Podgląd arkusza : lo2@cke-2024-06-pr

 W chwili początkowej (t=0) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A. W wyniku tej reakcji masa m związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością m(t)=a\cdot 2^{-0.25\cdot t}+b dla t\geqslant 0 gdzie:

• m – masa związku A wyrażona w gramach,
• t – czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili t=0),
• a,b – współczynniki liczbowe.

Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili t=0) była równa m_0 gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy t\rightarrow \infty) masa tego związku była równa \frac{1}{9} jego masy początkowej, czyli y=\frac{1}{9}m_0 (zobacz rysunek).

Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało \frac{4}{9} masy początkowej tego związku.

 Oblicz granicę \lim_{x\leftarrow 8-}{\frac{\sqrt{x^2-16x+64}}{x^2-64}}.

 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=\frac{6x+11}{3x+1} dla każdej liczby rzeczywistej x\neq -\frac{1}{3}. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P=(x_0, 5) należy do wykresu funkcji f.

Wyznacz x_0.

 Prosta o równaniu y=ax+b jest styczną do wykresu funkcji f w punkcie P.

Podaj współczynniki a i b.

 Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie 6 razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie 6 razy.

 Nieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) o numerach nieparzystych jest równa 72, tj. a_1+a_3+a_5+...=72. Ponadto a_1+a_3=\frac{5}{2}\cdot a_2.

Wyznacz iloraz q tego ciągu.

 Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.

 W okrąg o promieniu 16 wpisano trójkąt ABC. Długość boku AB jest równa 7. Bok BC ma długość 16\sqrt{3} i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.

Oblicz długość boku AC trójkąta ABC. Jeśli zadanie posiada dwa rozwiązania podaj większe z nich.

 Rozwiąż równanie \sin{6x}+\sqrt{3}\sin{4x}+\sin{2x}=0 w przedziale [0,2\pi].

Najmniejsze rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa a. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy \frac{\sqrt{95}}{12}.

Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. Wynik zapisz w postaci p\cdot a^2.
Podaj liczbę p.

 W kartezjańskim układzie współrzędnych \(x,y\) prosta o równaniu 3x+y+\frac{28}{5}=0 przecina parabolę o równaniu y=x^2-\frac{18}{5}x-\frac{294}{25} w punktach A oraz B, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wierzchołek A ma pierwszą współrzędną mniejszą od \frac{4}{5}. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=-\frac{1}{2}x-\frac{23}{5} i ma pierwszą współrzędną większą od \frac{4}{5}.
Odległość punktu C od prostej zawierającej bok AB równoległoboku jest równa \frac{9\sqrt{10}}{5}.

Wyznacz współrzędne punktu A=(x_A, y_A).

 Wyznacz współrzędne punktu B=(x_B, y_B).

 Wyznacz współrzędne punktu C=(x_C, y_C).

 Oblicz długość boku BC.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (-4-m)x^2+(m+8)x-(m+8)^2=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Niech zbiór Z będzie zbiorem wszystkich wartości parametru m spełniających powyższy warunek.
Podaj największą liczbę całkowitą a, która nie należy do zbioru Z oraz najmniejszą liczbę całkowitą b, która należy do zbioru Z.

 Funkcja f określona jest wzorem f(m)=x_1^2+x_2^2-x_1x_2-7 dla wszystkich wartości m, dla których równanie ma dwa różne rozwiązania.

Zapisz wzór funkcji f w postaci f(m)=\frac{W(m)}{(m+4)^2}, gdzie W(m) jest wielomianem stopnia trzeciego.
Podaj wyraz wolny wielomianu W(m).

 Wyznacz pierwiastek całkowity m_0 wielomianu W(m).

 Wielomian W(m) ma trzy pierwiastki w zbiorze liczb rzeczywistych, ale tylko dwa pierwiastki w dziedzinie funkcji f.

Podaj najmniejszy pierwiastek wielomianu W(m) należący do dziedziny funkcji f.

 Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 28.

Objętość V takiego ostrosłupa można zapisać w postaci V(R)=a\cdot R^2\cdot (b-R).
Podaj liczbę a.

 Podaj liczbę b.

 Oblicz pochodną funkcji V.

Podaj wartość tej pochodnej w R=1.

 Przy jakiej długości promienia R objętość rozważanego ostrosłupa jest największa?

 Ile jest równa ta maksymalna objętość ostrosłupa?