Podgląd arkusza : lo2@cke-2023-06-pp

 Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność |x+6|\lessdot 13 jest:

 Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x iloczyn \sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[4]{x} jest równy:

 Klient wpłacił do banku 24000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 4\% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa:

 Liczba \log_{3}{\frac{1}{9}}+\log_{3}{27} jest równa:

 Liczba (1+\sqrt{8})^2-(1-\sqrt{8})^2 jest równa:

 Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 i -3 wyrażenie \frac{x^2-2x}{(x-3)^2}\cdot\frac{x-3}{x} jest równe:

 Rozwiąż nierówność x(4x-3)\lessdot 4x.

Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Rozwiąż równanie x^3+4x^2-2x-8=0.

Podaj rozwiązanie tego równania, które jest liczba całkowitą.

 Podaj rozwiązanie ujemne, które nie jest liczba całkowitą.

 Podaj rozwiązanie dodatnie, które nie jest liczba całkowitą.

 Równanie \frac{(x^2-x)(x-2)}{x^2-4}=0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

 Wykresy funkcji liniowych f(x)=(-m-2)x+2 oraz g(x)=-x nie mają punktów wspólnych dla:

 Do prostej o równaniu y=ax+b należą punkty A=(-6,2) oraz B=(1,6).

Współczynnik a w równaniu tej prostej jest równy:

 Dana jest funkcja y=f(x), której wykres pokazano na rysunku:

Dziedziną funkcji f jest zbiór:

 Zbiorem wartości funkcji f jest zbiór:

 Zbiór A jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)\lessdot -1.

Podaj najmniejszą i największą liczbę całkowitą należącą do zbioru A.

 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=ax^2+bx+1, gdzie a oraz b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że a\lessdot 0 i b > 0.

Fragment wykresu funkcji f przedstawiono na rysunku:

 Masa m leku L zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą: m(t)=m_0\cdot(0,6)^{0,25t}, gdzie:

m_0 – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili t=0 dawki leku,
t – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu t=0 zażycia leku.

Chory przyjął jednorazowo lek L w dawce 125 mg. Oblicz, ile mg leku L pozostanie w organizmie chorego po 12 godzinach od momentu przyjęcia dawki.

 Liczby m\left(\frac{15}{2}\right), m\left(\frac{23}{2}\right) i m\left(\frac{31}{2}\right) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

Wyznacz iloraz tego ciągu.

 Ciąg \left(a_n\right) jest określony wzorem a_n=\frac{n-5}{3}, dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 24 jest równa:

 Trzywyrazowy ciąg (2,6,a+3) jest arytmetyczny.

Liczba a jest równa:

 Ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. W tym ciągu a_1=2.75 oraz a_2=-11.00.

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa:

 Dla każdego kąta ostrego \alpha wyrażenie -2\cos\alpha+2\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha jest równe:

 Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary 30^{\circ}, 45^{\circ} oraz 105^{\circ}. Długości boków tego trójkąta są równe: |AB|=c, |BC|=4b i |AC|=2a.

Oceń, które z podanych wyrażeń poprawnie określają pole tego trójkąta:

 Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku S. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Prosta l przecina ten okrąg w punktach B i C. Proste k i l przecinają się w punkcie D, przy czym a=9 i b=12 (zobacz rysunek).

Odległość punktu A od prostej l jest równa:

 W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń:

 Na łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC, takie, że \alpha=18^{\circ} i \beta=28^{\circ} (zobacz rysunek).
Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K.

Miara kąta DKC jest równa:

 Pole trójkąta równobocznego T_1 jest równe \frac{(1.5)^2\sqrt{3}}{4}. Pole trójkąta równobocznego T_2 jest równe \frac{(4.5)^2\sqrt{3}}{4}.

Trójkąt T_2 jest podobny do trójkąta T_1 w skali:

 Oceń, które z podanych zdań poprawnie uzasadniają powyższą odpowiedź:

 Pole równoległoboku ABCD jest równe 84\sqrt{6}. Bok AD tego równoległoboku ma długość 12, a kąt ABC równoległoboku ma miarę 135^{\circ} (zobacz rysunek).

Długość boku AB jest równa:

 Funkcja liniowaf jest określona wzorem f(x)=-x-2. Funkcja g jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) do wykresu funkcji g należy punkt P=(-2,1) i prosta będąca jej wykresem jest prostopadła do wykresu funkcji f.

Wzorem funkcji g jest:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A=(-2,3) oraz C=(0,-1) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD.

Pole powierzchni kwadratu ABCD jest równe:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są punkty A=(0,5) oraz P=(2,-1). Punkt P dzieli odcinek AB tak, że |AP|:|PB|=1:3.

Punkt B ma współrzędne:

 Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku długości 14. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 6 i jest prostopadła do płaszczyzny jego podstawy.

Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

 Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy:

 Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFA'B'C'D'E'F', w którym krawędź podstawy ma długość 6. Przekątna AD' tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem D'AD o mierze 30^{\circ} (zobacz rysunek).

Pole powierzchni ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe:

 Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest

 Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych \{1,2,3,4,5,6,7\} losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8.

Oblicz \overline{\overline{\Omega}} oraz prawdopodobieństwo zdarzenia A.

 Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długość |AB|=360 m i |CD|=80 m. Wysokość trapezu jest równa 80 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre.

Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe – E oraz F – na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Wskazówka: Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu ABCD jest sumą pól trapezów ABFE oraz EFCD: P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}.

 Wyznacz tę największą powierzchnię.