Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-2

 Dany jest ciąg liczbowy (a_n) określony wzorem a_n=4n-n^3. Wyraz a_{2k-p} tego ciągu jest równy ak^3+bk^2+ck+d.

Podaj liczby b, c i d.

 « Ciąg liczbowy (b_n) określony wzorem \begin{cases} b_1=a \\ b_{n+1}=\frac{1}{b}b_n \end{cases} jest:

 Ciąg a_n=\frac{n}{n+5} jest zbieżny i \lim_{n\to\infty} a_n=1. Nierówności |a_n-1| \lessdot \frac{1}{200} nie spełnia k wyrazów tego ciągu.

Wyznacz liczbę k.

 Granicą ciągu liczbowego \lim_{n\to+\infty} \frac{4}{\sqrt{36n^2+1}-6} jest:

 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem a_n=\frac{9}{\left(\sqrt{6}\right)^n} , dla n=1,2,3,.... Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \frac{c}{\sqrt{d}+e}, gdzie c,d,e\in\mathbb{Z}.

Podaj liczby c,d i e.

Ciąg \left( \sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{6}, \frac{\sqrt{2}(m+3)}{4}, \sqrt[3]{144}-2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{36} \right) jest ciągiem geometrycznym.

Podaj najmniejsze możliwe m.

Podaj największe możliwe m.

 Rozwiąż równanie 2^1\cdot 2^3\cdot 2^5\cdot ...\cdot 2^{2x+29}=64\cdot 4^{x+16} .

Podaj największe x spełniające to równanie.

 « Ciąg (a_1,a_2,a_3) jest rosnącym ciągiem geometrycznym oraz a_1+a_2+a_3=215. Ciąg (a_1+2,a_2-21,a_3-169) jest arytmetyczny. Wyznacz wyrazy tego ciągu.

Podaj pierwszy wyraz ciągu (a_n).

 Podaj trzeci wyraz ciągu (a_n).

 Oblicz granicę g=\lim_{n\to\infty}{\frac{(5n+2)^2+(1-4n)^2}{(4n-1)^2}}.

Wyznacz rozwiązania równania \tan 2x+\tan^2 2x+\tan^3 2x+...=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{3}+1), gdzie x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\right)- \left\{-\frac{\pi}{4}\right\}.

Najmniejsze rozwiązanie tego równania jest równe a\cdot \pi. Podaj liczbę a.

Największe rozwiązanie tego równania jest równe b\cdot \pi. Podaj liczbę b.

 Nieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 1. Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) o numerach nieparzystych jest równa 75, tj. a_1+a_3+a_5+...=75. Ponadto a_1+a_3=\frac{29}{10}\cdot a_2.

Wyznacz iloraz q tego ciągu.

 Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.

 Dany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) o równaniach x^2+y^2=3^{27-n}, gdzie n\geqslant 1. Niech P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o_{2k-1} i wewnętrznym okręgiem o_{2k}.

Wzór na pole powierzchni pierścienia P_k można zapisać w postaci S_k=a\cdot \pi\cdot 3^{27-2k}.
Podaj liczbę a.

 Pola powierzchni wszystkich pierścieni tworzą ciąg geometryczny.

Wyznacz iloraz q tego ciągu.

 Suma pól powierzchni wszystkich pierścieni jest równa \frac{3^m}{n}, gdzie m,n\in\mathbb{Z_{+}} i n jest najmniejszą możliwą liczbą całkowitą dodatnią.

Podaj liczby m i n.