Podgląd arkusza : lo2@cke-2024-05-pr

 W chwili początkowej (t=0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 71^{\circ}C. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa 23^{\circ}C. Temperatura T tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością T(t)=(T_p-T_z)\cdot k^{-t}+T_z dla t\geqslant 0 gdzie:

• T – temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
• t – czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
• T_p – temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
• T_z – temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
• k – stała charakterystyczna dla danej cieczy.

Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury 55^{\circ}C.

Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach.

 Oblicz granicę \lim_{x\leftarrow 4+}{\frac{x^3-64}{(x-4)^2}}.

Jeżeli granica jest równa:

• -\infty, to wpisz -1000
• +\infty, to wpisz 1000
• wartości liczbowej, to wpisz tę granicę

 W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż 36\% tłuszczu, jest równe 0.06. Kontroli poddajemy 8 losowo wybranych opakowań ze śmietaną.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli żadne z opakowań nie będzie wadliwe. Wynik zapisz z dokładnością do jednej tysięcznej.

 Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36\% tłuszczu. Wynik zapisz z dokładnością do jednej tysięcznej.

 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=\frac{x^3+x-4}{x} dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji f. Prosta o równaniu y=ax+b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P.

Oblicz współczynnik a.

 Oblicz współczynnik b.

 Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie k=4 cyfr jest nieparzystych i dokładnie dwie cyfry są parzyste.

Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.

 Trzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 104. Liczby x, y oraz z są - odpowiednio – wyrazami a_1, a_2 oraz a_{5} ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n \geqslant 1.

Oblicz x, y oraz z.
Podaj iloraz q ciągu geometrycznego.

 Podaj różnicę r ciągu arytmetycznego.

 Dany jest kwadrat ABCD o boku a długości 6. Punkt E dzieli bok CD w stosunku |DE|:|EC|=7:1. Przekątna BD dzieli trójkąt ACE na dwie figury: AGF oraz CEFG (zobacz rysunek).

Oblicz pole trójkąta AGF.

 Oblicz pole czworokąta CEFG.

 Rozwiąż równanie \sin4x-\sin2x=2\cos^2x-\frac{3}{2} w zbiorze [0,2\pi].

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci b\cdot \pi.
Podaj liczbę b.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) środek S okręgu o promieniu \sqrt{5} leży na prostej o równaniu y=x+\frac{32}{5}. Przez punkt A=\left(-4,\frac{12}{5}\right), którego odległość od punktu A jest większa od \sqrt{5}, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – B i C. Pole czworokąta ABSC jest równe 15.

Oblicz długość odcinka AS.

 Wyznacz współrzędne punktu S=(x_S, y_S).

Podaj najmniejszą i największą współrzędną x_S.

 Podaj najmniejszą i największą współrzędną y_S.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2-(3m+7)\cdot x+2m^2+9m+11=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Funkcja f określona jest wzorem f(m)=x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2-3), gdzie x_1 i x_2 są różnymi rozwiązaniami tego równania.

Zapisz wzór funkcji fw postaci wielomianu.
Podaj sumę współczynników tego wielomianu.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m spełniające nierówność f(m)\leqslant 3m-1.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 6750. Pole P powierzchni całkowitej takiego graniastosłupa w zależności od długości krawędzi jego podstawy a wyraża się wzorem P(a)=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{2}+\frac{m\cdot \sqrt{3}}{a}, gdzie m\in\mathbb{Z}.

Wyznacz liczbę m.

 Pochodna funkcji P jest równa P'(a)=\sqrt{3}a+\frac{p}{a^2}, gdzie p\in\mathbb{R}.

Podaj liczbę p.

 Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

 Wyznacz najmniejsze możliwe pole powierzchni tego graniastosłupa.