Podgląd testu : lo2@cke-2023-05-pr

 W chwili początkowej (t=0) masa substancji jest równa 6 gram. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 20\% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t\geqslant 0 funkcja m(t) określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji m(t).

Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.

 Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe \frac{2}{3}.

Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka wszystkich partii.

 Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii.

 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=\frac{3x^2+22x+40}{x^2+10x+32} dla każdej liczby rzeczywistej x. Punkt P=(x_0, 3) należy do wykresu funkcji f.

Oblicz x_0.

 Wyznacz równanie stycznej y=ax+b do wykresu funkcji f w punkcie P.

Podaj współczynniki a i b.

 Liczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie równanie x+y=12 i nierówność x^3-x^2y\leqslant xy^2-y^3. Wyznacz liczby x i y.

Podaj największe możliwe x i największe możliwe y spełniające warunki zadania.

 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |\sphericalangle ABC|=90^{\circ} oraz |\sphericalangle CAB|=60^{\circ}. Punkty K i L leżą na bokach – odpowiednio – AB i BC tak, że |BK|=|BL|=4 (zobacz rysunek). Odcinek KL przecina wysokość BD tego trójkąta w punkcie N, a ponadto |AD|=15.

Oblicz, |ND|.

 Rozwiąż równanie 4\sin(5x)\cos(7x)=2\sin(12x)+1 w przedziale [0, \pi].

Liczby x_{min}\cdot\pi oraz x_{max}\cdot\pi są odpowiednio najmniejszym i największym rozwiązaniem tego równania w przedziale [0, \pi].

Podaj x_{min} oraz x_{max}.

 Dany jest sześcianABCDEFGH o krawędzi długości 20. Punkt S jest punktem przecięcia przekątnych AH i DE ściany bocznej ADHE (zobacz rysunek).

Oblicz |SB|.

 Oblicz \cos\sphericalangle HSB.

 Oblicz wysokość trójkąta SBH poprowadzoną z punktu S na bok BH tego trójkąta.

 Czworokąt ABCD, w którym |BC|=20\sqrt{3} i |CD|=25\sqrt{3}, jest opisany na okręgu. Przekątna AC tego czworokąta tworzy z bokiem BC kąt o mierze 60^{\circ}, natomiast z bokiem AB – kąt ostry, którego sinus jest równy \frac{1}{4}.

Oblicz obwód czworokąta ABCD.

 Rozwiąż nierówność \sqrt{x^2+14x+49}\lessdot \frac{25}{3}-\sqrt{x^2+4x+4}.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Określamy kwadraty K_1, K_2, K_3,... następująco:

K_1 jest kwadratem o boku długości a,

K_2jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_1 i dzieli ten bok w stosunku 1:8

K_3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_2 i dzieli ten bok w stosunku 1:8 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 2:

K_n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_{n-1} i dzieli ten bok w stosunku 1:8

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej:

Wyznacz iloraz tego ciągu.

 Przyjmując, że a=5, oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m\neq -2, dla których równanie x^2+4x-\frac{m+1}{m+2}=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m\neq -2, dla których równanie to ma dwa różne rozwiązania x_1, x_2 spełniające warunek x_1^3+x_2^3>-28.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x^4-\frac{32}{3}x^3+ \underbrace{\frac{10\cdot\log_{11}{\sqrt[10]{5^{7}}}\cdot\log_{5}{11}}{7}}_{a_2} \cdot x^2-342x, dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x.

Oblicz wartość współczynnika a_2 stojącego przy kwadracie niewiadomej x.

 Oblicz pochodną f', a następnie wyznacz jej wartość w jedynce.

 Wyznacz ilość miejsc zerowych pochodnej oraz największe z tych miejsc zerowych.

 Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) prosta l o równaniu x-y-11=0 przecina parabolę o równaniu y=4x^2-47x+132 w punktach A oraz B. Odcinek AB jest średnicą okręgu \mathcal{O}. Punkt C leży na okręgu \mathcal{O} nad prostąl, a kąt BAC jest ostry i ma miarę \alpha taką, że \tan\alpha=\frac{1}{3} (zobacz rysunek).

Wyznacz współrzędne punktów A=(x_A, y_A) i B=(x_B, y_B) przy czym x_A\lessdot x_B.

Podaj współrzędne punktu A.

 Podaj współrzędne punktu B.

 Wyznacz równanie prostej AC: y=ax+b.

Podaj współczynniki a i b.

 Wyznacz równanie prostej BC: y=mx+n.

Podaj współczynniki m i n.

 Wyznacz współrzędne punktu C=(x_C, y_C).