Zadania dla klasy drugiej liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
wielomiany
podzielność wielomianów
dzielenie wielomianów z resztą
schemat Hornera
dzielenie pisemne wielomianów
Zadanie 1.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10120
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Wyznacz tę wartość parametru m, dla której wielomian
P(x)=6x^3+ax^2-5x+m-1 dzieli się bez reszty przez
dwumian x-1.
Dane
a=8
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 2.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10121
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu określonego wzorem
W(x)=2\frac{2}{3}x^3-2x^2+ax-0,25 przez
dwumian x+0,75.
Dane
a=5
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 3.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10122
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
Wielomian W(x)=\sqrt{6}x^3-\sqrt{3}x^2-2\sqrt{3}
przy dzieleniu przez dwumian x-\frac{m}{a} daje
resztę, która jest liczbą wymierną. Wynika z tego, że liczba
m jest równa:
Dane
a=5
Odpowiedzi:
A.10\sqrt{2}
B.5\sqrt{2}
C.5\sqrt{3}
D.5\sqrt{6}
Zadanie 4.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10123
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
Wielomian W(x)=2x^3-x-q dzieli się bez reszty przez
dwumian x-p+1. Wynika z tego, że liczba
q jest równa:
Odpowiedzi:
A.2(p+1)^3+p-1
B.2(p+1)^3-p+1
C.2(p-1)^3+p-1
D.2(p-1)^3-p+1
Zadanie 5.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10124
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
« Wielomian określony wzorem W(x)=x^5-3x^4+mx^3+6 przy
dzieleniu przez dwumian x-a daje resztę
r.
Wyznacz liczbę m.
Dane
a=-1 r=-6
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 6.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10125
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
» Wielomian określony wzorem P(x)=4x^3-3x^2+ax+1 przy
dzieleniu przez dwumian x-0,5 daje resztę
r.
Wyznacz liczbę r.
Dane
a=6
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 7.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20196
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Wyznacz te wartości parametrów b i
c wielomianu
P(x)=x^3+bx^2+cx+1, dla których
P(x_0)=y_0 oraz reszta z dzielenia wielomianu
P(x) przez dwumian x-x_1
jest równa r.
Podaj b.
Dane
x_0=-2 y_0=7 x_1=-3 r=4
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 7.2 (1 pkt)
Podaj c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 8.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20207
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
» Wielomian W(x) spełnia warunki:
W(1)=5, W(-2)=2 i przy
dzieleniu przez dwumian x-m daje resztę
n. Jaką resztę daje wielomian
W(x) przy dzieleniu przez wielomian
P(x)=x^3+bx^2+cx+d?
Zapisz resztę w postaci R(x)=a_1x^2+b_1x+c_1. Podaj
a_1.
Dane
m=-5 n=-19 b=6 c=3 d=-10
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 8.2 (1 pkt)
Podaj b_1.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 9.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20215
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Przy dzieleniu przez dwumiany x+3 i
x-1 wielomian W(x)
daje reszty odpowienio 1 i
r. Jaką resztę daje wielomian
W(x) przy dzieleniu przez wielomian
P(x)=x^2+2x-3.
Zapisz tę resztę w postaci R(x)=ax+b. Podaj
a.
Dane
r=-7
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 9.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 10.(3 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20216
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
» Przy dzieleniu przez dwumiany x-1 i
x+1 wielomian
W(x) daje reszty odpowienio
1 i -1 oraz spełnia
warunek W(-2)=m. Jaką resztę daje wielomian
W(x) przy dzieleniu przez wielomian
Q(x)=\left(x^2-1\right)(x+2).
Zapisz tę resztę w postaci R(x)=ax^2+bx+c. Podaj
a.
Dane
m=19
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 10.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 10.3 (1 pkt)
Podaj c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 11.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20464
Podpunkt 11.1 (2 pkt)
Przy dzieleniu przez P(x)=x-1 wielomian
W(x)=x^4+2x^3-5x^2-6mx+9 daje resztę
r.
Oblicz m.
Dane
r=19
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 12.(3 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20218
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
» Przy dzieleniu przez dwumiany x-3 i
x-4 wielomian W(x) daje
reszty odpowienio 3 i
2. Ponadto wiadomo, że
W(2)=m. Jaką resztę daje wielomian
W(x) przy dzieleniu przez wielomian
P(x)=x^3-9x^2+26x-24?
Zapisz tę resztę w postaci R(x)=ax^2+bx+c. Podaj
a.
Dane
m=10
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 12.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 12.3 (1 pkt)
Podaj c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 13.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20219
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
» Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu
W(x)=x^{2017}-2x^{2016}+2x^{2015}-1 przez
wielomian P(x)=x^3-x.
Zapisz resztę w postaci R(x)=ax^2+bx+c. Podaj
a+b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 13.2 (1 pkt)
Podaj b+c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 14.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20220
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
« Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumian
x-1 daje resztę 5. Ponadto
W(2)=m. Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu
przez Q(x)=(x-1)(x-2)?
Zapisz tę resztę w postaci R(x)=ax+b. Podaj
a.
Dane
m=10
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 14.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 15.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20221
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumian
x-1 daje resztę 8, zaś przy
dzieleniu przez x-2 resztę
m. Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu
przez x^2-3x+2?
Zapisz tę resztę w postaci R(x)=ax+b. Podaj
a.
Dane
m=10
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 15.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 16.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20197
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Wielomian P(x)=(x^2-3x+1)^{2017} przy dzieleniu przez
trójmian Q(x)=-x^2+4x-3 daje resztę
R(x)=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 16.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 17.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20198
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
« Liczba -7 jest miejscem zerowym wielomianu
P(x). Ponadto P(2)=m.
Wielomian P(x) przy dzieleniu przez
Q(x)=x^2+5x-14 daje resztę
R(x)=ax+b.
Podaj a.
Dane
m=54
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 17.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 18.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20199
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
« Wielomian P(x)=(x-2)^2+(x-1)^p-1, gdzie
p\in\mathbb{N_+}, przy dzieleniu przez trójmian
x^2-3x+2 daje resztę
R(x)=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 18.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 19.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20200
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
» Przy dzieleniu przez dwumian x-3 wielomian
P(x) daje resztę r_1=14, a
przy dzieleniu przez dwumian x+2 resztę
r_2=m. Wyznacz resztę R(x)
z dzielenia wielomianu P(x) przez trójmian
kwadratowy x^2-x-6.
Podaj R(3).
Dane
m=29
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 19.2 (1 pkt)
Podaj R(0,5).
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 20.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20466
Podpunkt 20.1 (2 pkt)
« Liczba p jest resztą z dzielenia wielomianu
W(x)=6x^3-4x^2 przez x+3,
a liczba q resztą z dzielnia tego wielomianu przez
x-m.
Oblicz |2p-q|.
Dane
m=5
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 21.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20202
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
Wielomian W(x)=x^3+ax^2+bx+1 dla argumentu
2 przyjmuje wartość 9
oraz przy dzieleniu przez dwumian x-3 daje
resztę r.
Podaj a.
Dane
r=-11
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 21.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 22.(3 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20203
Podpunkt 22.1 (1 pkt)
Wielomian Q(x) przy dzieleniu przez dwumiany
x-1 i x+2 daje reszty
odpowiednio 3 i 21.
Ponadto wiadomo, że Q(3)=m. Wyznacz resztę z
dzielenia tego wielomianu przez wielomian
P(x)=x^3-2x^2-5x+6.
Zapisz tę resztę w postaci W(x)=ax^2+bx+c.
Podaj a.
Dane
m=21
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 22.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 22.3 (1 pkt)
Podaj c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 23.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20204
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
» Wielomian W(x)=x^4+a^2x^3+ax^2-x+3 przy
dzieleniu przez dwumian x-1 daje resztę
r.
Podaj najmniejsze możliwe a.
Dane
r=15
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 23.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 24.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20205
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
» Wielomian W(x)=\sqrt{(a+1)^2}x^3+x^2+|a|x+3
przy dzieleniu przez dwumian x+1 daje resztę
r.
Podaj najmniejsze możliwe a.
Dane
r=-4
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 24.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 25.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20206
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
Wielomian W(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
przy dzieleniu przez wielomian P(x)=x^2-1
daje resztę ax+b.
Podaj a.
Dane
a_4=2 a_3=-12 a_2=-16 a_1=15 a_0=11
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 25.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 26.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20208
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
» Wielomian W(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
przy dzieleniu przez wielomian P(x)=2x^2+2 daje
resztę ax+b.
Podaj a.
Dane
a_4=2 a_3=-10 a_2=-46 a_1=-7 a_0=-51
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 26.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 27.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20209
Podpunkt 27.1 (1 pkt)
Wielomian
W(x)=x^3+m^2x^2+\frac{3}{2}x+\frac{7}{8}
przy dzieleniu
przez wielomian
P(x)=x+\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{3}{2}}
daje resztę r=\frac{3}{8}.
Podaj najmniejsze możliwe m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 27.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 28.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20210
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
« Wyznacz te wartości parametru m, dla których
wielomian
W(x)=x^9-(m+6)^3x^8+(m^2+12m+35)x^5+2(m+7)x^2+(m+6)x
przy dzieleniu przez wielomian P(x)=x+1 daje resztę
1.
Podaj najmniejsze możliwe m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 28.2 (1 pkt)
Podaj największe możliwe m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 29.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20465
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
« Reszta z dzielenia wielomianu
W(x)=x^3+2x^2-\frac{1}{2}m^2x+8m przez dwumian
P(x)=x+2 przyjmuje najmniejszą możliwą wartość.
Wyznacz m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 29.2 (1 pkt)
Ile jest równa ta najmniejsza możliwa wartość?
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 30.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20468
Podpunkt 30.1 (2 pkt)
« Wielomian
W(x)=x^3+9x^2+mx-2
przy dzieleniu przez dwumian x+3 daje resztę
\frac{113}{2}.
Oblicz wartość parametru m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 31.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20213
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
» Przy dzieleniu przez trójmian
x^2-4x-12 wielomian
W(x) daje resztę R(x)=ax+b.
Wartość wielomianu W(x) w punkcie
-2 jest równa
24, a dwumian
x-6 jest dzielnikiem wielomianu
W(x)
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 31.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 32.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20880
Podpunkt 32.1 (2 pkt)
Dany jest wielomian P(x)=x^3+ax^2+bx+1.
Wiadomo, że
P(-2)=31 oraz,
że reszta z dzielenia wielomianu P(x) przez
dwumian x+4 jest
równa 77.
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 32.2 (2 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 33.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30148
Podpunkt 33.1 (2 pkt)
» Stopień wielomianu W(x) jest większy od
2. Suma wszystkich współczynników tego wielomianu
jest równa 18, a suma współczynników przy potęgach
o parzystych wykładnikach jest równa sumie współczynników przy potęgach
o nieparzystych wykładnikach. Wyznacz resztę R(x)
z dzielenia tego wielomianu przez wielomian
Q(x)=(x-1)(x+1).
Zapisz wielomian R(x) w postaci ogólnej
R(x)=ax+b.
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 33.2 (2 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 34.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30147
Podpunkt 34.1 (2 pkt)
Dany jest wielomian
P(x)=x^4+ax^3+bx^2+32x-15
, który przy dzieleniu przez każdy z dwumianów
x-4,
x-1 i x+4
daje tę samą resztę. Oblicz a i
b.
Podaj a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 34.2 (2 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 35.(4 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-30149
Podpunkt 35.1 (2 pkt)
Przy dzieleniu przez dwumiany x+3,
x+2 i x-1 wielomian
W(x) daje reszty równe odpowiednio
-30\text{, }-15\text{, }6.
Wyznacz resztę R(x) z dzielenia wielomianu
W(x) przez wielomian
P(x)=x^3+4x^2+x-6.