Podgląd arkusza : lo2@cke-2023-08-pp

 Dana jest nierówność |x-5| > 2 oraz zbiory zaznaczone na osi liczbowej:

Rozwiązanie tej nierówności pokazano na rysunku:

 Liczba 4\sqrt{75}-\sqrt{147} jest równa:

 Liczba \log_{16}{1}-\frac{1}{2}\log_{16}{4} jest równa:

 Wartość wyrażenia \frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot 9 jest równa:

 Wartość wyrażenia \left(6-\sqrt{6}\right)^2-\left(\sqrt{6}-6\right)^2 jest równa:

 Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 wartość wyrażenia \frac{3}{6x}-x jest równa:

 Równanie \frac{(x^2-2x)(x^2+1)}{x^2-1}=0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

 Rozwiąż równanie 4x^3-2x^2-4x+2=0.

Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie całkowite tego równania.

 Podaj rozwiązanie tego równania, które nie jest liczbą całkowitą.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), punkt (-9,2) jest punktem przecięcia prostych o równaniach:

 Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba -1. Wykres tej funkcji zawiera punkt o współrzędnych (-2,-4).

Wzór funkcji f ma postać

 Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)=\frac{3x-k}{x^2+2} gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(1)=2.

Wartość współczynnika k we wzorze tej funkcji jest równa:

 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x+4)^2-4. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba -2.

Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek).

Funkcja f jest rosnąca w przedziale:

 Zapisz w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości większe od 1.

Uceń, które z podanych liczb należą do tego zbioru:

 Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(-x), dla każdego x\in[-7,-5]\cup[-4,4]\cup[5,7]. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), wykres funkcji y=g(x). Wykres funkcji y=g(x) przedstawiono na rysunku:

 Oceń, które podanych funkcji mają zbiór wartości będący przedziałem (-\infty, 3]:

 Ciąg \left(a_n\right) jest określony wzorem a_n=(-1)^n\cdot\frac{n+5}{2}, dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Trzeci wyraz tego ciągu jest równy:

 Dany jest ciąg geometryczny \left(a_n\right) określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 3, natomiast iloraz tego ciągu jest równy -\frac{1}{3}.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Ciąg \left(3x^2-7x+2,x^2-4x+4,-x^2+4x+16\right) jest arytmetyczny.

Oblicz x.

 Kąt \alpha jest ostry \cos\alpha=\frac{\sqrt{55}}{8}.

Sinus kąta \alpha jest równy:

 Trapez T_1, o polu równym 54 i obwodzie 42, jest podobny do trapezu T_2. Pole powierzchni trapezu T_2 jest równe 6.

Obwód trapezu T_2jest równy:

 Koło ma promień równy 3.

Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym 30^{\circ} jest równy:

 W okręgu \mathcal{O} kąt środkowy \beta oraz kąt wpisany \alpha są oparte na tym samym łuku. Kąt \beta ma miarę o 40^{\circ} większą od kąta \alpha.

Miara kąta \beta jest równa:

 W trójkącie ABC długość boku AC jest równa 5, a długość boku BC jest równa 3. Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D.

Stosunek |AD|:|DB| jest równy:

 Dany jest trapez równoramienny ABCD, w którym podstawa CD ma długość 5, ramię AD ma długość 2\sqrt{2}, a kąty BAD oraz ABC mają miarę 45^{\circ} (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni tego trapezu.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są prosta k o równaniu y=\frac{3}{4}x-\frac{21}{4} oraz punkt P=(10,-6).

Prosta przechodząca przez punkt P i równoległa do prostej k ma równanie:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg \mathcal{O} o środku S=(-2,-7) i promieniu 4.

Okrąg \mathcal{O} jest określony równaniem:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste o równaniach: y=\sqrt{3}x-1, y=-\sqrt{3}x-1 i y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+6, przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta KLM.

Trójkąt KLM jest:

 Powyższa odpowiedź jest prawidłowa, ponieważ:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt A=(3, 1) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Punkt S=(-5,1) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Długość przekątnej AC równoległoboku ABCD jest równa:

 Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 3\sqrt{2}.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:

 Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy tego graniastosłupa.

 Wszystkich liczb naturalnych 4-ciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają jest:

 Ze zbioru liczb \{1,2,3,4,5,6\} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste. Podaj \overline{\overline{\Omega}} i P(A).

 Na diagramie poniżej przedstawiono przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku:

Ilość osób          :      1 |   14 |   11 |   16 |   22 |   36 |
Wynagrodzenie brutto:   4300 | 4500 | 5000 | 6000 | 6800 | 7400 |

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa:

 Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 100 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

przychód P (w złotych) ze sprzedaży x krzeseł można opisać funkcją P(x)=100x,

koszt K (w złotych) produkcji x krzeseł dziennie można opisać funkcją K(x)=3x^2+4x+93.

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

 Oblicz maksymalny zysk zakładu.