Podgląd testu : lo2@ma-3-2020-03-23-pr

 Wartość wyrażenia a^8-b^8 jest podzielna przez:

 (1 pkt) Reszta z dzielenia wielomianu W(x)=x^{k+16}+x^{k+12}+x^{k+8}+x^{k+4}+x^k+x przez dwumian P(x)=x^2-1 jest równa:

 (1 pkt) Wiadomo, że \log_{m}{n}=a. Wówczas wyrażenie \log_{x}{y} jest równe:

 Oblicz długość promienia okręgu o równaniu x^2+y^2-6y-40=0.

 « Ciąg liczbowy \left(a_n\right) określony jest następująco: \begin{cases} a_1=1 \\ a_{n+1}=a_n+0,15\text{, dla } n\in\mathbb{N_{+}} \end{cases} . Oblicz sumę a_{k}+a_{k+1}+a_{k+2}+...+a_{l}.

 Ile liczb naturalnych sześciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach i cyfrze setek większej od 2, można utworzyć z cyfr 0,1,2,3,4,5?

 (2 pkt) W prostokącie ABCD dane są długości boków AB i AD. Na boku CD zaznaczono punkt E, zaś na odcinku EB punkt M (zobacz rysunek).

Wykorzystując podane poniżej długości odcinków oblicz pole powierzchni trójkąta ABM.

 (1 pkt) Oblicz długość odcinka AM.

 (1 pkt) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie ABM.

 Ciąg liczbowy \left(a_n\right) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym malejącym. Suma trzech jego pierwszych wyrazów jest równa s, a iloczyn tych wyrazów jest równy 1000.

Wyznacz iloraz tego ciągu.

 Wyznacz trzeci wyraz tego ciągu.

 Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.

 (2 pkt) W półkole o promieniu długości R wpisano trapez o obwodzie długości L, którego wysokość jest liczbą niewymierną, a dłuższa podstawa trapezu jest średnicą tego półkola.

Wyznacz długość ramienia tego trapezu.

 (2 pkt) Oblicz wysokość tego trapezu.

 (2 pkt) « Ze wszystkich liczb naturalnych należących do zbioru \{1,2,3,...,k\} pięć razy losowano po jednej liczbie ze zwracaniem, otrzymując w ten sposób pięciowyrazowy ciąg liczbowy (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5).

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymano ciąg, którego pierwszy wyraz jest podzielny przez m, a wyraz ostatni jest podzielny przez n.

 (2 pkt) Ile byłoby równe to prawdopodobieństwo, gdyby losowanie odbywało się bez zwracania?

 (2 pkt) Punkty A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B) i C=(x_C, y_C) są trzema kolejnymi wierzchołkami prostokąta ABCD (kolejność wierzchołków jest zgodna z kierunkiem odwrotnym do ruchu wskazówek zegara).

Podaj odciętą wierzchołka D tego prostokąta.

 (1 pkt) Podaj rzedną wierzchołka D tego prostokąta.

 (1 pkt) Oblicz pole powierzchni tego prostokąta.

 (1 pkt) Oblicz promień okręgu opisanego na tym prostokącie.

 (1 pkt) Oblicz sinus kąta pod jakim przecinają się przekątne tego prostokąta.

 (2 pkt) Ostrosłup trójkątny ABCS o podstawie ABC i wysokości H, jest prawidłowy. Punkty E i F są środkami jego krawędzi podstawy, odpowiednio AB i AC, a kąt EFS jest prosty (zobacz rysunek).

Wyraź długość krawędzi bocznej ostrosłupa za pomocą krawędzi podstawy a. Podaj \frac{|AS|}{a}.

 (1 pkt) Oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

 (1 pkt) Wyznacz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny EFS do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

 (1 pkt) Oblicz objętość ostrosłupa EBCFS.

 (1 pkt) Tworząca stożka ma długość l, a jego wysokość długość h. Wyznacz wzór funkcji f wyrażającej objętość tego stożka w zależności od jego wysokości h.

Podaj wartość wyrażenia \frac{f(1)}{\pi}.

 (1 pkt) Przedział (a,b) jest dziedziną tej funkcji.

Podaj liczbę b.

 (2 pkt) Oblicz \frac{f'(1)}{\pi}.

 (1 pkt) Wyznacz wysokość tego ze stożków, który ma największą możliwą objętość.

 (2 pkt) Ile jest równą ta największa objętość stożka?