Zadania dla klasy drugiej liceum ogólnokształcącego - poziom rozszerzony
definicja funkcji homogranicznej
własności funkcji homograficznej
Zadanie 1.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10307
Podpunkt 1.1 (1 pkt)
Zbiór wartości funkcji określonej wzorem
f(x)=\frac{a}{x-b}+c
jest równy \mathbb{R}-\{m\}.
Podaj liczbę m.
Dane
a=3
b=8
c=20
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 2.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10308
Podpunkt 2.1 (1 pkt)
Przedstawiony na rysunku wykres może być wykresem funkcji:
Odpowiedzi:
A.f(x)=2-\frac{2}{x-1}
B.f(x)=2+\frac{2}{x+1}
C.f(x)=-\frac{2}{x-1}-2
D.f(x)=1-\frac{2}{x+2}
E.f(x)=-\frac{2}{x-2}-1
F.f(x)=2-\frac{2}{x+1}
Zadanie 3.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10309
Podpunkt 3.1 (1 pkt)
» Dana jest funkcja f(x)=\frac{a-x}{x}, gdzie
x\in\mathbb{C}-\{0\}.
Dla ilu argumentów funkcja ta przyjmuje wartość całkowitą:
Dane
a=8
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 4.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10310
Podpunkt 4.1 (1 pkt)
« W którym ze zbiorów funkcja określona wzorem
f(x)=\frac{a}{x+b}
jest rosnąca:
Dane
a=-3
b=9
Odpowiedzi:
A.\mathbb{R}-\{9\}
B.(-9,+\infty)
C.(-\infty,9)
D.\mathbb{R}-\{-9\}
Zadanie 5.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10311
Podpunkt 5.1 (1 pkt)
» Na rysunku pokazano wykres funkcji h(x)=-\frac{2}{x+3}+2:
Wartości dodatnie funkcja h przyjmuje dla:
Odpowiedzi:
A.x\in(-2,+\infty)
B.x\in(-\infty,-3\rangle\cup(2,+\infty)
C.x\in\mathbb{R}-(-3,-2)
D.x\in(-\infty,-3)\cup(-2,+\infty)
Zadanie 6.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10312
Podpunkt 6.1 (1 pkt)
« W zbiorze (-\infty, 0) rosnąca jest funkcja:
Odpowiedzi:
A.f(x)=-\frac{2}{-x}
B.f(x)=\frac{-5}{x+1}
C.f(x)=\frac{-4}{x}
D.f(x)=\frac{\sqrt{7}}{x}
Zadanie 7.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10313
Podpunkt 7.1 (1 pkt)
Na rysunku
pokazano wykres funkcji:
Odpowiedzi:
A.h(x)=\frac{2}{x+1}+2
B.h(x)=\frac{1}{x+2}-1
C.h(x)=\frac{1}{x+1}-2
D.h(x)=\frac{2}{x-2}-1
Zadanie 8.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10314
Podpunkt 8.1 (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem
f(x)=\frac{ax-b}{x} dla każdej liczby rzeczywistej
x\neq 0. Oblicz f(\sqrt{2}) i zapisz
wynik w najprostszej postaci m+n\sqrt{k}, gdzie
m,n,k\in\mathbb{Z}.
Podaj liczby m i n.
Dane
a=4
b=18
Odpowiedzi:
m
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
n
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 9.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10315
Podpunkt 9.1 (1 pkt)
Dziedziną funkcji f(x)=\frac{x+a}{x+b}
jest zbiór \mathbb{R}-\{m\}.
Podaj liczbę m.
Dane
a=4
b=9
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 10.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10316
Podpunkt 10.1 (1 pkt)
Na rysunku pokazano wykres funkcji f:
Wynzacz ilość takich punktów wykresu funkcji f, których obie
współrzędne należą do zbioru \mathbb{Z}.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 11.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10317
Podpunkt 11.1 (1 pkt)
Jeden punkt wspólny ma wykres funkcji
f(x)=\frac{a}{x}-b z prostą:
Dane
a=4
b=9
Odpowiedzi:
A.x=0
B.y=18
C.y=-9
D.y=x+9
Zadanie 12.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10318
Podpunkt 12.1 (1 pkt)
Do wykresu funkcji
f(x)=\frac{x+a}{x+b}
należy punkt o współrzędnych:
Dane
a=-5
b=8
Odpowiedzi:
A.(-7,-12)
B.(-12,4)
C.(3,0)
D.(17,2)
E.(19,2)
F.(18,3)
Zadanie 13.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10319
Podpunkt 13.1 (1 pkt)
Wyznacz miejsce zerowe funkcji określonej wzorem
h(x)=\frac{a}{x-\frac{1}{2}}-b
.
Dane
a=13
b=2
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 14.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10320
Podpunkt 14.1 (1 pkt)
» Wykres funkcji f(x)=\frac{a}{x+b} możemy otrzymać
przesuwając wykres funkcji y=\frac{a}{x} o
wektor \vec{u}=[p,q].
Wyznacz liczby p i q.
Dane
a=4
b=6
Odpowiedzi:
p
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
q
=
(wpisz liczbę zapisaną dziesiętnie)
Zadanie 15.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10321
Podpunkt 15.1 (1 pkt)
« Do wykresu funkcji określonej wzorem h(x)=\frac{1}{ax} należy punkt
o współrzędnych P=\left(\frac{m}{180},-1\right).
Wyznacz liczbę m.
Dane
a=20
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 16.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10322
Podpunkt 16.1 (1 pkt)
Do wykresu funkcji funkcji określonej wzorem f(x)=\frac{m}{2-2x}, gdzie
x\neq 1 należy punkt o współrzędnych
A=\left(p, \frac{1}{q}\right).
Wyznacz liczbę m.
Dane
p=-6
q=112
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 17.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10134
Podpunkt 17.1 (1 pkt)
« Wiadomo, że wykres funkcji określonej wzorem
f(x)=\frac{x+m+3}{mx-2m+1}
nie ma punktów wspólnych z prostą określoną równaniem
x=\frac{5}{2}.
Wyznacz wartość parametru m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 18.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10135
Podpunkt 18.1 (1 pkt)
Wiadomo, że dziedziną funkcji f określonej wzorem
f(x)=\frac{x-10}{2x+m-3}
jest zbiór (-\infty,5)\cup(5,+\infty).
Wyznacz wartość parametru m.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 19.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10138
Podpunkt 19.1 (1 pkt)
« Funkcja f(x)=\frac{x+m}{x+6} jest funkcją
homograficzną przedziałami malejącą.
Wówczas:
Odpowiedzi:
A.m=2
B.m=4
C.m=1
D.m=5
E.m=3
F.m=8
Zadanie 20.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10136
Podpunkt 20.1 (1 pkt)
Na poniższym rysunku pokazano fragment wykresu funkcji homograficznej
y=f(x), której dziedziną jest zbiór
\mathbb{R}-\{3\}.
Równanie 5|2-f(x)|+p-3=0 z niewiadomą
x ma dokładnie dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy:
Odpowiedzi:
A.p > 3
B.p\lessdot 3
C.p=3
D.p\lessdot -3
Zadanie 21.(1 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-10137
Podpunkt 21.1 (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej
y=f(x), której dziedziną jest zbiór
D=\mathbb{R}-\{3\}.
Równanie |f(x)|=p-3 z niewiadomą
x ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy:
Odpowiedzi:
A.p\in\{3,5\}
B.p\in\{4,5\}
C.p\in\{3\}
D.p\in\{5\}
Zadanie 22.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20820
Podpunkt 22.1 (2 pkt)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji
f(x)=\frac{\frac{89}{20}}{x-3}-2:
Rozwiaż nierówność f(x)\geqslant 0.
Podaj największą liczbę, która spełnia tę nierówność.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 23.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20821
Podpunkt 23.1 (1 pkt)
« Dana jest funkcja g(x)=\frac{p}{x}.
Wyrażenie
g(1-\sqrt{3})+g\left(\frac{1}{1+\sqrt{3}}\right)
zapisz w postaci a+b\sqrt{c}, gdzie
a,b\in\mathbb{W} i c\in\mathbb{N}
i jest najmniejsze możliwe.
Podaj a.
Dane
p=7
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 23.2 (1 pkt)
Podaj b+c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 24.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20826
Podpunkt 24.1 (1 pkt)
Wykres funkcji g(x)=\frac{3}{x-1}+m przecina oś
Ox w punkcie
x=\frac{a}{2}.
Wyznacz m.
Dane
a=11
b=11
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 24.2 (1 pkt)
Narysuj wykres funkcji g.
Podaj najmniejszą jej wartość w przedziale
\langle 2,b\rangle.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 25.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20827
Podpunkt 25.1 (1 pkt)
«« Wykres funkcji g(x)=\frac{m}{x+2} zawiera punkt
A=\left(-\frac{3}{2},\frac{a}{2}\right).
Wyznacz m.
Dane
a=8
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 25.2 (1 pkt)
Oblicz g\left(\sqrt{3}-3\right). Wynik zapisz w
postaci a+b\sqrt{c}, gdzie
a,b\in\mathbb{W} i
c\in\mathbb{C}.
Podaj a+b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 26.(3 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20828
Podpunkt 26.1 (1 pkt)
Dana jest funkcja:
Wyznacz a.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 26.2 (1 pkt)
Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe niż
m?
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałówu. Podaj sumę wszystkich tych
końców przedziałów, które są liczbami.
Dane
m=7
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 26.3 (1 pkt)
» Oblicz f(\sqrt{k}).
Wynik zapisz w postaci a+b\sqrt{k}, gdzie
a,b\in\mathbb{W}. Podaj b.
Dane
k=7
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 27.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20753
Podpunkt 27.1 (2 pkt)
Punkt o współrzędnych A=(x_a,y_a) jest środkiem
symetrii wykresu funkcji homograficznej
f(x)=\frac{ax+b}{x+d}.
Oblicz \frac{a}{d}.
Dane
a_x=-3 a_y=6
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 28.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20239
Podpunkt 28.1 (1 pkt)
» Dane są funkcje f(x)=\frac{2x+8b-24}{ax+1} oraz
g(x)=\frac{ax+2c+12}{ax+1}. Wykresy tych funkcji
przecinają się w punkcie
A=\left(4,\frac{12}{5}\right). Miejscem zerowym
funkcji g jest liczba
-8. Wyznacz a,
b i c.
Podaj a+c.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 28.2 (1 pkt)
Podaj b.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 29.(3 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20240
Podpunkt 29.1 (1 pkt)
« Dana jest funkcja homograficzna:
h(x)=\frac{mx-11}{x-m}
.
Wykres funkcji h powstaje z przesunięcia wykresu
funkcji pewnej funkcji postaci f(x)=\frac{a}{x} o pewien
wektor \vec{u}=[p,q]. Dla
m=-3 wyznacz ten wektor.
Podaj p.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 29.2 (1 pkt)
Podaj q.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 29.3 (1 pkt)
Dla jakich wartości m funkcja ta jest malejąca
w przedziale (m,+\infty).
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich tych
końców tych przedziałów, które są liczbami dodatnimi.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 30.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20242
Podpunkt 30.1 (1 pkt)
«« Funkcja homograficzna h(x)=\frac{-3mx-1}{-3m-x} jest rosnąca
w każdym przedziale zawartym w dziedzinie tej funkcji. Wyznacz te wartości
parametru m, dla których spełniony jest ten warunek.
Podaj najmniejszą dodatnią liczbę m, dla której nie
jest spełniony ten warunek.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 30.2 (1 pkt)
Jeśli m=1, to
ZW_h=\mathbb{R}-\{y_0\}.
Podaj y_0.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Zadanie 31.(2 pkt)
[ ⇒Dodaj do testu ] Numer zadania: pr-20241
Podpunkt 31.1 (1 pkt)
» Funkcja homograficzna h jest rosnąca w
każdym z przedziałów (-\infty,0) i
(0,+\infty). Do zbioru wartości tej funkcji nie
należy liczba 6 oraz
h(-6)=\frac{41}{6}.
Wyznacz miejsce zerowe funkcji h.
Odpowiedź:
Wpisz odpowiedź:
(liczba zapisana dziesiętnie)
Podpunkt 31.2 (1 pkt)
Rozwiąż nierówność h(x)>-\frac{1}{2}.
Rozwiązanie zapisz w postaci sumy przedziałów. Podaj sumę wszystkich tych końców tych przedziałów, które są liczbami.