Dzielenie wielomianów z resztą
Zadania dla klasy drugiej liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
- wielomiany
- podzielność wielomianów
- dzielenie wielomianów z resztą
- schemat Hornera
- dzielenie pisemne wielomianów
| Zadanie 1. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10120 |
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Wyznacz tę wartość parametru m, dla której wielomian
P(x)=6x^3+ax^2-5x+m-1 dzieli się bez reszty przez
dwumian x-1.
Dane
a=-3
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 2. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10121 |
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu określonego wzorem
W(x)=2\frac{2}{3}x^3-2x^2+ax-0,25 przez
dwumian x+0,75.
Dane
a=-2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 3. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10122 |
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Wielomian W(x)=\sqrt{6}x^3-\sqrt{3}x^2-2\sqrt{3}
przy dzieleniu przez dwumian x-\frac{m}{a} daje
resztę, która jest liczbą wymierną. Wynika z tego, że liczba
m jest równa:
Dane
a=3
Odpowiedzi:
| A. 9\sqrt{2} | B. 3\sqrt{6} |
| C. 3\sqrt{2} | D. 3\sqrt{3} |
| Zadanie 4. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10123 |
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Wielomian W(x)=2x^3-x-q dzieli się bez reszty przez
dwumian x-p+1. Wynika z tego, że liczba
q jest równa:
Odpowiedzi:
| A. 2(p-1)^3-p+1 | B. 2(p-1)^3+p-1 |
| C. 2(p+1)^3-p+1 | D. 2(p+1)^3+p-1 |
| Zadanie 5. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10124 |
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
« Wielomian określony wzorem W(x)=x^5-3x^4+mx^3+6 przy
dzieleniu przez dwumian x-a daje resztę
r.
Wyznacz liczbę m.
Dane
a=2
r=-34
r=-34
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 6. (1 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10125 |
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
» Wielomian określony wzorem P(x)=4x^3-3x^2+ax+1 przy
dzieleniu przez dwumian x-0,5 daje resztę
r.
Wyznacz liczbę r.
Dane
a=-2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 7. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20196 |
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Wyznacz te wartości parametrów b i
c wielomianu
P(x)=x^3+bx^2+cx+1, dla których
P(x_0)=y_0 oraz reszta z dzielenia wielomianu
P(x) przez dwumian x-x_1
jest równa r.
Podaj b.
Dane
x_0=-2
y_0=-9
x_1=-3
r=-35
y_0=-9
x_1=-3
r=-35
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Podaj c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 8. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20207 |
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
» Wielomian W(x) spełnia warunki:
W(1)=5, W(-2)=2 i przy
dzieleniu przez dwumian x-m daje resztę
n. Jaką resztę daje wielomian
W(x) przy dzieleniu przez wielomian
P(x)=x^3+bx^2+cx+d?
Zapisz resztę w postaci R(x)=a_1x^2+b_1x+c_1. Podaj a_1.
Dane
m=-1
n=-17
b=2
c=-1
d=-2
n=-17
b=2
c=-1
d=-2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Podaj b_1.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 9. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20215 |
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Przy dzieleniu przez dwumiany x+3 i
x-1 wielomian W(x)
daje reszty odpowienio 1 i
r. Jaką resztę daje wielomian
W(x) przy dzieleniu przez wielomian
P(x)=x^2+2x-3.
Zapisz tę resztę w postaci R(x)=ax+b. Podaj a.
Dane
r=5
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 10. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20216 |
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
» Przy dzieleniu przez dwumiany x-1 i
x+1 wielomian
W(x) daje reszty odpowienio
1 i -1 oraz spełnia
warunek W(-2)=m. Jaką resztę daje wielomian
W(x) przy dzieleniu przez wielomian
Q(x)=\left(x^2-1\right)(x+2).
Zapisz tę resztę w postaci R(x)=ax^2+bx+c. Podaj a.
Dane
m=4
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 10.3 (1 pkt)
Podaj c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 11. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20464 |
Podpunkt 11.1 (2 pkt)
Przy dzieleniu przez P(x)=x-1 wielomian
W(x)=x^4+2x^3-5x^2-6mx+9 daje resztę
r.
Oblicz m.
Dane
r=4
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 12. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20218 |
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
» Przy dzieleniu przez dwumiany x-3 i
x-4 wielomian W(x) daje
reszty odpowienio 3 i
2. Ponadto wiadomo, że
W(2)=m. Jaką resztę daje wielomian
W(x) przy dzieleniu przez wielomian
P(x)=x^3-9x^2+26x-24?
Zapisz tę resztę w postaci R(x)=ax^2+bx+c. Podaj a.
Dane
m=-3
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 12.3 (1 pkt)
Podaj c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 13. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20219 |
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
» Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu
W(x)=x^{2017}-2x^{2016}+2x^{2015}-1 przez
wielomian P(x)=x^3-x.
Zapisz resztę w postaci R(x)=ax^2+bx+c. Podaj a+b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Podaj b+c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 14. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20220 |
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
« Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumian
x-1 daje resztę 5. Ponadto
W(2)=m. Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu
przez Q(x)=(x-1)(x-2)?
Zapisz tę resztę w postaci R(x)=ax+b. Podaj a.
Dane
m=-3
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 15. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20221 |
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumian
x-1 daje resztę 8, zaś przy
dzieleniu przez x-2 resztę
m. Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu
przez x^2-3x+2?
Zapisz tę resztę w postaci R(x)=ax+b. Podaj a.
Dane
m=-3
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 15.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 16. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20197 |
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Wielomian P(x)=(x^2-3x+1)^{2017} przy dzieleniu przez
trójmian Q(x)=-x^2+4x-3 daje resztę
R(x)=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 16.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 17. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20198 |
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
« Liczba -7 jest miejscem zerowym wielomianu
P(x). Ponadto P(2)=m.
Wielomian P(x) przy dzieleniu przez
Q(x)=x^2+5x-14 daje resztę
R(x)=ax+b.
Podaj a.
Dane
m=-18
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 17.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 18. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20199 |
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
« Wielomian P(x)=(x-2)^2+(x-1)^p-1, gdzie
p\in\mathbb{N_+}, przy dzieleniu przez trójmian
x^2-3x+2 daje resztę
R(x)=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 18.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 19. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20200 |
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
» Przy dzieleniu przez dwumian x-3 wielomian
P(x) daje resztę r_1=14, a
przy dzieleniu przez dwumian x+2 resztę
r_2=m. Wyznacz resztę R(x)
z dzielenia wielomianu P(x) przez trójmian
kwadratowy x^2-x-6.
Podaj R(3).
Dane
m=-1
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 19.2 (1 pkt)
Podaj R(0,5).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 20. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20466 |
Podpunkt 20.1 (2 pkt)
« Liczba p jest resztą z dzielenia wielomianu
W(x)=6x^3-4x^2 przez x+3,
a liczba q resztą z dzielnia tego wielomianu przez
x-m.
Oblicz |2p-q|.
Dane
m=-2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 21. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20202 |
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
Wielomian W(x)=x^3+ax^2+bx+1 dla argumentu
2 przyjmuje wartość 9
oraz przy dzieleniu przez dwumian x-3 daje
resztę r.
Podaj a.
Dane
r=-5
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 21.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 22. (3 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20203 |
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
Wielomian Q(x) przy dzieleniu przez dwumiany
x-1 i x+2 daje reszty
odpowiednio 3 i 21.
Ponadto wiadomo, że Q(3)=m. Wyznacz resztę z
dzielenia tego wielomianu przez wielomian
P(x)=x^3-2x^2-5x+6.
Zapisz tę resztę w postaci W(x)=ax^2+bx+c. Podaj a.
Dane
m=-19
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 22.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 22.3 (1 pkt)
Podaj c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 23. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20204 |
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
» Wielomian W(x)=x^4+a^2x^3+ax^2-x+3 przy
dzieleniu przez dwumian x-1 daje resztę
r.
Podaj najmniejsze możliwe a.
Dane
r=23
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 23.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 24. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20205 |
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
» Wielomian W(x)=\sqrt{(a+1)^2}x^3+x^2+|a|x+3
przy dzieleniu przez dwumian x+1 daje resztę
r.
Podaj najmniejsze możliwe a.
Dane
r=-12
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 24.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 25. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20206 |
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
Wielomian W(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
przy dzieleniu przez wielomian P(x)=x^2-1
daje resztę ax+b.
Podaj a.
Dane
a_4=2
a_3=-12
a_2=-16
a_1=11
a_0=20
a_3=-12
a_2=-16
a_1=11
a_0=20
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 25.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 26. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20208 |
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
» Wielomian W(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
przy dzieleniu przez wielomian P(x)=2x^2+2 daje
resztę ax+b.
Podaj a.
Dane
a_4=2
a_3=-10
a_2=-46
a_1=-11
a_0=-42
a_3=-10
a_2=-46
a_1=-11
a_0=-42
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 26.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 27. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20209 |
Podpunkt 27.1 (1 pkt)
Wielomian
W(x)=x^3+m^2x^2+\frac{1}{2}x+0
przy dzieleniu
przez wielomian
P(x)=x+\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{3}{2}}
daje resztę r=\frac{3}{8}.
Podaj najmniejsze możliwe m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 27.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 28. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20210 |
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
« Wyznacz te wartości parametru m, dla których
wielomian
W(x)=x^9-(m-2)^3x^8+(m^2-4m+3)x^5+2(m-1)x^2+(m-2)x
przy dzieleniu przez wielomian P(x)=x+1 daje resztę
1.
Podaj najmniejsze możliwe m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 28.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 29. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20465 |
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
« Reszta z dzielenia wielomianu
W(x)=x^3+4x^2-\frac{1}{2}m^2x+8m przez dwumian
P(x)=x+2 przyjmuje najmniejszą możliwą wartość.
Wyznacz m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 29.2 (1 pkt)
Ile jest równa ta najmniejsza możliwa wartość?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 30. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20468 |
Podpunkt 30.1 (2 pkt)
« Wielomian
W(x)=x^3+1x^2+mx+5
przy dzieleniu przez dwumian x-1 daje resztę
\frac{13}{2}.
Oblicz wartość parametru m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 31. (2 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20213 |
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
» Przy dzieleniu przez trójmian
x^2-6x+5 wielomian
W(x) daje resztę R(x)=ax+b.
Wartość wielomianu W(x) w punkcie
1 jest równa
-20, a dwumian
x-5 jest dzielnikiem wielomianu
W(x)
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 31.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 32. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20880 |
Podpunkt 32.1 (2 pkt)
Dany jest wielomian P(x)=x^3+ax^2+bx+1.
Wiadomo, że
P(-1)=-5 oraz,
że reszta z dzielenia wielomianu P(x) przez
dwumian x-1 jest
równa 9.
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 32.2 (2 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 33. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30148 |
Podpunkt 33.1 (2 pkt)
» Stopień wielomianu W(x) jest większy od
2. Suma wszystkich współczynników tego wielomianu
jest równa -6, a suma współczynników przy potęgach
o parzystych wykładnikach jest równa sumie współczynników przy potęgach
o nieparzystych wykładnikach. Wyznacz resztę R(x)
z dzielenia tego wielomianu przez wielomian
Q(x)=(x-1)(x+1).
Zapisz wielomian R(x) w postaci ogólnej
R(x)=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 33.2 (2 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 34. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30147 |
Podpunkt 34.1 (2 pkt)
Dany jest wielomian
P(x)=x^4+ax^3+bx^2+13x-5
, który przy dzieleniu przez każdy z dwumianów
x-1,
x+3 i x-2
daje tę samą resztę. Oblicz a i
b.
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 34.2 (2 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
| Zadanie 35. (4 pkt) | [ ⇒ Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30149 |
Podpunkt 35.1 (2 pkt)
Przy dzieleniu przez dwumiany x-1,
x-2 i x-3 wielomian
W(x) daje reszty równe odpowiednio
-21\text{, }-10\text{, }-3.
Wyznacz resztę R(x) z dzielenia wielomianu
W(x) przez wielomian
P(x)=x^3-6x^2+11x-6.
Podaj R(3).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 35.2 (2 pkt)
Podaj R(-3).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)