Dane są liczby:
a=9^{\log_{3}{5}} oraz
b=\frac{\log_{5}{2030}}{\log_{125}{2030}}.
Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
a=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
Podaj liczbę b.
Odpowiedź:
b=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 2.(3 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21161
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Wśród n osób są Ania i jej m=2 znajomych. Wszystkie te
n osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą.
Liczba wszystkich takich ustawień jest 7 razy większa
od liczby wszystkich takich ustawień tych n osób w kolejkę,
w których Ania i jej wszyscy znajomi zajmują m+1 kolejnych miejsc (w dowolnej kolejności)
w tej kolejce.
Na ile sposobów można ustawić wszystkie te osoby w kolejce.
Odpowiedź:
ile=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 2.2 (2 pkt)
Wyznacz liczbę n.
Odpowiedź:
n=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 3.(3 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21162
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu
mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe \frac{1}{3}.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w okresie
n=5 dni wystąpi dokładnie jedna taka awaria tej sieci na tym
osiedlu w godzinach porannych.
Odpowiedź:
P(A)=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 3.2 (2 pkt)
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia B polegającego na tym, że w okresie
n=5 dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi
awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych.
Odpowiedź:
P(B)=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 4.(3 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21163
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
f(x)=2x^3+2x^2+7x+5
dla każdego x\in\mathbb{R}. Punkt
P=(x_0, 16) należy do wykresu funkcji f.
Oblicz x_0.
Odpowiedź:
x_0=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 4.2 (2 pkt)
Prosta o równaniu y=ax+b jest styczną do wykresu funkcji
f w punkcie x_0.
Wyznacz współczynniki a i b.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę całkowitą)
b
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 5.(3 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21164
Podpunkt 5.1 (3 pkt)
Dany jest okrąg \mathcal{O}. Przez punkt A
poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –
P oraz Q. Przez punkt B
leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w
punkcie D, która przecięła odcinek AQ
w punkcie C (zobacz rysunek).
Wiadomo, że |AQ|=11\cdot |BP| oraz
|CD|=3\cdot |BD|.
Oblicz |AC|:|BC|.
Odpowiedź:
|AC|:|BC|=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 6.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30883
Podpunkt 6.1 (2 pkt)
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
2(2x-2)-\frac{6(2x-2)}{2x-3}+\frac{18(2x-2)}{(2x-3)^2}-\frac{54(2x-2)}{(2x-3)^3}+....
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od 1
i od \frac{3}{2}), dla których suma tego szeregu istnieje.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców
liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedzi:
min
=
(dwie liczby całkowite)
max
=
(dwie liczby całkowite)
Podpunkt 6.2 (2 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x, dla których suma tego szeregu istnieje
i jest równa \frac{15}{2}.
Podaj największe takie x.
Odpowiedź:
x_{max}=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 7.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20285
Podpunkt 7.1 (2 pkt)
Rozwiąż równanie
\sin 5x+\cos x=0
w zbiorze \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].
Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.
Odpowiedź:
a=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 7.2 (2 pkt)
Ile rozwiązań ma to równanie?
Odpowiedź:
ile=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 8.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-31884
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
W okrąg o równaniu (x+1)^2+(y-1)^2=25
wpisano trójkąt ABC. Bok AB tego
trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4x-3y+7=0,
przy czym rzędna punktu A jest mniejsza od rzędnej punktu B.
Wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB
tak, że |AD|=\frac{1}{4}|DB|.
Wyznacz współrzędne punktu D=(x_D, y_D).
Odpowiedzi:
x_D
=
(dwie liczby całkowite)
y_D
=
(dwie liczby całkowite)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Wyznacz współrzędne punktu C=(x_C, y_C).
Podaj najmniejszą i największą możliwą wartość odciętej x_C.
Odpowiedzi:
MIN_{x_C}
=
(dwie liczby całkowite)
MAX_{x_C}
=
(dwie liczby całkowite)
Podpunkt 8.3 (1 pkt)
Oblicz wysokość trójkąta ABC.
Odpowiedź:
|CD|=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 8.4 (1 pkt)
Oblicz pole trójkąta ABC.
Odpowiedź:
P_{ABC}=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 9.(5 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30885
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
(m-4)x^2-(m-3)x-2m+11=0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania
rzeczywiste.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych
tych przedziałów.
Odpowiedzi:
min
=
(dwie liczby całkowite)
max
=
(dwie liczby całkowite)
Podpunkt 9.2 (2 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem
f(m)=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}, gdzie
x_1 oraz x_2 są różnymi rozwiązaniami tego równania.
Zapisz wzór funkcji f w postaci ilorazu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych, tj.
f(m)=\frac{a_1m^2+b_1m+c_1}{a_2m^2+b_2m+c_2}.
Podaj wartość ułamka \frac{c_1}{c_2}.
Odpowiedź:
\frac{c_1}{c_2}=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 9.3 (1 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie to
ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 oraz x_2,
spełniające warunki: x_1\neq 0, x_2\neq 0 oraz
\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\lessdot 1.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten z końców tych przedziałów, który
jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź:
x_{\in\mathbb{Z}}=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 9.4 (1 pkt)
Podaj ten z końców tych przedziałów, który jest liczbą wymierną niecałkowitą.
Odpowiedź:
x_{\in\mathbb{Q-Z}}=
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 10.(5 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30886
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
Ciąg (a,b,c-2) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach
dodatnich. Ciąg (2a,2b,c-1) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym.
Ponadto spełniony jest warunek c-b=8.
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę całkowitą)
b
=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 10.2 (3 pkt)
Podaj liczbę c.
Odpowiedź:
c=(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 11.(5 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30887
Podpunkt 11.1 (2 pkt)
Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu
36. Kąty BAD i BCD
są proste (zobacz rysunek).
Przekątne AC i BD tego czworokąta
przecinają się w punkcie E tak, że
|BE|=35\cdot |DE| oraz |BD|=2\cdot |AE|.
Oblicz długość boku AB.
Odpowiedź:
|AB|=
\cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Oblicz długość boku AD.
Odpowiedź:
|AD|=
\cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 11.3 (2 pkt)
Oblicz długość boku BC.
Odpowiedź:
|BC|=
\cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Zadanie 12.(6 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30888
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEFGH,
w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych
AC i BD podstawy
ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EFGH
ma długość d (zobacz rysunek).
Przyjmijmy, że |DO|=x. Wyznacz zależność objętości V
graniastosłupa od zmiennej x. Funkcję y=V(x)
zapisz w postaci y=\sqrt{W(x)}, gdzie W(x) jest
wielomianem zmiennej x.
Przyjmując d=10, podaj wartość tego wielomianu w jedynce.
Odpowiedź:
W(1)=(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 12.2 (2 pkt)
Oblicz pochodną funkcji V.
Przyjmując d=10, oblicz V'(1).
Odpowiedź:
V'(1)=
\cdot√
(wpisz trzy liczby całkowite)
Podpunkt 12.3 (2 pkt)
Wyznacz długość odcinka x tego z rozważanych graniastosłupów, którego
objętość jest największa.
Zapisz wynik w postaci x=m\cdot d. Podaj liczbę m.
