Funkcja kwadratowa - równania kwadratowe
Zadania dla klasy drugiej liceum ogólnokształcącego - poziom podstawowy
- funkcja kwadratowa
- równania kwadratowe
- wyróżnik trójmianu kwadratowego
- pierwiastki równania kwadratowego
| Zadanie 1. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11065 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x)=\frac{x^2+bx+c}{x-d}.
Oceń prawdziwość poniższych zdań:
Dane
b=-4
c=-77
d=-7
c=-77
d=-7
Odpowiedzi:
| T/N : f przyjmuje wartości dodatnie | T/N : f nie ma miejsc zerowych |
| T/N : f ma jedno miejsce zerowe |
| Zadanie 2. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10972 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Wiadomo, że ax^2+bx+1=0. Jest to możliwe tylko wówczas,
gdy x=..........
Podaj brakującą liczbę.
Dane
a=64
b=-16
b=-16
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 3. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11058 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
« Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem
y=(2x+a)^2+b należy do prostej o równaniu
y=......\cdot x.
Podaj brakującą liczbę.
Dane
a=9
b=-\frac{1}{2}=-0.5000000000
b=-\frac{1}{2}=-0.5000000000
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 4. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10970 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
W turnieju szachowym, w którym uczestniczy ......... szachistów, każdy uczestnik rozgrywa jedną partię z każdym
innym uczestnikiem. Łącznie rozegrano w tym turnieju 1176
partii szachów.
Podaj brakującą liczbę.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 5. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10975 |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
Liczba ujemna spełnia równanie x^2+bx+c=0. Zapisz kwadrat
tej liczby w najprostszej postaci m+n\sqrt{k}, gdzie
m,n,k\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby m, n i k.
Dane
b=-2
c=-128
c=-128
Odpowiedzi:
| m | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| n | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| k | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 6. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10976 |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
» Równanie (2x-a)(x+2)=(2x-a)(2x-b) ma dwa
rozwiązania.
Wyznacz najmniejsze (x_{min}) i największe (x_{max}) rozwiązanie tego równania.
Dane
a=9
b=3
b=3
Odpowiedzi:
| x_{min} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| x_{max} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 7. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10969 |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Punkt M=(a,9\cdot a) należy do wykresu funkcji
f(x)=(1-a)x-a.
Wyznacz najmniejsze możliwe i największe możliwe a.
Odpowiedzi:
| a_{min} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| a_{max} | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 8. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10971 |
Podpunkt 8.1 (0.2 pkt)
Równanie x^2-(k-a)x+b=0 z niewiadomą
x ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy parametr
k należy do zbioru A. Zapisz zbiór
Aw postaci sumy przedziałów.
Zbiór A jest postaci:
Dane
a=6
b=9
b=9
Odpowiedzi:
| A. (p,+\infty) | B. (p,q) |
| C. (-\infty,p) | D. (-\infty,p)\cup(q,+\infty) |
| E. \langle p,q\rangle | F. (-\infty,p)\cap(q,+\infty) |
Podpunkt 8.2 (0.8 pkt)
Liczba p jest najmniejszym, a liczba q
największym z końców liczbowych tych przedziałów.
Podaj liczby p i q.
Odpowiedzi:
| p | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| q | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 9. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11066 |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
« Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji
f(x)=-x^2+bx+c jest punkt o współrzędnych
(p,q).
Wyznacz współczynniki b i c.
Dane
p=9
q=-6
q=-6
Odpowiedzi:
| b | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| c | = |
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie) |
| Zadanie 10. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10967 |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
» Pole powierzchni trójkąta prostokątnego jest równe
S, a jedna z jego przyprostokątnych jest o
d dłuższa od drugiej.
Oblicz kwadrat przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Dane
S=486
d=9
d=9
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 11. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10968 |
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Ile rozwiązań całkowitych posiada równanie
\left(x^2+a\right)\left(x^2+bx+c\right)=0.
Dane
a=5
b=3
c=-3
b=3
c=-3
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 12. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10974 |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Ile rozwiązań ma równanie (x^2+bx+c)\sqrt{a-x^2}=0?
Dane
a=9
b=-3
c=-18
b=-3
c=-18
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 13. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11077 |
Podpunkt 13.1 (0.2 pkt)
» Funkcja kwadratowa opisana wzorem
g(x)=mx^2-2x+-\frac{1}{3} ma dokładnie dwa miejsca zerowe wtedy
i tylko wtedy, gdy parametr m należy do pewnego przedziału liczbowego.
Przedział ten ma postać:
Odpowiedzi:
| A. (p,+\infty) | B. \langle p, q\rangle |
| C. (-\infty,p) | D. \langle p,+\infty) |
| E. (-\infty,p\rangle | F. (p,q) |
Podpunkt 13.2 (0.8 pkt)
Podaj mniejszy z końców liczbowych tego przedziału.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 14. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-10973 |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
» Dana jest funkcja
f(x)=
\begin{cases}
-\frac{1}{3}x-1,\qquad x\in(-\infty,-15) \\
x^2-220,\qquad x\in\langle -15,+\infty)
\end{cases}
.
Liczba rozwiązań równania f(x)=a jest równa:
Dane
a=8
Odpowiedzi:
| A. 2 | B. 1 |
| C. 3 | D. 0 |
| Zadanie 15. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-11550 |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Oblicz iloczyn wszystkich rozwiązań równania
(x^2-7)(x-2)^2(x^2-x-6)=0.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 16. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20369 |
Podpunkt 16.1 (2 pkt)
Jednym z rozwiązań równania 2x^2+px+q=0 jest liczba
a-\sqrt{b}.
Podaj drugie z rozwiązań.
Dane
p=-64
q=506
q=506
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 17. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20379 |
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
Równanie x^2+(m-2)x+a=0 ma dokładnie jedno
rozwiązanie. Wyznacz m.
Podaj najmniejsze możliwe m.
Dane
a=225
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 17.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 18. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20380 |
Podpunkt 18.1 (2 pkt)
« Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych nieparzystych wynosi
s.
Podaj mniejszą z tych liczb.
Dane
s=3874
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 19. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20381 |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
» Liczba i jej kwadrat dają sumę równą s.
Jaka to liczba?
Podaj najmniejszą możliwą wartość tej liczby.
Dane
s=4032
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 19.2 (1 pkt)
Podaj największą możliwą wartość tej liczby.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 20. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20382 |
Podpunkt 20.1 (2 pkt)
» Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest równy s,
a jedna z nich jest o 7 mniejsza od połowy
drugiej liczby.
Podaj większą z tych liczb.
Dane
s=3256
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 21. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20383 |
Podpunkt 21.1 (2 pkt)
Kwadrat liczby jest o s większy od potrojonej
wartości tej liczby. Znajdź tę liczbę.
Podaj najmniesze z rozwiązań.
Dane
s=5548
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 22. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20384 |
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
Rozwiąż układ równań:
\begin{cases}
y=x^2+ax-3 \\
y-ax=b
\end{cases}
.
Podaj najmniejsze możliwe x.
Dane
a=-3
b=6
b=6
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 22.2 (1 pkt)
Podaj najmmniejsze możliwe y.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 23. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20385 |
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
« Rozwiąż układ równań:
\begin{cases}
y=-\frac{1}{2}x^2+ax+b \\
y=-\frac{1}{2}x+2
\end{cases}
.
Podaj największe możliwe x.
Dane
a=-3
b=2
b=2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 23.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe y.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 24. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20386 |
Podpunkt 24.1 (2 pkt)
« Dana jest funkcja f(x)=a(x+1)^2-14400, której
jednym z miejsc zerowych jest liczba p.
Wyznacz a.
Dane
p=9
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 25. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20370 |
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
» Funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+c ma tylko
jedno miejsce zerowe. Oblicz b.
Podaj najmniejszą możliwą wartość b.
Dane
a=18.0
c=24.5
c=24.5
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 25.2 (1 pkt)
Podaj największą możliwą wartość b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 26. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20371 |
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie ax^2+\sqrt{5}bx+c=0.
Podaj najmniejszą z liczb spełniających to równanie.
Dane
a=1
b=-3
c=-90
b=-3
c=-90
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 26.2 (1 pkt)
Podaj największą z liczb spełniających to równanie.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 27. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20372 |
Podpunkt 27.1 (1 pkt)
« Rozwiąż równanie x^2-\frac{2+p}{\sqrt{2}}x+p=0.
Podaj najmniejszą z liczb spełniających to równanie.
Dane
p=6
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 27.2 (1 pkt)
Podaj największą z liczb spełniających to równanie.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 28. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20373 |
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
« Rozwiąż równanie
\frac{x}{ba-bx}=\frac{b}{x-a}
.
Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.
Dane
a=9
b=4
b=4
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 28.2 (1 pkt)
Podaj największe rozwiązanie tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 29. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20374 |
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie
\frac{x+a}{2}=\frac{x+1}{x}
.
Podaj najmniejsze rozwiązanie rozwiązanie tego równania.
Dane
a=-1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 29.2 (1 pkt)
Podaj sumę wszystkich rozwiązań tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 30. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20375 |
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
Rozwiąż równanie (p-x)\left(x^2+bx+c\right)=0.
Podaj najmniejsze rozwiązanie tego równania.
Dane
p=4
b=5
c=6
b=5
c=6
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 30.2 (1 pkt)
Podaj iloczyn wszystkich rozwiązań tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 31. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20376 |
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
« Rozwiąż równanie
\frac{ax+b}{2x}=\frac{ax+b}{x+1}
.
Podaj najmniejsze z rozwiązań tego równania.
Dane
a=-2
b=8
b=8
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 31.2 (1 pkt)
Podaj sumę wszystkich rozwiązań tego równania.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 32. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20377 |
Podpunkt 32.1 (1 pkt)
Wyznacz punkty przecięcia paraboli y=2x^2+bx+c
z prostą y=-2.
Podaj najmniejszą możliwą współrzędną punktu przecięcia się obu wykresów.
Dane
b=45
c=20
c=20
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 32.2 (1 pkt)
Podaj największą możliwą współrzędną punktu przecięcia się obu wykresów.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 33. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pp-20378 |
Podpunkt 33.1 (1 pkt)
» Wyznacz punkty przecięcia paraboli y=2x^2+bx+c
z prostą o równaniu y=x-1.
Podaj sumę współrzędnych tego z punktów przecięcia, który w układzie współrzędnych położony jest najbardziej na lewo.
Dane
b=-5
c=-81
c=-81
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 33.2 (1 pkt)
Podaj sumę współrzędnych tego z punktów przecięcia, który w układzie
współrzędnych położony jest najbardziej na prawo.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)