Podgląd testu : lo2@cke-2023-06-pr

 Dane są liczby: a=4^{\log_{2}{5}} oraz b=\frac{\log_{2}{2025}}{\log_{16}{2025}}.

Podaj liczbę a.

 Podaj liczbę b.

 Wśród n osób są Ania i jej m=2 znajomych. Wszystkie te n osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 7 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych n osób w kolejkę, w których Ania i jej wszyscy znajomi zajmują m+1 kolejnych miejsc (w dowolnej kolejności) w tej kolejce.

Na ile sposobów można ustawić wszystkie te osoby w kolejce.

 Wyznacz liczbę n.

 Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe \frac{1}{3}.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w okresie n=4 dni wystąpi dokładnie jedna taka awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych.

 Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia B polegającego na tym, że w okresie n=4 dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych.

 Funkcja f jest określona wzorem f(x)=2x^3+20x^2+73x+98 dla każdego x\in\mathbb{R}. Punkt P=(x_0, 16) należy do wykresu funkcji f.

Oblicz x_0.

 Prosta o równaniu y=ax+b jest styczną do wykresu funkcji f w punkcie x_0.

Wyznacz współczynniki a i b.

 Dany jest okrąg \mathcal{O}. Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – P oraz Q. Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D, która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek).

Wiadomo, że |AQ|=8\cdot |BP| oraz |CD|=3\cdot |BD|.

Oblicz |AC|:|BC|.

 Dany jest nieskończony szereg geometryczny 2(2x-12)-\frac{6(2x-12)}{2x-13}+\frac{18(2x-12)}{(2x-13)^2}-\frac{54(2x-12)}{(2x-13)^3}+....

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od 6 i od \frac{13}{2}), dla których suma tego szeregu istnieje.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x, dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa \frac{15}{2}.

Podaj największe takie x.

 Rozwiąż równanie \sin 3x+\cos x=0 w zbiorze \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].

Największe rozwiązanie tego równania zapisz w postaci a\cdot \pi.
Podaj liczbę a.

 Ile rozwiązań ma to równanie?

 W okrąg o równaniu (x+3)^2+(y+4)^2=25 wpisano trójkąt ABC. Bok AB tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4x-3y=0, przy czym rzędna punktu A jest mniejsza od rzędnej punktu B. Wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB tak, że |AD|=\frac{1}{4}|DB|.

Wyznacz współrzędne punktu D=(x_D, y_D).

 Wyznacz współrzędne punktu C=(x_C, y_C).

Podaj najmniejszą i największą możliwą wartość rzednęj x_C.

 Oblicz wysokość trójkąta ABC.

 Oblicz pole trójkąta ABC.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (m-8)x^2-(m-7)x-2m+19=0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy i największy z końców liczbowych tych przedziałów.

 Funkcja f określona jest wzorem f(m)=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}, gdzie x_1 oraz x_2 są różnymi rozwiązaniami tego równania.

Zapisz wzór funkcji f w postaci ilorazu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych, tj. f(m)=\frac{a_1m^2+b_1m+c_1}{a_2m^2+b_2m+c_2}.
Podaj wartość ułamka \frac{c_1}{c_2}.

 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie to ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 oraz x_2, spełniające warunki: x_1\neq 0, x_2\neq 0 oraz \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\lessdot 1.

Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj ten z końców tych przedziałów, który jest liczbą całkowitą.

 Podaj ten z końców tych przedziałów, który jest liczbą wymierną niecałkowitą.

 Ciąg (a,b,c-9) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg (2a,2b,c-8) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek c-b=15.

Podaj liczby a i b.

 Podaj liczbę c.

 Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 36. Kąty BAD i BCD są proste (zobacz rysunek). Przekątne AC i BD tego czworokąta przecinają się w punkcie E tak, że |BE|=2\cdot |DE| oraz |BD|=2\cdot |AE|.

Oblicz długość boku AB.

 Oblicz długość boku AD.

 Oblicz długość boku BC.

 Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEFGH, w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EFGH ma długość d (zobacz rysunek).

Przyjmijmy, że |DO|=x. Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od zmiennej x. Funkcję y=V(x) zapisz w postaci y=\sqrt{W(x)}, gdzie W(x) jest wielomianem zmiennej x.

Przyjmując d=2, podaj wartość tego wielomianu w jedynce.

 Oblicz pochodną funkcji V.

Przyjmując d=7, oblicz V'(1).

 Wyznacz długość odcinka x tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz wynik w postaci x=m\cdot d. Podaj liczbę m.