Trójkąty podobne
Zadania dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
|
| Zadanie 1. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10585 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Przedstawione na rysunku trójkąty są podobne.
Podaj liczby a i b.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 2. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11435 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Trójkąt T_1 o bokach długości
a, b i
c jest podobny do trójkąta
T_2. Trójkąt T_2 ma boki
o długościach:
Dane
a=2\sqrt{11}=6.63324958071080
b=3\sqrt{11}=9.94987437106620
c=4\sqrt{11}=13.26649916142160
b=3\sqrt{11}=9.94987437106620
c=4\sqrt{11}=13.26649916142160
Odpowiedzi:
| A. \frac{4\sqrt{11}}{5},\frac{6\sqrt{11}}{5},\frac{12\sqrt{11}}{5} | B. \frac{6\sqrt{11}}{5},\frac{9\sqrt{11}}{5},\frac{12\sqrt{11}}{5} |
| C. \frac{6\sqrt{11}}{5},\frac{9\sqrt{11}}{5},\frac{8\sqrt{11}}{5} | D. \frac{4\sqrt{11}}{5},\frac{9\sqrt{11}}{5},\frac{8\sqrt{11}}{5} |
| Zadanie 3. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11464 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Trójkąta ABC ma obwód o długości
O. Punkty A_1,
B_1 i C_1 są środkami
boków trójkąta ABC.
Trójkąt PQR, podobny do trójkąta A_1B_1C_1 w skali \frac{3}{2}.
Trójkąt PQR, podobny do trójkąta A_1B_1C_1 w skali \frac{3}{2}.
Oblicz długość obwodu trójkąta PQR.
Dane
O=49
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 4. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11522 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
(1 pkt)
W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątna
AC ma długość \sqrt{34}, a wysokość
AD opuszczona z wierzchołka kąta prostego
A ma długość 5:
Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 5. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10588 |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
« Prostokąt ABCD o przekątnej długości
8\sqrt{13} jest podobny do prostokąta o bokach
długości 2 i 3.
Oblicz obwód prostokąta ABCD.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 6. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10589 |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
« Pięciokąt ABCDE jest foremny.
Który z trójkątów nie jest podobny do trójkąta ABD:
Odpowiedzi:
| A. BGI | B. EDB |
| C. ABI | D. ABG |
| Zadanie 7. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10590 |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
« Obwody trójkątów podobnych T_1 i
T_2 wynoszą odpowiednio 84
i 24. Najdłuższy bok trójkąta
T_2 ma długość 21.
Oblicz długość najdłuższego boku trójkąta T_1.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 8. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10572 |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Punkty E i F dzielą
przyprostokątne trójkąta ABC w określonym stosunku:
Oblicz pole powierzchni trójkąta ABC.
Dane
|CE|:|CA|=|BF|:|BA|=\frac{1}{4}=0.25000000000000
P_{\triangle MCE}=2
P_{\triangle NFB}=5
P_{\triangle MCE}=2
P_{\triangle NFB}=5
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 9. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10592 |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Oblicz długość odcinka x:
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 10. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10578 |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
W trójkącie równoramiennym ABC o wysokościach
CD i AE podstawa
AB ma długość 24,
a odcinek BE ma długość
\frac{72}{5}.
Oblicz długość odcinka CD.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 11. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10584 |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i
PQR są podobne.
Oblicz długość boku AB trójkąta ABC.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 12. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10581 |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Odcinki AM i
CN są wysokościami trójkąta
ABC.
Zatem:
Odpowiedzi:
| A. |\sphericalangle BAM|=|\sphericalangle BCN| | B. |\sphericalangle BAM|=|\sphericalangle ASN| |
| C. |\sphericalangle CAM|=|\sphericalangle ACN| | D. |\sphericalangle BSN|=|\sphericalangle CAM| |
| Zadanie 13. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11568 |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
W trapezie podstawy mają długość 7 i
16, a wysokość ma długość 12.
Wyznacz odległości punktu przecięcia się przekątynych tego trapezu od jego podstaw.
Podaj obie wyznaczone odległości.
Odpowiedzi:
| min | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| max | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 14. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20725 |
Podpunkt 14.1 (2 pkt)
Trójkąt ABC na rysunku jest równoramienny, a
zielony czworokąt jest kwadratem:
Oblicz pole powierzchni tego kwadratu.
Dane
|AB|=20
|BC|=26
|BC|=26
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 15. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20726 |
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
Zielony czworokąt na rysunku jest kwadratem:
Jakim procentem pola powierzchni trójkąta ABC jest pole powierzchni tego kwadratu. Wynik zaokrąglij do jednego procenta.
Dane
|AC|=10
|BC|=26
|BC|=26
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 16. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20788 |
Podpunkt 16.1 (2 pkt)
» W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku
A jest prosty. Wysokość tego trojkąta opuszczona
z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki
BD i DC, których stosunek
długości jest większy od 1.
Oblicz |BD|:|DC|.
Dane
|AB|:|AC|=6:4=1.50000000000000
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 17. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20248 |
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
» Do jednego z ramion kąta o wierzchołku O
należą punkty A i B, a do
drugiego ramienia kąta punkty C i
D. Wiadomo, że
AC\parallel BD oraz |AO|=6,
|AC|=4 i |BD|=8.
Wyznacz długość odcinka AB.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 18. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20249 |
Podpunkt 18.1 (2 pkt)
Na ramieniu kąta ostrego o wierzchołku A zaznaczono
odcinki AB i BC, na
drugim ramieniu odcinki AD i
DE. Odcinki mają długości:
|AB|=8, |BC|=64,
|AD|=9 i |DE|=55.
Wyznacz skalę podobieństwa trójkątów ACD i
ABE.
Podaj skalę k\in(0,1].
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 19. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20246 |
Podpunkt 19.1 (2 pkt)
Odcinki AD i BE
przecinają się w punkcie C. W trójkątach
ABC i CDE zachodzą
związki: |\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle CED|,
|AC|=5, |BC|=3,
|CE|=10, jak na rysunku.
Oblicz długość boku CD.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 20. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20723 |
Podpunkt 20.1 (2 pkt)
« Dane są punkty na okręgu
takie, że |AP|=\frac{11}{8},
|PB|=\frac{12}{11} i
|CP|=\frac{3}{10}:
Oblicz |PD|.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 21. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20235 |
Podpunkt 21.1 (2 pkt)
» Korzystając z danych i rysunku oblicz długość zielonego odcinka:
Dane
a=17
b=6
b=6
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 22. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20244 |
Podpunkt 22.1 (2 pkt)
» Trójkąt ABC jest prostokątny.
Na boku AC tego trójkąta zbudowano kwadrat,
natomiast bok AB przedłużono tak, że
|\angle EHA|=90^{\circ}.
Wiedząc, że |BC|=16 oraz bok kwadratu ma długość 12 oblicz pole powierzchni trójkąta EHA.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 23. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20722 |
Podpunkt 23.1 (2 pkt)
» Trójkąt na rysunku jest równoramienny o podstawie
AB:
Oblicz |AB|.
Dane
|CD|=\frac{41}{29}=1.413793103448
|DB|=\frac{800}{29}=27.58620689655170
|DB|=\frac{800}{29}=27.58620689655170
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 24. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20247 |
Podpunkt 24.1 (2 pkt)
Punkt D jest środkiem boku
AB oraz |DC|=|CB|=|BE|.
Wiedząc, że |AC|=2 oblicz |DE|.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 25. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20842 |
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
Trójkąt ABC ma obwód równy O.
Trójkąt A_1B_1C_1 jest podobny do trójkąta
ABC w skali k. Znając długości
dwóch jego boków oblicz długości boków trójkąta ABC.
Jaką długość ma najkrótszy bok trójkąta ABC?
Dane
O=31
k=4
|A_1B_1|=56
|A_1C_1|=24
k=4
|A_1B_1|=56
|A_1C_1|=24
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 25.2 (1 pkt)
Jaką długość ma najdłuższy bok trójkąta ABC?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 26. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20843 |
Podpunkt 26.1 (2 pkt)
W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości boków
AB, AC i
BC.
Oblicz odległość środka wysokości CD tego trójkąta od jego ramienia.
Dane
|AC|=13
|BC|=13
|AB|=10
|BC|=13
|AB|=10
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 27. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20867 |
Podpunkt 27.1 (1 pkt)
Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 12 cm.
Spodek najkrótszej wysokości dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki w stosunku
9:16.
Podaj długość najkrótszego boku tego trójkąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 27.2 (1 pkt)
Podaj długość najdłuższego boku tego trójkąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 28. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20868 |
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli
przeciwprostokątną na dwa odcinki, z których jeden jest o 9 krótszy od tej wysokości,
a drugi o 18 od niej dłuższy.
Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 28.2 (1 pkt)
Oblicz długość najkrótszej wysokości tego trójkąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 29. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20869 |
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
Boki trójkąta rozwartokątnego ABC mają długości:
|AB|=34, |BC|=20 i
|AC|=18. Na boku AB zaznaczono
punkt D w taki sposób, że
|\sphericalangle CDB|=|\sphericalangle ACB|.
Oblicz długość odcinka CD.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 29.2 (1 pkt)
Oblicz długość odcinka DB.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 30. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20870 |
Podpunkt 30.1 (2 pkt)
Podstawa AB trójkąta ostrokątnego ma długość 28 cm,
a wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość 26 cm. W ten trójkąt
wpisano kwadrat tak, że dwa jego wierzchołki należą do jego podstawy AB,
a dwa - do boków AC i BC.
Oblicz długość boku tego kwadratu.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 31. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20872 |
Podpunkt 31.1 (2 pkt)
Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie
S, przez który poprowadzoną prostą prostopadłą do obu podstaw trapezu.
Prosta ta przecięła krótszą podstawę CD w punkcie E,
a podstawę dłuższą AB w punkcie F tak, że
|EF|=24, |SE|=4 i
|EC|=7.
Oblicz długość przekątnej AC tego trapezu.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 32. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20724 |
Podpunkt 32.1 (2 pkt)
« Punkt M dzieki bok AB
trójkąta na rysunku w stosunku 1:k:
Oblicz |BN|:|CN|.
Dane
|AC|=10
|BC|=26
k=5
|BC|=26
k=5
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 33. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30301 |
Podpunkt 33.1 (2 pkt)
«« Trójkąt na rysunku jest równoramienny o podstawie AB:
Oblicz |MN|.
Dane
|AB|=32
|BC|=34
|BC|=34
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 33.2 (2 pkt)
Oblicz |MP|.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 34. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30302 |
Podpunkt 34.1 (2 pkt)
« Trójkąt na rysunku jest równoboczny:
Wyznacz skalę podobieństwa \triangle EFS do \triangle AEF.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 34.2 (1 pkt)
Obwód trójkąta SEF jest równy
L. Wyznacz |AB| i wynik
zapisz w postaci a+b\sqrt{c}, gdzie
a,b,c\in \mathbb{C} i c
jest najmniejsze możliwe.
Podaj a.
Dane
L_{SEF}=16
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 34.3 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 35. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30298 |
Podpunkt 35.1 (4 pkt)
« Trójkąt ABC jest prostokątny i jedna z jego
przyprostokątnych jest dwa razy dłuższa od drugiej, a wysokość
CD ma długość d.
Wiedząc, że |\sphericalangle C|=90^{\circ} oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Dane
d=6\sqrt{5}=13.416407864998738
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 36. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30021 |
Podpunkt 36.1 (4 pkt)
« W trójkąt prostokątny wpisano okrąg, który jest styczny do
przeciwprostokątnej w punkcie M.
Oblicz |AM|.
Dane
|AC|=16
|AB|=30
|AB|=30
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)