Tożsamości trygonometryczne
Zadania dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
|
| Zadanie 1. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10642 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Kąt \alpha jest ostry oraz
a\sin\alpha-\sqrt{b}\cos\alpha=0.
Oblicz \tan\alpha i zapisz wynik w najprostszej nieskracalnej
postaci \frac{m\sqrt{n}}{k}, gdzie
m,n,k\in\mathbb{N}.
Podaj liczby m, n i k.
Dane
a=16
b=7
b=7
Odpowiedzi:
| m | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| n | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| k | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 2. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11507 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Kąt \alpha jest ostry oraz
\tan\alpha=\frac{\sqrt{110}}{21}.
Oblicz wartość wyrażenia
\frac{2\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha+2\sin\alpha}
i zapisz wynik w najprostszej nieskracalnej
postaci \frac{a+b\sqrt{c}}{d}, gdzie
a,b,c, d\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby a, b, c i d.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| c | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| d | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 3. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10611 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Kąt \alpha jest ostry.
Oblicz wartość wyrażenia \frac{2-\cos\alpha}{2+\cos\alpha}
i zapisz wynik w najprostszej nieskracalnej postaci
\frac{a+b\sqrt{c}}{d}, gdzie
a,b,c, d\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby a, b, c i d.
Dane
\tan\alpha=\frac{4}{5}=0.80000000000000
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| c | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| d | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 4. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10634 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
« Kąt \alpha należy do przedziału
(90^{\circ},180^{\circ}) i zachodzi równość
12\cos^2\alpha-4=\frac{5}{12}.
Oblicz \sin\alpha
i zapisz wynik w najprostszej nieskracalnej postaci
\frac{a\sqrt{b}}{c}, gdzie
a,b,c\in\mathbb{N}.
Podaj liczby a, b i c.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| c | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 5. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10622 |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Kąt \alpha należy do przedziału
(90^{\circ},180^{\circ}) i zachodzi równość
\cos\alpha=-\frac{1}{m}.
Oblicz \tan\alpha i zapisz wynik w najprostszej
postaci a\sqrt{b}, gdzie
a,b\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby a i b.
Dane
m=16
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 6. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10618 |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
Kąt \alpha jest ostry i
\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{a}.
Oblicz wartość wyrażenia \cos^2\alpha-2.
Dane
a=12
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 7. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10623 |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
» Wiadomo, że \alpha i \beta
są miarami kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz
m\sin^2\alpha+\cos^2\beta=1.
Oblicz \tan\alpha.
Dane
m=100
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 8. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11388 |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
« Kąt \alpha jest kątem ostrym.
Oblicz wartość wyrażenia (\sin\alpha-\cos\alpha)^2.
Dane
\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{5}{4}=1.25000000000000
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 9. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10615 |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
« Kąt \alpha jest ostry i
\sin\alpha=\frac{\sqrt{a}}{b}.
Oblicz wartość wyrażenia 2\cos^2{\alpha}-1.
Dane
a=8
b=7
b=7
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 10. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10635 |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Dana jest równość
\sin^2\alpha(1+\cos^2\alpha)+\cos^4\alpha-5=m
gdzie \alpha jest kątem ostrym.
Oblicz m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 11. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10630 |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
» Kąty \alpha i \beta
trójkata prostokątnego są ostre. Wówczas wyrażenie
\frac{6\cos\alpha\cdot (4-4\sin^2\beta)\cdot \tan\alpha}
{3\sin^2\alpha\cdot \cos\beta}
jest równe:
Odpowiedzi:
| A. 8 | B. 8\cos\alpha |
| C. 2\sin\alpha | D. 8\tan\alpha |
| Zadanie 12. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10633 |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
« Oblicz wartość wyrażenia
\log{\tan 35^{\circ}}+\log{\tan 45^{\circ}}+\log{\tan 55^{\circ}}
.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 13. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10644 |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Wiadomo, że 0^{\circ}\lessdot \alpha <90^{\circ} oraz
\tan \alpha=a\sin\alpha.
Oblicz \cos\alpha.
Dane
a=10
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 14. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11538 |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Kąt \alpha jest ostry i spełnia warunek
\sin\alpha=\frac{3}{5}.
Oblicz wartość wyrażenia \sin^2\alpha-\cos^2\alpha.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 15. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20265 |
Podpunkt 15.1 (2 pkt)
» Oblicz \tan\alpha wiedząc, że
a\sin^2\alpha+b\cos^2\alpha=c i
\alpha\in(0^{\circ},90^{\circ}).
Dane
a=2
b=11
c=8
b=11
c=8
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 16. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20264 |
Podpunkt 16.1 (2 pkt)
Oblicz wartość wyrażenia
\frac{a\sin\alpha+b\cos\alpha}
{b\cos\alpha+c\sin\alpha}
,
jeśli wiadomo, że \alpha jest kątem ostrym
oraz \tan\alpha=m.
Dane
a=5
b=6
c=1
m=6
b=6
c=1
m=6
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 17. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20268 |
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
Dla pewnego kąta \alpha\in\langle 0,90^{\circ})
funkcje trygonometryczne sinus i cosinus mają wartości
\sin\alpha=x-b i
\cos\alpha=x+b.
Oblicz \tan\alpha.
Dane
b=\frac{1}{5}=0.20000000000000
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 18. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20263 |
Podpunkt 18.1 (2 pkt)
« Podaj wartość \tan\alpha wiedząc, że
\frac{a\sin\alpha+b\cos\alpha+1}{3\sin\alpha-7\cos\alpha-4}=-\frac{1}{4}
:
Dane
a=-1
b=1
b=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 19. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20261 |
Podpunkt 19.1 (2 pkt)
« Kąty \alpha i \beta są
kątami ostrymi w pewnym trójkącie prostokątnym oraz
\sin\alpha+\sin\beta=p.
Oblicz \sin\alpha\cdot \sin\beta.
Dane
p=\frac{7\sqrt{25}}{25}=1.40000000000000
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 20. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20271 |
Podpunkt 20.1 (2 pkt)
« Kąt \alpha jest ostry i spełnia równość
\frac{a}{\sin^2\alpha}+\frac{a}{\cos^2\alpha}=\frac{b}{c}
.
Oblicz wartość wyrażenia \sin\alpha\cdot \cos\alpha.
Dane
a=2
b=36
c=2
b=36
c=2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 21. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20734 |
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
Kąt \alpha jest ostry. Oblicz \cos\alpha.
Dane
\sin\alpha=\frac{28}{53}=0.52830188679245
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 21.2 (1 pkt)
Oblicz \tan\alpha.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 22. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20737 |
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
Kąt \alpha jest ostry. Oblicz \sin\alpha.
Dane
\tan\alpha=\frac{45}{28}=1.60714285714286
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 22.2 (1 pkt)
Oblicz \cos\alpha.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 23. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20739 |
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
Kąt \alpha spełnia warunek:
\alpha\in(90^{\circ},180^{\circ}).
Oblicz \cos\alpha.
Dane
\sin\alpha=\frac{\sqrt{301}}{43}=0.40347329239296
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 23.2 (1 pkt)
Oblicz \tan\alpha.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 24. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20735 |
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
Kąt \alpha spełnia warunek:
\alpha\in(90^{\circ},180^{\circ}).
Oblicz \sin\alpha.
Dane
\tan\alpha=-\frac{28}{45}=-0.62222222222222
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 24.2 (1 pkt)
Oblicz \cos\alpha.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 25. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20736 |
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
Kąt \alpha spełnia warunek:
\alpha\in(0^{\circ},90^{\circ})\cup(90^{\circ},180^{\circ}).
Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia
\cos\alpha+\tan\alpha.
Dane
\sin\alpha=\frac{\sqrt{40}}{7}=0.90350790290525
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 25.2 (1 pkt)
Wyznacz największą wartość wyrażenia
\cos\alpha+\tan\alpha.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 26. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20742 |
Podpunkt 26.1 (2 pkt)
« Kąt \alpha jest kątem rozwartym. Wyznacz rozwiązanie
równania
(x-b)\cos^2\alpha=x+\tan\alpha+1-b
.
Dane
b=6
\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}=0.70710678118655
\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}=0.70710678118655
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 27. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20743 |
Podpunkt 27.1 (2 pkt)
« Kąt \alpha jest kątem ostrym oraz zachodzi
równość a\cos^2\alpha+b\sin^2\alpha=c.
Wyznacz wartość wyrażenia (\tan\alpha+\cot\alpha)^2.
Dane
a=2
b=6
c=5
b=6
c=5
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 28. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20744 |
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
« Kąty \alpha i
\beta są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym.
Oblicz \sin\alpha\cdot \sin\beta.
Dane
\sin\alpha+\sin\beta=\frac{12}{11}=1.09090909090909
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 28.2 (1 pkt)
Oblicz \cos\alpha\cdot \cos\beta.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 29. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20266 |
Podpunkt 29.1 (2 pkt)
» Wiedząc, że \tan\alpha=a, oblicz
\frac{3\sin\alpha\cos\alpha-2\sin^2\alpha}
{7\cos^2\alpha-3\sin\alpha\cos\alpha}
.
Dane
a=\frac{2}{11}=0.181818181818
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 30. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20267 |
Podpunkt 30.1 (2 pkt)
« Oblicz wartość wyrażenia
(a-a\sin^2\alpha)(1+\tan^2\alpha)
.
Dane
a=\frac{1}{9}=0.11111111111111
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 31. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20253 |
Podpunkt 31.1 (2 pkt)
Wiadomo, że x=\sin\alpha. Przedstaw wyrażenie
2\tan^{2}{\alpha}+2 w zależności od
x.
Wynik przestaw w postaci ułamka właściwego nieskracalnego. Podaj licznik tego ułamka.
Dane
\alpha=85^{\circ}
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 32. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-30303 |
Podpunkt 32.1 (2 pkt)
« Kąt \alpha jest rozwarty i spełnia warunek:
\sin\alpha+\cos\alpha=m.
Oblicz \sin\alpha-\cos\alpha.
Dane
m=\frac{7}{17}=0.41176470588235
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 32.2 (2 pkt)
Oblicz \tan\alpha.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)