płaca brutto nie przewyższa kwoty 5700 zł, stanowi (w zaokrągleniu do 1%):

 Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość 2\sqrt{3}, a każda jego krawędź boczna ma długość 10.

Oblicz wysokość tego ostrosłupa.