Podgląd testu : lo2@sp-19-ciagi-liczbowe-pr-2
Zadanie 1. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10261 ⋅ Poprawnie: 3/4 [75%]
Rozwiąż
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Dany jest ciąg liczbowy
(a_n) określony wzorem
a_n=4n-n^3 . Wyraz
a_{2k-p} tego ciągu
jest równy
ak^3+bk^2+ck+d .
Podaj liczby b , c i d .
Dane
p=2
Odpowiedzi:
Zadanie 2. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10266 ⋅ Poprawnie: 5/10 [50%]
Rozwiąż
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
« Ciąg liczbowy
(b_n) określony wzorem
\begin{cases}
b_1=a \\
b_{n+1}=\frac{1}{b}b_n
\end{cases}
jest:
Dane
a=-\frac{1}{6}=-0.16666666666667
b=6
Odpowiedzi:
A. malejący
B. rosnący
C. niemonotoniczny
D. nierosnący
Zadanie 3. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10306 ⋅ Poprawnie: 4/5 [80%]
Rozwiąż
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Ciąg
a_n=\frac{n}{n+5} jest zbieżny i
\lim_{n\to\infty} a_n=1 . Nierówności
|a_n-1| \lessdot \frac{1}{100} nie spełnia
k wyrazów tego ciągu.
Wyznacz liczbę k .
Odpowiedź:
k=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 4. 2 pkt ⋅ Numer: pr-11627 ⋅ Poprawnie: 1/5 [20%]
Rozwiąż
Podpunkt 4.1 (2 pkt)
Granicą ciągu liczbowego
\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{9n^2+1}-3}
jest:
Odpowiedzi:
A. 1
B. -\infty
C. +\infty
D. 3
Zadanie 5. 1 pkt ⋅ Numer: pr-10329 ⋅ Poprawnie: 10/12 [83%]
Rozwiąż
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
« Drugi wyraz ciągu geometrycznego jest równy
\frac{3}{2} , a suma
wszystkich jego wyrazów jest równa
\frac{27}{4} .
Wyznacz najmniejszy możliwy iloraz tego ciągu.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 6. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20804 ⋅ Poprawnie: 74/77 [96%]
Rozwiąż
Podpunkt 6.1 (2 pkt)
« Ciąg liczbowy
\left(a_n\right) określony jest następująco:
\begin{cases}
a_1=1 \\
a_{n+1}=a_n+0,15\text{, dla } n\in\mathbb{N_{+}}
\end{cases}
.
Oblicz sumę
s=a_{k}+a_{k+1}+a_{k+2}+...+a_{l} .
Dane
k=45
l=65
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 7. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20811 ⋅ Poprawnie: 1/5 [20%]
Rozwiąż
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
« Dany jest ciąg geometryczny
(a_n) o ilorazie
q .
Oblicz najmniejszą możliwą wartość liczby q^2 .
Dane
a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=155
\frac{a_1+a_5}{a_3}=\frac{17}{4}=4.25000000000000
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Dla wyznaczonej najmniejszej wartości liczby
q^2 ,
oblicz pierwszy wyraz tego ciągu o ilorazie
|q| .
Odpowiedź:
a_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 8. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20813 ⋅ Poprawnie: 11/11 [100%]
Rozwiąż
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Ciąg liczbowy
(x+3, y+m, z+3) jest ciągiem arytmetycznym, zaś ciąg
liczbowy
(x,y-5+m,z) jest geometryczny.
Podaj największe możliwe x .
Dane
m=3
x+y+z=30
Odpowiedź:
x_{max}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe
y .
Odpowiedź:
y_{max}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 9. 2 pkt ⋅ Numer: pr-21175 ⋅ Poprawnie: 27/38 [71%]
Rozwiąż
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Ciąg
(a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej
n\geqslant 1 wzorem
a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}
gdzie
p jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Oblicz wartość p , dla której granica ciągu (a_n)
jest równa \frac{5}{9} .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 10. 2 pkt ⋅ Numer: pr-20836 ⋅ Poprawnie: 26/41 [63%]
Rozwiąż
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
« Rozwiąż nierówność
1-\frac{2x+1}{2}+\frac{(2x+1)^2}{4}-...\geqslant 2
.
Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału liczbowego. Podaj lewy koniec
tego przedziału.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Podaj prawy koniec tego przedziału.
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Zadanie 11. 4 pkt ⋅ Numer: pr-30191 ⋅ Poprawnie: 9/13 [69%]
Rozwiąż
Podpunkt 11.1 (2 pkt)
« Dany jest ciąg określony wzorem
a_n=(-1)^n\cdot (2n-1) . Uzasadnij, że ciąg
b_n=a_{2n+1} jest arytmetyczny.
Oblicz S_{k} ciągu (b_n) .
Dane
k=73
Odpowiedź:
S_{k}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 11.2 (2 pkt)
Oblicz
S_{k} ciągu
(a_n) .
Odpowiedź:
S_{k}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Zadanie 12. 4 pkt ⋅ Numer: pr-31004 ⋅ Poprawnie: 8/31 [25%]
Rozwiąż
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Ciąg
(a_n) , określony dla każdej liczby naturalnej
n\geqslant 1 , jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie.
Ponadto
a_1=1800 i
a_{22}=\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21} . Ciąg
(b_n) ,
określony dla każdej liczby naturalnej
n\geqslant 1 , jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu
(a_n) jest równa sumie
k=48 początkowych kolejnych wyrazów ciągu
(b_n) .
Ponadto
a_3=b_4 .
Oblicz iloraz q ciągu (a_n) .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu
(a_n) .
Odpowiedź:
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 12.3 (2 pkt)
Odpowiedź:
b_1=
(wpisz liczbę całkowitą)
Rozwiąż