Podgląd testu : lo2@cke-2023-05-pr
| Zadanie 1. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21154 |
Podpunkt 1.1 (2 pkt)
W chwili początkowej (t=0) masa substancji jest równa
5 gram. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej
masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 20\% masy,
jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t\geqslant 0
funkcja m(t) określa masę substancji w gramach po
t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór
funkcji m(t).
Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.
Odpowiedź:
t=
(wpisz liczbę całkowitą)
| Zadanie 2. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21157 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo
wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe \frac{2}{3}.
Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka wszystkich partii.
Odpowiedź:
| P(A)= | |
Podpunkt 2.2 (2 pkt)
Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii.
Odpowiedź:
| P(B)= | |
| Zadanie 3. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21155 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
f(x)=\frac{3x^2+10x+8}{x^2+6x+16}
dla każdej liczby rzeczywistej x. Punkt
P=(x_0, 3) należy do wykresu funkcji f.
Oblicz x_0.
Odpowiedź:
x_0=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 3.2 (2 pkt)
Wyznacz równanie stycznej y=ax+b do wykresu funkcji f w punkcie
P.
Podaj współczynniki a i b.
Odpowiedzi:
| a | = | (dwie liczby całkowite) | |
| b | = | (dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 4. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21156 |
Podpunkt 4.1 (3 pkt)
Liczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie
równanie x+y=2 i nierówność
x^3-x^2y\leqslant xy^2-y^3. Wyznacz liczby x i
y.
Podaj największe możliwe x i największe możliwe y spełniające warunki zadania.
Odpowiedzi:
| x_{max} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| y_{max} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| Zadanie 5. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21159 |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym
|\sphericalangle ABC|=90^{\circ} oraz
|\sphericalangle CAB|=60^{\circ}. Punkty K i
L leżą na bokach – odpowiednio – AB i
BC tak, że |BK|=|BL|=4 (zobacz rysunek).
Odcinek KL przecina wysokość BD tego trójkąta
w punkcie N, a ponadto |AD|=14.
Oblicz, |ND|.
Odpowiedź:
| |ND|= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 6. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-21158 |
Podpunkt 6.1 (3 pkt)
Rozwiąż równanie 4\sin(5x)\cos(7x)=2\sin(12x)+1
w przedziale [0, \pi].
Liczby x_{min}\cdot\pi oraz x_{max}\cdot\pi są odpowiednio najmniejszym i największym rozwiązaniem tego równania w przedziale [0, \pi].
Podaj x_{min} oraz x_{max}.
Odpowiedzi:
| x_{min} | = | (dwie liczby całkowite) | |
| x_{max} | = | (dwie liczby całkowite) | |
| Zadanie 7. (5 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30881 |
Podpunkt 7.1 (2 pkt)
Dany jest sześcianABCDEFGH o krawędzi długości 18.
Punkt S jest punktem przecięcia przekątnych AH i
DE ściany bocznej ADHE (zobacz rysunek).
Oblicz |SB|.
Odpowiedź:
|SB|=
\cdot√
(wpisz dwie liczby całkowite)
(wpisz dwie liczby całkowite)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Oblicz \cos\sphericalangle HSB.
Odpowiedź:
| \cos\sphericalangle HSB= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 7.3 (2 pkt)
Oblicz wysokość trójkąta SBH poprowadzoną z punktu S
na bok BH tego trójkąta.
Odpowiedź:
| h= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
| Zadanie 8. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30877 |
Podpunkt 8.1 (4 pkt)
Czworokąt ABCD, w którym |BC|=20\sqrt{3} i
|CD|=25\sqrt{3}, jest opisany na okręgu. Przekątna
AC tego czworokąta tworzy z bokiem BC
kąt o mierze 60^{\circ}, natomiast z bokiem AB
– kąt ostry, którego sinus jest równy \frac{1}{4}.
Oblicz obwód czworokąta ABCD.
Odpowiedź:
L_{ABCD}=
+
\cdot
√
(wpisz trzy liczby całkowite)
(wpisz trzy liczby całkowite)
| Zadanie 9. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30878 |
Podpunkt 9.1 (2 pkt)
Rozwiąż nierówność \sqrt{x^2+6x+9}\lessdot \frac{25}{3}-\sqrt{x^2-4x+4}.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
| x_{min}= | |
Podpunkt 9.2 (2 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
| x_{max}= | |
| Zadanie 10. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30880 |
Podpunkt 10.1 (2 pkt)
Określamy kwadraty K_1, K_2,
K_3,... następująco:
K_1 jest kwadratem o boku długości a,
K_2jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku
kwadratu K_1 i dzieli ten bok w stosunku 1:8
K_3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku
kwadratu K_2 i dzieli ten bok w stosunku 1:8
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n\geqslant 2:
K_n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku
kwadratu K_{n-1} i dzieli ten bok w stosunku 1:8
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej:
Wyznacz iloraz tego ciągu.
Odpowiedź:
| q= | ||
| (wpisz trzy liczby całkowite) | ||
Podpunkt 10.2 (2 pkt)
Przyjmując, że a=5, oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów.
Odpowiedź:
| S= |
|
|
| (wpisz cztery liczby całkowite) | ||
| Zadanie 11. (5 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30879 |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m\neq 1, dla których równanie
x^2+4x-\frac{m-2}{m-1}=0 ma dwa różne rozwiązania
rzeczywiste.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
m_{min}=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
| m_{max}= | |
Podpunkt 11.3 (1.5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m\neq 1, dla których równanie
to ma dwa różne rozwiązania x_1, x_2 spełniające
warunek x_1^3+x_2^3>-28.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
| m_{min}= | |
Podpunkt 11.4 (1.5 pkt)
Podaj największy z końców liczbowych tych przedziałów.
Odpowiedź:
| m_{max}= | |
| Zadanie 12. (6 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30882 |
Podpunkt 12.1 (2 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
f(x)=x^4-\frac{28}{3}x^3+
\underbrace{\frac{10\cdot\log_{7}{\sqrt[10]{2^{7}}}\cdot\log_{2}{7}}{7}}_{a_2}
\cdot x^2-272x, dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x.
Oblicz wartość współczynnika a_2 stojącego przy kwadracie niewiadomej x.
Odpowiedź:
| a_2= | |
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Oblicz pochodną f', a następnie wyznacz jej wartość w jedynce.
Odpowiedź:
f'(1)=
(wpisz liczbę całkowitą)
Podpunkt 12.3 (2 pkt)
Wyznacz ilość miejsc zerowych pochodnej oraz największe z tych miejsc zerowych.
Odpowiedzi:
| ile | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
| x_{max} | = |
(wpisz liczbę całkowitą) |
Podpunkt 12.4 (1 pkt)
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f.
Odpowiedź:
| f_{MIN}(x)= | |
| Zadanie 13. (6 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-31000 |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) prosta
l o równaniu x-y-9=0 przecina parabolę o
równaniu y=4x^2-31x+54 w punktach A oraz
B. Odcinek AB jest średnicą okręgu
\mathcal{O}. Punkt C leży na okręgu
\mathcal{O} nad prostąl, a kąt
BAC jest ostry i ma miarę \alpha taką,
że \tan\alpha=\frac{1}{3} (zobacz rysunek).
Wyznacz współrzędne punktów A=(x_A, y_A) i B=(x_B, y_B) przy czym x_A\lessdot x_B.
Podaj współrzędne punktu A.
Odpowiedzi:
| x_A | = | (dwie liczby całkowite) | |
| y_A | = | (dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Podaj współrzędne punktu B.
Odpowiedzi:
| x_B | = | (dwie liczby całkowite) | |
| y_B | = | (dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 13.3 (2 pkt)
Wyznacz równanie prostej AC: y=ax+b.
Podaj współczynniki a i b.
Odpowiedzi:
| a | = | (dwie liczby całkowite) | |
| b | = | (dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 13.4 (1 pkt)
Wyznacz równanie prostej BC: y=mx+n.
Podaj współczynniki m i n.
Odpowiedzi:
| m | = | (dwie liczby całkowite) | |
| n | = | (dwie liczby całkowite) | |
Podpunkt 13.5 (1 pkt)
Wyznacz współrzędne punktu C=(x_C, y_C).
Odpowiedzi:
| x_C | = | (dwie liczby całkowite) | |
| y_C | = | (dwie liczby całkowite) | |