Podgląd arkusza : lo2@cke-2023-08-pp

 Dana jest nierówność |x-2| \lessdot 5 oraz zbiory zaznaczone na osi liczbowej:

Rozwiązanie tej nierówności pokazano na rysunku:

 Liczba 2\sqrt{32}-\sqrt{72} jest równa:

 Liczba \log_{49}{1}-\frac{1}{5}\log_{49}{7} jest równa:

 Wartość wyrażenia \frac{5^{-1}}{\left(-\frac{1}{25}\right)^{-2}}\cdot 125 jest równa:

 Wartość wyrażenia \left(3-\sqrt{7}\right)^2+\left(\sqrt{7}-3\right)^2 jest równa:

 Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 wartość wyrażenia \frac{5}{4x}-x jest równa:

 Równanie \frac{(x^2+5x)(x^2+1)}{x^2-9}=0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

 Rozwiąż równanie 8x^3-5x^2-8x+5=0.

Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie całkowite tego równania.

 Podaj rozwiązanie tego równania, które nie jest liczbą całkowitą.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), punkt (-4,4) jest punktem przecięcia prostych o równaniach:

 Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 3. Wykres tej funkcji zawiera punkt o współrzędnych (-3,3).

Wzór funkcji f ma postać

 Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)=\frac{6x-k}{x^2+5} gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(1)=2.

Wartość współczynnika k we wzorze tej funkcji jest równa:

 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x+3)^2-121. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 8.

Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek).

Funkcja f jest rosnąca w przedziale:

 Zapisz w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od 1.

Uceń, które z podanych liczb należą do tego zbioru:

 Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=-f(x), dla każdego x\in[-7,-5]\cup[-4,4]\cup[5,7]. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), wykres funkcji y=g(x): Wykres funkcji y=g(x) przedstawiono na rysunku:

 Oceń, które podanych funkcji mają zbiór wartości będący przedziałem (-\infty, 6]:

 Ciąg \left(a_n\right) jest określony wzorem a_n=(-1)^n\cdot\frac{n+12}{3}, dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1.

Trzeci wyraz tego ciągu jest równy:

 Dany jest ciąg geometryczny \left(a_n\right) określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 16, natomiast iloraz tego ciągu jest równy -\frac{1}{4}.

Oceń prawdziwość poniższych zdań:

 Ciąg \left(3x^2+41x+138,x^2+12x+36,-x^2-12x-16\right) jest arytmetyczny.

Oblicz x.

 Kąt \alpha jest ostry \cos\alpha=\frac{2\sqrt{10}}{7}.

Sinus kąta \alpha jest równy:

 Trapez T_1, o polu równym 432 i obwodzie 114, jest podobny do trapezu T_2. Pole powierzchni trapezu T_2 jest równe 12.

Obwód trapezu T_2jest równy:

 Koło ma promień równy 5.

Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym 45^{\circ} jest równy:

 W okręgu \mathcal{O} kąt środkowy \beta oraz kąt wpisany \alpha są oparte na tym samym łuku. Kąt \beta ma miarę o 76^{\circ} większą od kąta \alpha.

Miara kąta \beta jest równa:

 W trójkącie ABC długość boku AC jest równa 11, a długość boku BC jest równa 6. Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D.

Stosunek |AD|:|DB| jest równy:

 Dany jest trapez równoramienny ABCD, w którym podstawa CD ma długość 9, ramię AD ma długość 5, a kąty BAD oraz ABC mają miarę 60^{\circ} (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni tego trapezu.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są prosta k o równaniu y=\frac{3}{4}x-\frac{37}{4} oraz punkt P=(18,-4).

Prosta przechodząca przez punkt P i równoległa do prostej k ma równanie:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg \mathcal{O} o środku S=(8,-1) i promieniu 7.

Okrąg \mathcal{O} jest określony równaniem:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste o równaniach: y=\sqrt{2}x+4, y=-\sqrt{2}x+4 i y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+2, przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta KLM.

Trójkąt KLM jest:

 Powyższa odpowiedź jest prawidłowa, ponieważ:

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt A=(2, -3) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Punkt S=(4,3) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Długość przekątnej AC równoległoboku ABCD jest równa:

 Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 5\sqrt{3}.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:

 Oblicz sinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy tego graniastosłupa.

 Wszystkich liczb naturalnych 6-ciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry mogą się powtarzać jest:

 Ze zbioru liczb \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste. Podaj \overline{\overline{\Omega}} i P(A).

 Na diagramie poniżej przedstawiono przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku:

Ilość osób          :     11 |    8 |   18 |    7 |   23 |   33 |
Wynagrodzenie brutto:   4900 | 5400 | 6400 | 6700 | 7500 | 8400 |

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa:

 Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 194 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

przychód P (w złotych) ze sprzedaży x krzeseł można opisać funkcją P(x)=194x,

koszt K (w złotych) produkcji x krzeseł dziennie można opisać funkcją K(x)=5x^2+4x+185.

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

 Oblicz maksymalny zysk zakładu.