Okręgi i koła
Zadania dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
|
|
| Zadanie 1. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10562 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Okręgi o_1(O_1, r_1) i
o_2(O_2, r_2) są styczne zewnętrznie w punkcie
S, a prosta O_1P
jest styczną do okręgu o_2:
Oblicz pole powierzchni trójkąta O_1O_2P.
Dane
r_1=1
r_2=2
r_2=2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 2. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10566 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Okręgi o_1(O_1, r_1) i
o_2(O_2, r_2) są styczne zewnętrznie w punkcie
S, a prosta k
jest styczną do tych okręgów:
Oblicz długość odcinka AB.
Dane
r_1=1
r_2=2
r_2=2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 3. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10565 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Dany jest okrąg o_1(S_1, r), przy czym
S_1=(x_s, y_s). Okrąg
o_2(S_2, r) jest obrazem okręgu
o_1 w symetrii względem osi
Oy.
Wyznacz długość odcinka S_1S_2.
Dane
x_s=-4
y_s=-8
r=2022
y_s=-8
r=2022
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 4. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10564 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Dwa okręgi mają promienie o długości \frac{1}{2} i
\frac{2}{3}. Mniejszy z okręgów przechodzi przez środek
większego.
Oblicz odległość między środkami tych okręgów.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 5. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10567 |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Okręgi o_1(A, r_1) i
o_2(B, r_2) przecinają się w dwóch punktach:
Do odcinka AB należy środek okręgu o_3(C, r_3) stycznego wewnętrznie do obu okręgów o_1 i o_2.
Oblicz długość promienia r_3.
Dane
r_1=5
r_2=7
|AB|=10
r_2=7
|AB|=10
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 6. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10563 |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Okręgi o takich samych promieniach mają środki w punktach
M=(3, -5) i
N=(73, -29) i są wzajemnie styczne zewnętrznie.
Wyznacz długość promienia tych okręgów.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 7. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10569 |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Okręgi o_1(A, r_1) i
o_2(B, r_2):
Dane
r_1=2=2.00000000000000
r_2=\frac{5}{2}=2.50000000000000
|AB|=5=5.00000000000000
r_2=\frac{5}{2}=2.50000000000000
|AB|=5=5.00000000000000
Odpowiedzi:
| A. są rozłączne wewnętrznie | B. są rozłączne zewnętrznie |
| C. są styczne zewnętrznie | D. są styczne wewnętrznie |
| Zadanie 8. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10570 |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Cięciwa okręgu o promieniu 37 cm ma długość
24 cm.
Oblicz odległość środka okręgu od tej cięciwy.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 9. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10571 |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Cięciwa okręgu ma długość 70 cm i jest oddalona od
środka tego okręgu o 12 cm.
Oblicz promień tego okręgu.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 10. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10476 |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
« Dane są okręgi:
Oblicz długość odcinka O_1P.
Dane
|O_1A|=10
|O_2B|=6
|O_1O_2|=32
|O_2B|=6
|O_1O_2|=32
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 11. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11415 |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Stosunek pól powierzchni dwóch kół jest równy 32.
Wynika z tego, że promień większego z tych kół jest większy od promienia mniejszego koła:
Odpowiedzi:
| A. o 32 | B. 4 razy |
| C. 4\sqrt{2} razy | D. 16 razy |
| Zadanie 12. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11102 |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
W okrąg o promieniu długości 2 wpisano kąt środkowy
oparty na łuku długości równej 25% długości całego
okręgu. Następnie w ten kąt środkowy wpisano okrąg.
Oblicz długość promienia tego okręgu.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 13. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20226 |
Podpunkt 13.1 (2 pkt)
W okręgu o środku O i promieniu długości
r poprowadzono dwie równoległe cięciwy
AB i CD położone
po tej samej stronie środka okręgu:
Oblicz odległość pomiędzy tymi cięciwami.
Dane
r=25
|CD|=14
|AB|=42
|CD|=14
|AB|=42
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 14. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20223 |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
» Dwie prostopadłe cięciwy okręgu przecinają się w punkcie należącym do
tego okręgu. Wiedząc, że różnica długości tych cięciw wynosi
d, a promień okręgu ma długość
r, oblicz długości tych cięciw.
Podaj długość krótszej z tych cięciw.
Dane
d=2
r=29
r=29
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
Podaj długość dłuższej z tych cięciw.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 15. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20227 |
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
» W okręgu o środku O poprowadzono cięciwę
AB nie przechodzącą przez środek okręgu.
Na cięciwie wybrano punkt C w taki sposób, że
AB nie jest prostopadłe do
CO:
Oblicz długość promienia tego okręgu.
Dane
|CO|=17
|AC|=12
|CB|=28
|AC|=12
|CB|=28
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 16. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20228 |
Podpunkt 16.1 (2 pkt)
W okręgu o środku O poprowadzono cięciwę
AB. Przez punkt P
będący środkiem cięciwy AB poprowadzono sieczną
MN okręgu, prostopadłą do cięciwy
AB:
Oblicz długość cięciwy AB.
Dane
|MP|=32
|NP|=72
|NP|=72
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 17. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20229 |
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
» Do dwóch stycznych zewnętrznie okręgów o promieniach
r_1 i r_2
i środkach odpowiednio O_1 i
O_2, poprowadzono styczną, która przecięłą
prostą przechodzącą przez środki tych okręgów w punkcie
A:
Oblicz długość odcinka O_1A.
Dane
r_1=35
r_2=28
r_2=28
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 18. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20221 |
Podpunkt 18.1 (2 pkt)
Na okręgu o środku O zaznaczono dwa punkty
A i B, które podzieliły
ten okrąg na dwa łuki, których długości pozostają w stosunku
a:b.
Oblicz miarę stopniową mniejszego z kątów środkowych AOB tego okręgu.
Dane
a:b=\frac{1}{17}=0.05882352941176
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 19. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20222 |
Podpunkt 19.1 (2 pkt)
Okręgi są styczne do siebie i boków kwadratu. Stosunek ich promieni wynosi
k:1, a przekątna kwadratu ma długość
d.
Oblicz promień mniejszego z okręgów.
Dane
k=2
d=8
d=8
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 20. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20231 |
Podpunkt 20.1 (2 pkt)
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P
i R, styczne zewnętrznie w punkcie
C.
Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio
w punktach A i B oraz
|\sphericalangle ABC|=\beta:
Oblicz miarę kąta \alpha. Wynik zapisz w stopniach bez jednostki.
Dane
\beta=60^{\circ}
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 21. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30017 |
Podpunkt 21.1 (4 pkt)
» W kwadrat o boku długości a\sqrt{2} wpisano
cztery okręgi jak na rysunku. Następnie narysowano koło zawarte w kwadracie i
styczne do tych czterech okręgów.
Oblicz promień tego koła.
Dane
a=4
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 22. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20220 |
Podpunkt 22.1 (2 pkt)
Czworokąt na rysunku jest kwadratem:
Oblicz |CO|:|AB|.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 23. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20230 |
Podpunkt 23.1 (2 pkt)
» Czworokąt na rysunku jest kwadratem:
Oblicz |AB|:|CO|.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 24. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20219 |
Podpunkt 24.1 (2 pkt)
» Dany jest kwadrat o boku a. W kwadrat ten
wpisano okrąg i na kwadracie tym opisano okrąg. Oblicz pole powierzchni
powstałego pierścienia kołowego.
Dane
a=2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 25. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20225 |
Podpunkt 25.1 (2 pkt)
W okręgu o środku O i promieniu długości
r poprowadzono dwie równoległe cięciwy
AB i CD w taki sposób,
że środek okręgu znajduje się pomiędzy tymi cięciwami:
Oblicz odległość pomiędzy tymi cięciwami.
Dane
r=45
|CD|=54
|AB|=50
|CD|=54
|AB|=50
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 26. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30016 |
Podpunkt 26.1 (4 pkt)
« W kole o promieniu r narysowano cięciwę okręgu
tego koła oddaloną od środka koła o d.
Cięciwa podzieliła koło na dwie części.
Oblicz pole powierzchni mniejszej z tych cześci.
Dane
r=8
d=4
d=4
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 27. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30014 |
Podpunkt 27.1 (2 pkt)
« W kąt o wierzchołku A wpisano dwa styczne zewnętrznie
okręgi, których środki są odległe od wierzchołka kąta o
a cm i b cm. Oblicz
długości promieni tych okręgów.
Podaj długość mniejszego z promieni.
Dane
a=4
b=6
b=6
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 27.2 (2 pkt)
Podaj długość większego z promieni.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 28. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30013 |
Podpunkt 28.1 (4 pkt)
» Prosta k jest styczną do dwóch rozłącznych
zewnętrznie okręgów o promieniach r_1 i
r_2 i poprowadzona jest w taki
sposób, że środki okręgów znajdują sie po różnych stronach prostej
k.
Wiedząc, że odległość między środkami okręgów wynosi d oblicz odległość pomiędzy punktami styczności.
Dane
r_1=2
r_2=3
d=7
r_2=3
d=7
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 29. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30019 |
Podpunkt 29.1 (4 pkt)
« Okręgi o_1 i o_2
o środkach odpowiednio A i
B i promieniach odpowiednio
r_1 i r_2 są styczne
wewnętrznie. Z punktu A poprowadzono półproste
styczne do okręgu o_2 w punktach
M i N.
Oblicz pole czworokąta AMBN.
Dane
r_1=4
r_2=1
r_2=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 30. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30012 |
Podpunkt 30.1 (4 pkt)
» Prosta k jest styczną do dwóch rozłącznych
zewnętrznie okręgów o promieniach r_1 cm i
r_2 cm i poprowadzona jest w taki
sposób, że środki okręgów znajdują sie po tej samej stronie prostej
k.
Wiedząc, że odległość między środkami okręgów wynosi d cm oblicz odległość pomiędzy punktami styczności.
Dane
r_1=1
r_2=21
d=25
r_2=21
d=25
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 31. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30011 |
Podpunkt 31.1 (2 pkt)
» Okręgi na rysunku są styczne do siebie i boków trójkąta równobocznego
o polu powierzchni P, a promień
r ma długość x\sqrt{y},
gdzie x,y\in\mathbb{N} i
y jest liczbą pierwszą:
Wyznacz x.
Dane
P=48+32\sqrt{3}=103.42562584220407
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 31.2 (2 pkt)
Wyznacz y.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 32. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30018 |
Podpunkt 32.1 (4 pkt)
» Znając długość odcinka AB na rysunku
oblicz iloczyn promieni tych kół:
Dane
|AB|=6
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)