Równania i nierówności liniowe z wartością bezwzględną
Zadania dla klasy drugiej liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
|
| Zadanie 1. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20817 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie \frac{|x-2\sqrt{3}|-1}{3}=-2+7\sqrt{3}.
Zapisz rozwiązania w postaci a+b\sqrt{3}, gdzie
a,b\in\mathbb{Z}.
Podaj współczyniki a i b mniejszego z rozwiązań.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
Podpunkt 1.2 (1 pkt)
Podaj współczyniki a i b
większego z rozwiązań.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 2. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20818 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie \frac{|x+3\sqrt{3}|-2}{\sqrt{3}}=9.
Zapisz rozwiązania w postaci a+b\sqrt{3}, gdzie
a,b\in\mathbb{Z}.
Podaj współczyniki a i b mniejszego z rozwiązań.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
Podpunkt 2.2 (1 pkt)
Podaj współczyniki a i b
większego z rozwiązań.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 3. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20452 |
Podpunkt 3.1 (2 pkt)
Liczba n jest najmniejszą liczbą całkowitą
spełniającą równanie
2\cdot|x+60|=|x-36|
.
Podaj |n|.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 4. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20453 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
» Rozwiąż równanie
\left||2x+5|-3\right|=5.
Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 4.2 (1 pkt)
Podaj największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 5. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20047 |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
\left|\left|2x+a-1\right|-7\right|=4
.
Podaj sumę najmniejszego i największego z rozwiązań.
Dane
a=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 5.2 (1 pkt)
Podaj sumę wszystkich rozwiązań.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 6. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20048 |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
« Rozwiąż równanie |x-3+a|-2|x+a|=1.
Podaj najmniejsze z rozwiązań.
Dane
a=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 6.2 (1 pkt)
Podaj największe z rozwiązań.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 7. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20046 |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
\sqrt{x^2+2ax+a^2}-2|x+a+4|+x+a+8=0
.
Podaj najmniejsze z rozwiązań.
Dane
a=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Spośród wszystkich pozostałych rozwiązań podaj najmniejsze.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 8. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20045 |
Podpunkt 8.1 (2 pkt)
« Dla jakich wartości parametru m równanie
\left||x|-2+m\right|=3 ma dokładnie trzy
rozwiązania.
Podaj największą możliwą wartość parametru m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 9. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20044 |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
« Dla jakich wartości parametru m równanie
|x-1|=m+2 ma dokładnie dwa rozwiązania o
przeciwnych znakach?
Ile całkowitych wartości m ze zbioru (-10,10) spełnia warunki zadania?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę tych wszystkich
końców tych przedziałów, które są liczbami.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 10. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20043 |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
« Rozwiąż równanie |x+3+a|+|a+x-1|=x+18+a.
Podaj najmniejsze z rozwiązań.
Dane
a=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Podaj największe z rozwiązań.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 11. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20033 |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
\left|\left|x+4-\frac{a}{2}\right|-3\right|\leqslant 2
.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców tych przedziałów, który jest liczbą.
Dane
a=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 11.2 (1 pkt)
Podaj sumę tych wszystkich końców przedziałów, które są liczbami.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 12. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20034 |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
\left|\left|x-1-a\right|-7\right| > 3
.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę kwadratów najmniejszego i największego z tych końców przedziałów, które są liczbami.
Dane
a=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Podaj sumę tych wszystkich końców przedziałów, które są liczbami.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 13. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20035 |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
» Rozwiąż nierówność
|ax-2|+|ax+1|\geqslant 3ax-3.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców tych przedziałów, który jest liczbą.
Dane
a=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Podaj największy z wszystkich tych końców przedziałów, które są liczbami.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 14. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20036 |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
|2x-a|-\left|x-\frac{a}{2}+\frac{13}{2}\right|\geqslant -2x+a-3
.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z tych wszystkich końców przedziałów, które są liczbami.
Dane
a=4
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
Podaj największy z tych wszystkich końców przedziałów, które są liczbami.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 15. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20037 |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
» Rozwiąż nierówność
\sqrt{x^2-2ax-4x+4+a^2} \lessdot 5-3|x-2-a|
.
Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj prawy koniec tego przedziału.
Dane
a=-3
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 15.2 (1 pkt)
Podaj środek tego przedziału.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 16. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20038 |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
» Rozwiąż nierówność
|4x+8-2a|-|2x-a-3| \lessdot 2
.
Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj lewy koniec tego przedziału.
Dane
a=4
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 16.2 (1 pkt)
Podaj długość tego przedziału.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 17. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20039 |
Podpunkt 17.1 (2 pkt)
« Rozwiąż nierówność
\frac{|x+\sqrt{3}|}{-\sqrt{3}-x}+\sqrt[7]{625\cdot(-125)}\geqslant x+5+2\sqrt{3}
.
Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj prawy koniec tego przedziału.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 18. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20040 |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
\left|
\left|
\left|x+1\right|-1
\right|-1
\right|\leqslant 1.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców tych przedziałów, który jest liczbą.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 18.2 (1 pkt)
Podaj największy z końców tych przedziałów, który jest liczbą.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 19. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20041 |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność
|2x+6|+|x| > 5
.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców tych przedziałów, który jest liczbą.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 19.2 (1 pkt)
Podaj największy z tych końców przedziałów, który jest liczbą.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 20. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20817 |
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie \frac{|x-2\sqrt{3}|-1}{3}=-2+7\sqrt{3}.
Zapisz rozwiązania w postaci a+b\sqrt{3}, gdzie
a,b\in\mathbb{Z}.
Podaj współczyniki a i b mniejszego z rozwiązań.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
Podpunkt 20.2 (1 pkt)
Podaj współczyniki a i b
większego z rozwiązań.
Odpowiedzi:
| a | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 21. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20886 |
Podpunkt 21.1 (2 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem
f(x)=x+3. Posługując się wykresami odpowiednich
funkcji rozwiąż nierówność |f(x)|\leqslant f(x+4).
Podaj najmniejszą liczbę spełniającą tę nierówność.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 21.2 (2 pkt)
Dla jakich wartości parametru m wykres funkcji
f przecina wykres funkcji liniowej
h(x)=(1+3m)x+3 w punkcie
P=(-3,0)?
Podaj najmniejsze możliwe m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 22. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20887 |
Podpunkt 22.1 (2 pkt)
» Dana jest funkcja liniowa f(x)=x+3.
Posługując się wykresami odpowiednich funkcji rozwiąż nierówność
|f(x)|\geqslant f(x+4).
Podaj największą liczbę spełniającą tę nierówność.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 22.2 (2 pkt)
Wyznacz wartość parametru m tak, aby funkcje liniowe
f i h, gdzie
h(x)=(1-5m)x+6 miały to samo miejsce zerowe.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 23. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20890 |
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie |x-3|-10=0.
Podaj najmniejsze z rozwiązań tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 23.2 (1 pkt)
Podaj największe z rozwiązań tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 24. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20891 |
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie \left|-2+\frac{7}{8}x\right|-15=0.
Podaj najmniejsze z rozwiązań tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 24.2 (1 pkt)
Podaj największe z rozwiązań tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 25. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20892 |
Podpunkt 25.1 (2 pkt)
Rozwiąż równanie
|x+5|-5(|5+x|-1)=4|-x-5|+2|-5-x|-45.
Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedzi:
| x_{min} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| x_{max} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 26. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20893 |
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
\frac{3|-7-x|-4}{2}-\frac{6-|x+7|}{5}=7\frac{3}{5}-|7+x|.
Podaj najmniejsze i największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 26.2 (1 pkt)
Podaj największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 27. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30014 |
Podpunkt 27.1 (2 pkt)
«« Wyznacz te wartości parametru m, dla których
równanie |2x+6|-x=m-6a ma dwa rozwiązania
ujemne.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich tych końców przedziałów, które są liczbami.
Dane
a=2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 27.2 (2 pkt)
Podaj największy z tych wszystkich końców tych przedziałów, które są liczbami.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 28. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30011 |
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
«« Rozwiąż nierówność
|x+4+2a|+\left|\frac{x}{2}-1+a\right|\leqslant 6
.
Podaj najmniejsze rozwiązanie tej nierówności.
Dane
a=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 28.2 (1 pkt)
Ile liczb całkowitych z przedziału
\langle -10,10\rangle spełnia tę nierówność?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 29. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30012 |
Podpunkt 29.1 (2 pkt)
» Rozwiąż nierówność
|x-2-3a|+\sqrt{(3a-x)^2+2x-6a+1} \lessdot 5.
Rozwiązanie zapisz w postaci przedziału. Podaj sumę końców tego przedziału.
Dane
a=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 29.2 (2 pkt)
Podaj długość tego przedziału.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 30. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30009 |
Podpunkt 30.1 (2 pkt)
« Rozwiąż nierówność
\sqrt{(x-2a)^2+4x+4-8a}\geqslant 11-\sqrt{(2a-x)^2-6x+9+12a}
.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj iloczyn wszystkich tych końców przedziałów, które są liczbami.
Dane
a=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 30.2 (2 pkt)
Podaj sumę wszystkich tych końców przedziałów, które są liczbami.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 31. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30010 |
Podpunkt 31.1 (2 pkt)
«« Rozwiąż nierówność
|2-2x+2a|-4\leqslant |11+3x-3a|
.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj najmniejszy z końców tych przedziałów, który jest liczbą.
Dane
a=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 31.2 (2 pkt)
Ile liczb całkowitych z przedziału
\langle -10,10\rangle spełnia tę nierówność?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 32. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30013 |
Podpunkt 32.1 (2 pkt)
» Przeprowadź dyskusję rozwiązalności równania
|x-2|+|x+1|+a=m w zależności od parametru
m.
Podaj najmniejsze możliwe m, dla którego równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Dane
a=1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 32.2 (1 pkt)
Dla ilu liczb całkowitych m z przedziału
\langle -10,10\rangle równanie to
ma dokładnie dwa rozwiązania?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 32.3 (1 pkt)
Dla pewnej wartości m równanie to ma nieskończenie
wiele rozwiązań, które zawarte są w przedziale
\langle p,q\rangle.
Podaj q-p.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)