Podgląd arkusza : lo2@cke-2022-12-pp

 Liczba \left(3^{4}\cdot 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{9}} jest równa:

 Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za 40000 zł oprocentowane 5\% w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok.

Wartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po n=2 latach równa:

 Właściciel sklepu kupił w hurtowni 30 par identycznych spodni po x zł za parę i 70 identycznych marynarek po y zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił 6400 zł. Po doliczeniu marży 30\% na każdą parę spodni i 90\% na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe.

Cenę pary spodni x oraz cenę marynarki y, jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań:

 Liczby rzeczywiste x i y są dodatnie oraz x\neq y.

Wyrażenie \frac{3}{x-y}+\frac{6}{x+y} można przekształcić do postaci:

 Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są różne, jest:

 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=-\log{x}, dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x.

Wartość funkcji f dla argumentu x=\sqrt[9]{10^{7}} jest równa:

 Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f określonej wzorem f(x)=ax^2+bx+c ma współrzędne (3, -48). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych ma współrzędne (-1, 0).

Zbiór wszystkich wartości funkcji f jest przedziałem postaci:

 Podaj liczbę d.

 Zapisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej f(x)=a(x-p)^2+q.

Podaj współczynnik a.

 Podaj liczby p i q.

 Dana jest nierówność kwadratowa (3x+15)(x-k)\lessdot 0 z niewiadomą x i parametrem k\in\mathbb{R}. Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział (-6,-5).

Liczba k jest równa:

 Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+c, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi takimi, że a\neq 0 oraz c\lessdot 0. Funkcja f nie ma miejsc zerowych.

Wykres funkcji f leży w całości:

 Powyższa odpowiedź jest poprawna, ponieważ:

 Dany jest układ równań \begin{cases}y=x+1\\y=-x-1\end{cases}.

Na którym z rysunków przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań?

 Dany jest wielomian W(x) określony wzorem W(x)=x^3-4x^2+3x-12 dla każdej liczby rzeczywistej. x.

Wielomian W(x) przy rozkładzie na czynniki ma postać:

 Równanie \frac{(6-x)(-3x+3)}{(-4x-6)(-3+3x)}=0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:

 Dana jest nierówność 3-\frac{x}{2}\geqslant \frac{x}{3}+4.

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność jest:

 Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=2n^2+2n dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń:

 Pięciowyrazowy ciąg \left(-4,-\frac{13}{2},x,y,-14\right) jest arytmetyczny.

Liczby x i y są równe:

 Dany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. W tym ciągu a_1=-5, a_2=15 a_3=-45.

Wzór ogólny ciągu (a_n) ma postać:

 Kąt \alpha jest ostry oraz \frac{1}{\sin^2\alpha}+\frac{1}{\cos^2\alpha}=\frac{49}{10}.

Wartość wyrażenia \sin\alpha\cdot\cos\alpha równa:

 Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Ponadto|\sphericalangle BOA}|=104^{\circ}.

Miara kąta CAB jest równa:

 Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości 180 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).

Wyznacz dłuższy bok tego kąpieliska, którego powierzchnia jest największa możliwa.

 Wyznacz krótszy bok tego kąpieliska, którego powierzchnia jest największa możliwa.

 Dany jest kwadrat ABCD o boku długości \frac{9}{2}. Z wierzchołka A zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).

Pole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe:

 Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto |AD|=2, |OD|=|BC|=\frac{13}{2}. Kąty ODA i BCO są proste (zobacz rysunek).

Długość odcinka OC jest równa:

 Przekątne równoległoboku ABCD mają długość: |AC|=48, oraz |BD|=36, Wierzchołki E, F𝐹, G oraz H rombu EFGH leżą na bokach równoległoboku ABCD. Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku (zobacz rysunek).

Oblicz długość boku rombu EFGH.

Oblicz długość odcinka BF.

 Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC|=4, |AB|=5 \cos\sphericalangle BAC=\frac{7}{25}.

Oblicz pole trójkąta ABC.

 Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF o polu równym 49\sqrt{3} (zobacz rysunek).

Pole trójkąta ABE jest równe:

 Długość odcinka AE jest równa:

 Dany jest trapez ABCD, w którym AB\paralel CD oraz przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O (zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa 8. Obwód trójkąta ABO jest równy 32, a obwód trójkąta CDO jest równy 8.

Wysokość trójkąta ABO poprowadzona z punktu O jest równa:

 Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dany jest okrąg \mathcal{O} o równaniu (x-10)^2+(y-10)^2=181.

Okrąg \mathcal{O} przecina oś Oy w punktach o współrzędnych:

 Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dane są proste k oraz l o równaniach k:y=-3x+3 i l:y=\frac{1}{3}x-5.

Proste k oraz l:

 Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są punkty A=(1,2) i B=(2m,m), gdzie m jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta k o równaniu y=-\frac{5}{2}x-1.

Prosta przechodząca przez punkty A i B jest równoległa do prostej k, gdy:

 Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 3. Wierzchołki podstawy ABCD sześcianu połączono odcinkami z punktem W, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy EFGH. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDW (zobacz rysunek).

Objętość V ostrosłupa ABCDW jest równa:

 Oblicz cosinus kąta \alpha nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

 Dany jest sześcian \mathcal{F} o krawędzi długości a i objętości V oraz sześcian \mathcal{G} o krawędzi długości 3a.

Objętość sześcianu \mathcal{G} jest równa:

 Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest 7:3. Zakupiono jeden los z tej loterii.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zakupiony los jest wygrywający jest równe:

 W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic:

  • w 1 donicy – 131 nasiona
  • w 2 donicy – 125 nasion
  • w 3 donicy – 144 nasion
  • w 4 donicy – 127 nasion
  • w 5 donicy – 143 nasion

Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe \sigma=8.0.

Podaj w kolejności rosnącej numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale \langle \overline{x}-\sigma,\overline{x}+\sigma\rangle.