Zadania dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
określenie funkcji trygonometrycznych
definicja sinusa i cosinusa
definicja tangensa i cotangensa
funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
Zadanie 1.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10638
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Kąt \alpha jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym.
Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość c, a
\cos\alpha=\frac{1}{m}.
Oceń prawdziwość poniższych zdań:
Dane
m=8 c=16
Odpowiedzi:
T/N : \sin\alpha=\frac{7}{8}
T/N : jedna z przyprostokątnych jest 8 razy krótsza od przeciwprostokątnej
Zadanie 2.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10627
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Kąt \alpha spełnia warunek
\alpha\in(0^{\circ},90^{\circ}).
Oblicz \sin\alpha i zapisz wynik w najprostszej postaci
\frac{a\sqrt{b}}{c}, gdzie
a,b,c\in\mathbb{N}.
Podaj liczby a, b i
c.
Dane
\tan\alpha=\frac{84}{13}=6.46153846153846
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
c
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 3.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10632
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Kąt \alpha jest ostry.
Oblicz \sin\alpha i zapisz wynik w najprostszej nieskracalnej
postaci \frac{a\sqrt{b}}{c}, gdzie
a,b,c\in\mathbb{N}.
Podaj liczby a, b i
c.
Dane
\cos\alpha=\frac{13}{85}=0.15294117647059
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
c
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 4.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10626
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Kąty ostre \alpha i
\beta trójkąta prostokątnego spełniają warunek
\frac{\sin \alpha}{\sin\beta}=\frac{\sqrt{m}}{m}.
Oblicz \cos\alpha i zapisz wynik w najprostszej nieskracalnej
postaci \frac{a\sqrt{b}}{c}, gdzie
a,b,c\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby a, b i
c.
Dane
m=17
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
c
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 5.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10631
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Wiadomo, że kąt \alpha jest ostry.
Zapisz wartość wyrażenia \sin \alpha-\cos\alpha w najprostszej
nieskracalnej postaci \frac{a\sqrt{b}}{c}, gdzie
a,b,c\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby a, b i
c.
Dane
\sin\alpha=\frac{5\sqrt{41}}{41}=0.78086880944303
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
c
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 6.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10640
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Wiadomo, że kąt \alpha jest ostry.
Oblicz \sin\alpha i zapisz wynik w najprostszej nieskracalnej
postaci \frac{a\sqrt{b}}{c}, gdzie
a,b,c\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby a, b i
c.
Dane
\tan\alpha=\frac{5}{4}=1.25000000000000
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
c
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 7.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10641
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Wiadomo, że kąt \alpha jest ostry.
Oblicz \cos\alpha i zapisz wynik w najprostszej nieskracalnej
postaci \frac{a\sqrt{b}}{c}, gdzie
a,b,c\in\mathbb{Z}.
Wiadomo, że kąt \alpha jest ostry.
Oblicz wartość wyrażenia \sin\alpha+\cos\alpha i zapisz wynik
w najprostszej nieskracalnej postaci \frac{a\sqrt{b}}{c}, gdzie
a,b,c\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby a, b i
c.
Dane
\tan\alpha=\frac{2}{7}=0.28571428571429
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
c
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 9.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10617
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Wiadomo, że kąt \alpha jest ostry.
Oblicz wartość wyrażenia 1+\tan\alpha\cdot\cos\alpha
i zapisz wynik w najprostszej nieskracalnej postaci
\frac{a+b\sqrt{c}}{d}, gdzie
a,b,c,d\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby a, b,
c i d.
Dane
\sin\alpha=\frac{6\sqrt{61}}{61}=0.76822127959738
Odpowiedzi:
a
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
b
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
c
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
d
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 10.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10614
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Jeżeli \alpha jest kątem ostrym.
Oblicz wartość wyrażenia
\frac{3\cos\alpha-2\sin\alpha}{\sin\alpha-5\cos\alpha}.
Dane
\tan\alpha=\frac{9}{8}=1.12500000000000
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 11.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10621
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Wiadomo, że kąt \alpha jest ostry oraz
\cos\alpha=x.
Zatem \cos(90^{\circ}-\alpha) jest równe:
Dane
\alpha=64^{\circ}
Odpowiedzi:
A.1-x^2
B.\sqrt{1-x}
C.1+x^2
D.\sqrt{1-x^2}
Zadanie 12.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10624
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Pod jakim kątem padają na powierzchnię Ziemi promienie słoneczne, jeśli długość
cienia stojącego człowieka jest m razy mniejsza
od jego wzrostu?
Podaj wynik zaokrąglony do całych stopni.
Dane
m=7
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 13.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10637
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Drabinę o długości a metrów oparto o pionowy mur,
a jej podstawę umieszczono w odległości m metrów od
tego muru.
Kąt \alpha, pod jakim ustawiono drabinę,
spełnia warunek:
Dane
a=5.0 m=3.0
Odpowiedzi:
A.45^{\circ}<\alpha<60^{\circ}
B.0^{\circ}<\alpha<30^{\circ}
C.60^{\circ}<\alpha<90^{\circ}
D.30^{\circ}<\alpha<45^{\circ}
Zadanie 14.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10620
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Kąt \alpha jest kątem ostrym i
\tan \alpha=\frac{k}{k+2}.
Wówczas:
Dane
k=13
Odpowiedzi:
A.\alpha\in(35^{\circ},39^{\circ})
B.\alpha\in(43^{\circ},49^{\circ})
C.\alpha\in(39^{\circ},43^{\circ})
D.\alpha\in(49^{\circ},53^{\circ})
Zadanie 15.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10609
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Kąt \alpha jest ostry i
\sin \alpha=\frac{1}{m}.
Wówczas:
Dane
m=15
Odpowiedzi:
A.\cos\alpha=\frac{\sqrt{226}}{15}
B.\cos\alpha=\frac{\sqrt{223}}{15}
C.\cos\alpha > \frac{\sqrt{223}}{15}
D.\cos\alpha \lessdot \frac{\sqrt{223}}{15}
Zadanie 16.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10672
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
« Przeciwprostokątna trójkąta ma długość c, zaś
\alpha jest jednym z dwóch kątów ostrych tego trójkąta.
Oblicz długość przyprostokątnej przyległej do kąta \alpha.
W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych jest równa
14, zaś długość przeciwprostokątnej jest równa
18.
Oblicz tangens mniejszego kąta ostrego w tym trójkącie.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 25.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10651
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
W trapezie prostokątnym kąt ostry ma miarę
60^{\circ}, a podstawy mają długości
8 i 10.
Oblicz długość wysokości tego trapezu.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 26.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10648
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
Oblicz długość wysokości trapezu równoramiennego o kącie ostrym
60^{\circ} i ramieniu długości
10\sqrt{5}.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 27.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10650
Podpunkt 27.1 (1 pkt)
Oblicz tangens najmiejszego kąta w trójkącie prostokątnym o bokach długości \frac{11}{2},
30, \frac{61}{2}.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 28.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10649
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
« W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma długość
40, a najkrótszy 24.
Oblicz tangens największego kąta ostrego tego trójkąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 29.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10680
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
Oblicz sinus kąta ostrego utworzonego w trójkącie prostokątnym przez boki o długościach
7 i 8.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 30.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10646
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
« Na płaszczyźnie dane są punkty
A=\left(26\sqrt{2},26\sqrt{6}\right),
B=\left(0,0\right) i
C=\left(26\sqrt{2},0\right).
Kąt CBA ma miarę:
Odpowiedzi:
A.60^{\circ}
B.30^{\circ}
C.75^{\circ}
D. około 55^{\circ}
Zadanie 31.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10676
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \alpha
i \beta, w którym
\sin\alpha=\frac{\sqrt{105}}{15}.
Oblicz \cot \beta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 32.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10677
Podpunkt 32.1 (1 pkt)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości
7 i 8.
Oblicz cosinus większego z kątów ostrych tego trójkąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 33.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10645
Podpunkt 33.1 (1 pkt)
» Dane są długości boków |BC|=8 i
|AC|=7 trójkąta prostokątnego
ABC o kącie ostrym \beta.
Oblicz \cos\beta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 34.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11539
Podpunkt 34.1 (1 pkt)
Punkt A zaznaczony na rysunku ma współrzędne
A=(-6,9):
Oblicz tangens kąta \alpha zaznaczonego na rysunku.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 35.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20269
Podpunkt 35.1 (2 pkt)
» Kąt \alpha jest ostry. Oblicz średnią
arytmetyczną liczb a=\sin\alpha,
b=\frac{1}{2} i
c=\frac{1}{3}\tan\alpha.
Dane
\cos\alpha=\frac{5}{7}=0.71428571428571
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 36.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20262
Podpunkt 36.1 (2 pkt)
W pewnym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość
a i b, a jeden z kątów
ostrych tego trójkąta ma miarę \alpha.
Oblicz \sin\alpha\cdot \cos\alpha.
Dane
a=9 b=8
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 37.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20257
Podpunkt 37.1 (2 pkt)
» Kąt \beta jest ostry. Oblicz
\sin\beta+\cos\beta.
Dane
\tan\beta=\frac{13}{84}=0.15476190476190
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 38.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20256
Podpunkt 38.1 (2 pkt)
« Kąt \alpha jest ostry oraz
\tan\alpha+a\cot\alpha=b.
Oblicz wartość wyrażenia \sin\alpha\cdot \cos\alpha.
Dane
a=49 b=14
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 39.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20255
Podpunkt 39.1 (2 pkt)
« Kąt \beta jest ostry. Oblicz wartość wyrażenia
3+2\tan^2\beta.
Dane
\sin\beta=\frac{3}{8}=0.37500000000000
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 40.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20254
Podpunkt 40.1 (2 pkt)
Kąt \beta jest ostry. Oblicz wartość wyrażenia
\sin^2\beta-3\cos^2\beta.
Dane
\sin\beta=\frac{\sqrt{3}}{8}=0.21650635094611
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 41.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20274
Podpunkt 41.1 (2 pkt)
Kąt \alpha jest ostry. Oblicz wartość wyrażenia
2+\sin^3\alpha+\sin\alpha\cdot \cos^2\alpha.
Dane
\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{6}=0.44095855184410
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 42.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20727
Podpunkt 42.1 (2 pkt)
» Przekątne prostokąta maja długość d i
przecinają się pod kątem o mierze \alpha.
Oblicz odległość wierzchołka prostokąta od przekątnej, do której wierzchołek
ten nie należy (funkcję trygonometryczną kąta przyjmij z dokładnością do
trzech miejsc po przecinku).
Dane
d=128 \alpha=49^{\circ}
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 43.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20728
Podpunkt 43.1 (2 pkt)
W równoległoboku dany jest sinus kąta ostrego \alpha
oraz wysokość h opuszczona na dłuższy bok tego
równoległoboku. Stosunek długości sąsiednich boków tego równoległoboku
wynosi k.
Oblicz miarę stopniową największego kąta tego trójkąta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 51.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20282
Podpunkt 51.1 (2 pkt)
W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku
A jest prosty, a kąt przy wierzchołku
B ma miarę \beta.
Oblicz \tan \beta.
Dane
\sin\beta=\frac{1}{9}=0.11111111111111
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 52.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20275
Podpunkt 52.1 (2 pkt)
Kąty \alpha i \beta
są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym.
Oblicz \tan\alpha\cdot \sin\beta.
Dane
\cos\alpha=\frac{6}{7}=0.85714285714286
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 53.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20289
Podpunkt 53.1 (2 pkt)
Przyprostokątne trójkąta mają długości 7 i
8, a jeden z kątów ostrych tego trójkąta ma miarę
\beta.
Oblicz \sin\beta\cdot \cos\beta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 54.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20807
Podpunkt 54.1 (2 pkt)
« Punkt D należy do podstawy
AB trójkąta równoramiennego
ABC i dzieli tę podstawę w stosunku
|AD|:|DB|=10:1. Odcinek
CDjest 11 razy dłuższy od odcinka
DB.